tekum: 균형 삼진 실수 연산의 새로운 시대

📝 Abstract

In light of recent hardware advances, it is striking that real arithmetic in balanced ternary logic has received almost no attention in the literature. This is particularly surprising given ternary logic’s promising properties, which could open new avenues for energy-efficient computing and offer novel strategies for overcoming the memory wall. This paper revisits the concept of tapered precision arithmetic, as used in posit and takum formats, and introduces a new scheme for balanced ternary logic: tekum arithmetic. Several fundamental design challenges are addressed along the way. The proposed format is evaluated and shown to exhibit highly promising characteristics. In many respects, it outperforms both posits and takums. As ternary hardware matures, this work represents a crucial step toward unlocking the full potential of real-number computation in ternary systems, laying the groundwork for a new class of number formats designed from the ground up for a new category of next-generation hardware.

💡 Analysis

분석 요약

이 논문은 균형 3진 실수 연산을 위한 새로운 수 체계인 ‘텍큲’ 포맷에 대해 설명하고 있습니다. 이는 차세대 삼진 하드웨어를 위해 설계되었습니다.

주요 내용 및 기여:

1. 이론적 배경:

   • 논문은 3진 논리의 역사와 장점을 소개합니다. 특히, 기수 경제(radix economy) 관점에서 3진 시스템이 이진 시스템보다 효율적인 경우가 있다는 점을 강조합니다.

2. 균형 삼진 체계:

   • 균형 삼진 체계는 음수를 표현하기 위해 특별한 기호 T(-1)를 사용합니다. 이 체계는 정수와 부동 소수점 수 모두에 대해 대칭적이고 효율적인 표현을 제공합니다.

3. 텍큲 포맷의 개발:

   • 논문은 균형 삼진 실수 연산을 위한 새로운 포맷인 ‘텍큲’을 제안합니다. 이는 기존 3진 부동 소수점 형식의 한계를 극복하고, 더 효율적인 수 체계를 제공하기 위해 설계되었습니다.

4. 연산 및 표현:

   • 논문은 텍큲 포맷에서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등의 기본 연산을 정의합니다. 또한, 균형 삼진 체계에서의 부호 결정과 모듈러 연산에 대한 설명도 포함되어 있습니다.

5. 동적 범위 조정:

   • 텍큲 포맷은 레짐 트릿(regime trit)을 사용하여 동적 범위를 조절합니다. 초기 제안보다 더 균형 잡힌 동적 범위 설정 방법이 제시됩니다.

결론 및 미래 연구 방향:

• 논문은 텍큲 포맷이 차세대 삼진 하드웨어에서 효율적인 수 체계를 제공할 가능성을 보여줍니다.
• 향후 연구는 다양한 응용 분야에서 텍큲의 성능과 효율성을 평가하는 데 초점을 맞춰야 합니다.

이 논문은 3진 하드웨어의 발전에 따라 기존 이진 체계를 대체할 수 있는 새로운 수 체계를 제안하고 있습니다. 이를 통해, 컴퓨터 과학 분야에서 더 효율적인 연산과 저장을 가능하게 할 것으로 예상됩니다.

📄 Content

균형 삼진 실수 연산을 위한 텍큠 포맷: 차세대 삼진 하드웨어를 위한 새로운 수 체계

컴퓨터 과학은 상대적으로 젊은 학문 분야입니다. 최초의 프로그래밍 가능한 컴퓨터는 80년 전에 만들어졌는데, Zuse의 Z3(1941)와 Mauchly 및 Eckert의 ENIAC(1946)이 그 예입니다. 이러한 초기 기계들은 이진 시스템에 기반을 두고 있었습니다. 이진 컴퓨터의 기본적인 인식 중 하나는 ‘온’ 또는 ‘오프’ 상태라는 개념입니다. 수십 년간의 연구와 개발을 통해 이진 컴퓨터의 설계는 최적화되었습니다.

