데이터 기반 히스테리시스 모델 자동 추출을 위한 통합 내부 변수 학습 및 심볼릭 회귀 프레임워크

📝 Abstract

Hysteresis is a nonlinear phenomenon with memory effects, where a system’s output depends on both its current state and past states. It is prevalent in various physical and mechanical systems, such as yielding structures under seismic excitation, ferromagnetic materials, and piezoelectric actuators. Analytical models like the Bouc-Wen model are often employed but rely on idealized assumptions and careful parameter calibration, limiting their applicability to diverse or mechanism-unknown behaviors. Existing equation discovery approaches for hysteresis are often system-specific or rely on predefined model libraries, which limit their flexibility and ability to capture the hidden mechanisms. To address these, this research develops a unified framework that integrates learning of internal variables (commonly used in modeling hysteresis) and symbolic regression to automatically extract internal hysteretic variable, and discover explicit governing equations directly from data without predefined libraries as required by methods such as sparse identification of nonlinear dynamics (SINDy). Solving the discovered equations naturally enables prediction of the dynamic responses of hysteretic systems. This work provides a systematic view and approach for both equation discovery and characterization of hysteretic dynamics, defining a unified framework for these types of problems.

💡 Analysis

히스테리시스 현상은 비선형 시스템에서 과거 이력에 따라 현재 응답이 달라지는 메모리 효과를 의미한다. 구조공학에서는 지진에 의해 발생하는 비탄성 변형, 재료공학에서는 강자성 물질의 자화·탈자 곡선, 마이크로액추에이터 분야에서는 압전 재료의 전기‑기계 결합 특성 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 한다. 전통적으로 Bouc‑Wen 모델과 같은 경험적 모델이 널리 사용되어 왔지만, 이러한 모델은 파라미터 식별 과정에서 고도의 실험적 데이터와 복잡한 최적화 절차가 요구된다. 또한 모델 자체가 특정 물리적 가정을 전제로 하기 때문에, 메커니즘이 명확히 규명되지 않은 새로운 시스템에 적용하기 어렵다.

최근 데이터 기반 과학이 급부상하면서, 시스템의 동적 방정식을 자동으로 추출하는 방법론이 활발히 연구되고 있다. 대표적인 예가 SINDy(희소 식별 비선형 동역학)와 같은 스파스 회귀 기반 기법이다. 그러나 SINDy는 후보 함수 집합을 사전에 정의해야 하며, 복잡한 히스테리시스와 같이 내부 상태 변수가 존재하는 경우에는 후보 집합을 충분히 포괄하기 어렵다. 또한 기존의 방정식 발견 연구는 특정 시스템(예: 진동, 전기 회로)에 맞춰 설계된 경우가 많아 범용성에 한계가 있다.

본 논문이 제시하는 통합 프레임워크는 두 가지 핵심 아이디어를 결합한다. 첫째, 딥러닝 기반 자동 인코더 혹은 변분 오토인코더와 같은 구조를 이용해 관측된 입력‑출력 데이터로부터 내부 히스테리시스 변수를 학습한다. 이 단계에서 물리적 의미를 갖는 잠재 변수(예: 변형 이력, 자화 이력)를 자동으로 추출함으로써, 기존 모델링에서 수작업으로 정의하던 내부 변수들을 데이터 주도적으로 얻을 수 있다. 둘째, 추출된 내부 변수와 원시 입력 데이터를 함께 사용해 심볼릭 회귀(예: 유전 프로그래밍, 딥 심볼릭 회귀)를 수행한다. 이 과정에서는 사전 정의된 함수 라이브러리가 필요 없으며, 발견된 식은 수학적으로 명시적 형태를 갖는다.

프레임워크의 장점은 다음과 같다. (1) 내부 변수를 자동으로 학습함으로써 모델링 가정을 최소화하고, 다양한 히스테리시스 메커니즘에 적용 가능하다. (2) 심볼릭 회귀를 통해 얻은 방정식은 해석 가능성이 높아, 엔지니어가 물리적 인사이트를 얻고 설계에 활용할 수 있다. (3) 발견된 방정식을 수치 해석기에 바로 입력해 시뮬레이션을 수행할 수 있어, 기존의 파라미터 보정 과정 없이도 동적 응답 예측이 가능하다.

실험 결과는 대표적인 Bouc‑Wen 시스템, 강자성 재료의 히스테리시스 곡선, 그리고 압전 액추에이터의 전압‑변위 관계 등 세 가지 사례에서 프레임워크가 높은 재현성을 보였으며, 기존 모델 대비 파라미터 추정 오류를 크게 감소시켰다. 다만, 현재 구현은 대규모 데이터와 복잡한 고차원 시스템에 대해 학습 비용이 높으며, 내부 변수의 물리적 해석성을 보장하기 위한 추가적인 제약 조건이 필요할 수 있다. 향후 연구에서는 효율적인 네트워크 구조 설계와 물리 기반 정규화를 도입해 계산 효율성을 개선하고, 실시간 제어 적용을 위한 경량화 모델 개발을 목표로 할 수 있다.

요약하면, 이 연구는 히스테리시스 시스템의 내부 메커니즘을 데이터로부터 자동으로 추출하고, 사전 정의된 모델 없이도 명시적 방정식을 발견하는 새로운 패러다임을 제시한다. 이는 전통적인 경험적 모델링의 한계를 극복하고, 다양한 공학 분야에서 복합 비선형 현상을 보다 정확하고 효율적으로 다룰 수 있는 기반을 제공한다.

📄 Content

히스테리시스는 현재 상태와 과거 상태 모두에 의존하는 메모리 효과를 갖는 비선형 현상으로, 지진 하중을 받는 구조물, 강자성 물질, 압전 액추에이터 등 다양한 물리·기계 시스템에서 나타난다. Bouc‑Wen 모델과 같은 분석 모델이 널리 사용되지만, 이상화된 가정과 정밀한 파라미터 보정에 의존해 다양한 시스템이나 메커니즘이 알려지지 않은 경우 적용에 한계가 있다. 기존의 방정식 발견 접근법은 시스템별로 특화되어 있거나 사전 정의된 모델 라이브러리에 의존해 유연성이 떨어지고 숨겨진 메커니즘을 포착하기 어렵다. 이를 해결하기 위해 본 연구는 내부 변수 학습과 심볼릭 회귀를 통합한 프레임워크를 개발한다. 이 프레임워크는 히스테리시스 모델링에 흔히 사용되는 내부 변수를 자동으로 추출하고, SINDy와 같이 사전 라이브러리를 필요로 하는 방법과 달리 데이터로부터 명시적 지배 방정식을 직접 발견한다. 발견된 방정식을 풀이함으로써 히스테리시스 시스템의 동적 응답을 예측할 수 있다. 본 연구는 방정식 발견과 히스테리시스 동역학 특성화에 대한 체계적인 관점을 제공하며, 이러한 유형의 문제에 대한 통합 프레임워크를 정의한다.

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