그러나 역사를 좁게 보는 것은 문제점을 야기할 수 있습니다. 덜 알려진 계산 패러다임인 3진 논리(ternary logic)가 존재합니다. 3진 논리는 두 상태 대신 세 가지를 사용하며, 이진 숫자(비트) 대신 3진 숫자(트릿)를 사용합니다. 트릿 하나의 정보량은 log2(3) ≈ 1.58 비트에 해당합니다. 이러한 시스템의 개념은 ‘기수 경제(radix economy)‘라는 관점에서 이해할 수 있습니다. 기수 경제는 양의 정수 n을 특정 기수 b에 대해 표현하는 데 드는 비용을 정의합니다. 이 비용은 C(b, n) = ⌊log b(n) + 1⌋ · b로 계산되며, 이는 n을 기수 b로 표현할 때 필요한 트릿 수와 기수의 곱에 해당합니다. 직관적으로, 더 큰 기수는 더 짧은 표현을 제공하지만 하드웨어 복잡성을 증가시키고, 작은 기수는 구현이 용이하지만 더 많은 트릿이 필요합니다. 분석적으로 증명된 바에 따르면, 기수 e ≈ 2.718은 비용을 최소화하는 기수이며, 3이 가장 가까운 정수입니다. 기수 크기가 하드웨어 복잡성과 상관관계가 있다고 가정할 경우, 3진 산술은 회로 복잡성과 표현 효율성 사이의 균형 잡힌 교역을 제공하는 것으로 보입니다. 반면, 이진 산술은 회로 설계는 단순화하지만, 더 높은 표현 비용과 더 큰 통신 오버헤드를 초래합니다.

하드웨어 연구는 이진과 3진 구현을 비교했습니다. 3진 회로는 일반적으로 유사한 계산 속도를 달성하지만, 더 많은 논리 회로를 필요로 합니다. 예를 들어, 3진 덧셈기는 약 62% 더 많은 회로가 필요하며, 트릿의 정보 밀도가 더 높음에도 불구하고입니다 [15]. 이러한 발견은 3진 논리를 무시하는 데 자주 인용되어 왔지만, 현대 컴퓨팅 추세에 비추어 볼 때, 메모리 대역폭이 현재 주요 병목 현상이라는 점에 주목해야 합니다.

최근의 발전은 3진 논리의 가치를 재조명합니다. 3진 딥 뉴럴 네트워크와 탄소 나노튜브 트랜지스터는 모두 3진에서 작동하도록 설계되었습니다. 이러한 기술적 진보는 3진 논리의 가치 제안을 더욱 강화합니다.

균형 3진 시스템은 음수를 표현할 때 -1을 나타내는 특별한 기호인 T를 사용합니다. 예를 들어, 2는 1T(1 · 3 + (-1) · 1)로 표현되고, -4는 TT((-1) · 3 + (-1) · 1)로 표현됩니다. 이러한 표현은 몇 가지 매력적인 속성을 가지고 있습니다: 정수들은 본질적으로 부호와 함께 표현되며, 양의 수와 음의 수 모두에 대해 대칭적입니다. 또한, 부호는 트릿을 단순히 뒤집는 것으로 달성할 수 있으며, 반올림은 잘라내는 것과 동일합니다. Knuth는 이를 ‘아마도 가장 아름다운 숫자 체계 중 하나’라고 묘사했습니다 [16, p. 207].

균형 3진 체계는 주로 정수에 연구되어 왔지만, 실수 표현, 특히 부동 소수점 형식에 대한 탐구는 상대적으로 부족합니다. 예상대로, 속성들 중 일부는 반올림을 통해 이진 부동 소수점 산술의 문제들을 완화할 수 있습니다. 그러나 문헌은 매우 제한적입니다. 주목할 만한 제안은 O’Hare의 ternary27 [21]로, 이는 IEEE 754에 크게 영감을 받았습니다. 그럼에도 불구하고, 이 설계는 비효율적이며, 많은 표현을 낭비합니다. 이러한 비효율성은 3진 산술에서 더욱 두드러지는데, 각 트릿은 비트보다 더 많은 정보를 전달하기 때문입니다. IEEE 854-1987 표준은 기수 독립 부동 소수점 수를 명시하지만, 균형 기수를 다루지는 않습니다.

현재 하드웨어 개발의 추세를 고려할 때, 이론적 진보는 실용적 발전에 뒤처져서는 안 됩니다. 따라서 이 논문은 균형 3진 실수 산술과 관련된 주요 기여를 제공합니다. 본문에서 우리는 다음과 같은 사항을 다룹니다:

1. 기본 개념 소개: 균형 3진 체계와 이를 위한 새로운 수 형식인 ‘텍큠(tekum)‘을 소개합니다.
2. 설계 과제: 기존 포맷의 한계를 극복하기 위해 직면한 주요 설계 과제를 탐구합니다.
3. 텍큠 산술 개발: 새로운 3진 실수 산술을 제안하고, 그 속성을 평가합니다.

이 섹션에서는 균형 3진 체계와 필요한 도구를 소개하여 텍큠 산술의 이후 개발에 필요한 기초를 마련합니다. 공식적인 접근 방식을 취하는 것은 이 새로운 개념이 표준 이진 논리와는 다르기 때문입니다. 또한, 이 논문은 균형 3진 실수 산술에 대한 초기 연구 중 하나이며, 따라서 표기법에서 일관성을 유지하기 위해 상용 수학 및 컴퓨터 과학 분야의 표기법을 따릅니다.

트릿과 수 표현: n0 이상의 정수를 위한 n-트릿 균형 3진 문자열은 Tn := {T, 0, 1}n로 정의됩니다. 여기서 T는 -1을 나타냅니다. 관례에 따라, 우리는 대문자로 소문자 글자를 사용하여 벡터와 유사한 3진 문자열을 표시합니다.

연산:

• 덧셈: 두 n-트릿 숫자의 합은 int(t) + int(u)로 계산됩니다. 여기서 int(t)는 t의 정수 표현입니다.
• 뺄셈: tu = t + (-u)로 정의됩니다.
• 모듈러 연산: 트릿 문자열 t ∈ Tn에 대해, |t| - 1T • … • 1T로 계산된 모듈러 값 r은 3개의 트릿으로 표현됩니다. 이 트릿은 ‘레짐(regime)’ 트릿으로 알려져 있습니다.
• 부호: 레짐 트릿의 첫 번째 세 트릿은 부호를 결정하는 데 사용됩니다.

나머지 연산:

• 곱셈과 나눗셈: 3진 산술에서 곱셈과 나눗셈은 이진 산술과 유사하게 구현될 수 있습니다.
• 근과 로그: 근과 로그 연산은 이진 포맷에 비해 더 복잡하지만, 잘 정의된 알고리즘을 통해 구현할 수 있습니다.

기수 선택과 동적 범위: 텍큠 산술의 동적 범위는 레짐 트릿의 선택에 따라 달라집니다. 초기 제안은 |r|을 사용하여 c(r) = |r|로 설정하는 것이었습니다. 그러나 이는 10 ±782의 과도한 동적 범위를 초래합니다. 더 나은 균형을 위해, 우리는 c(r)가 비증가 함수이고, int(e)에 적절한 편향을 추가하여 연속적인 지수 값 e를 생성하는 것을 고려합니다.

결론: 본 논문은 균형 3진 실수 산술의 새로운 포맷인 텍큠을 제안합니다. 이 형식은 차세대 3진 하드웨어를 위한 효율적이고 균형 잡힌 수 체계를 제공할 잠재력을 가지고 있습니다. 향후 연구는 다양한 응용 분야에서 텍큠의 성능과 효율성을 평가하는 데 초점을 맞춰야 합니다.

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