평면 텐서 네트워크 수축의 복잡성

Kourtis 등은 $`N`$ 개의 정점과 최대 차수 $\Delta$를 가진 평면 부울 텐서 네트워크를 $`2^{O(\sqrt{\Delta}N)}`$ 시간에 수축하는 알고리즘을 소개했습니다. 이들은 Lemma [planar_edge_separator] 에서 제시된 분할 정복 알고리즘을 사용하여 네트워크를 $`N`$ 개의 고립된 텐서로 분할하는 순차적인 엣지 분리자를 찾았습니다. 그런 다음, 분할 과정에서 역순으로 고립된 텐서들을 수축했습니다. 이 알고리즘은 각 수축 과정에서 나타나는 텐서의 차원이 $`O(\sqrt{\Delta N})`$라는 것을 보장하여 부울 텐서 네트워크를 $`2^{O(\sqrt{\Delta N})}`$ 시간에 수축할 수 있었습니다.

본 논문에서는 유한 요소 그래프의 엣지 분리자를 고려합니다.

이와 유사한 지수적 알고리즘을 구성할 수 있습니다.

부울 대칭 함수의 집합 위에 정의됨

부울 대칭 함수의 집합 위에서 이 알고리즘을 가속화하는 방법을 고려합니다. 텐서 네트워크가 어떤 $`n`$ 개의 부울 대칭 함수로 정의되면, 각 함수를 $`O(n)`$ 개의 정점을 갖는 평면 제한 차수 구조로 교체할 수 있습니다.

$`F=[f_0,f_1,\cdots,f_n]`$와 $`f_0,f_1,...,f_n\in\mathbb{C}`$, (예를 들어, $`n`$은 2의 거듭제곱이라고 가정합시다)[^2]. 우리는 다음 그림 1과 같은 평면 구조로 $`F`$를 대체합니다. 이 구조의 일반적인 아이디어는 각 할당을 재정렬하는 것입니다. 할당 순서가 무관하기 때문입니다. 할당 $`x=(w_1w_2\cdots w_n)\in\{0,1\}^n`$의 해밍 무게(Hamming weight)를 계산하고, 이를 기반으로 정렬된 문자열을 반환합니다. 그런 다음 1과 0의 경계 위치에 따라 해당 함수 값을 결정합니다. 구체적으로 설명하겠습니다.

이 평면 구조의 왼쪽 부분은 “Adder” 아이디어를 사용하여 할당 $`x=(w_1w_2\cdots w_n)\in\{0,1\}^n`$의 해밍 무게 ${\rm Hw}(x)$의 이진 표현을 계산합니다. 왼쪽 구조는 모든 인접 비트를 더하는 단순한 덧셈 연산자로 구성됩니다. 각 정점은 두 개 또는 세 개의 비트를 더하는 덧셈 함수 $`A`$와 $`B`$, 그림 2-(a)에 표시된 것과 같습니다. 이 덧셈 함수는 가장 자릿수 비트 $`u`$를 더 높은 단계의 덧셈에 사용하고, 최하위 비트 $`h`$ 또는 $`h_2`$를 오른쪽 인접 정점의 연산에 사용합니다. $`\log_2 n`$ 단계 후, 왼쪽 부분은 위에서 아래로 이어지는 수평 엣지에서 ${\rm Hw}(x)$의 이진 표현을 출력합니다 (정보가 손실되지 않으므로 ${\rm Hw}(x)\leq \log_2 n +1$).

\begin{align*}
        &A(u,h,I_1,I_2)=
        \begin{cases}
            1  &  \text{if $u=\lfloor (I_1 + I_2)/2 \rfloor $ and $h=(I_1+I_2)$ mod 2} \\
            0 &  \text{else}\\
        \end{cases}
        \\
        &B(u,h_1,h_2,I_1,I_2)=
        \begin{cases}
            1  &  \text{if  $u=\lfloor(I_1 + I_2 + h_1)/2\rfloor$ and $h_2=(I_1+I_2+h_1)$ mod 2} \\
            0 &  \text{else}\\
        \end{cases}
\end{align*}

오른쪽 부분은 수평으로 ($`\log_2 n+1`$) 비트를 사용하여 정렬된 문자열 $`1^{{\rm Hw}(x)} 0^{|x|-{\rm Hw}(x)}`$을 복원하고, 이를 기반으로 정확한 값을 출력합니다. 가장 상위 두 비트가 동시에 1이 될 수 없습니다. 오른쪽 부분의 함수는 왼쪽과 약간 다릅니다 (그림 2-(b)). 각각은 다음과 같은 함수들 중 하나입니다:

\begin{align*}
        &C(u,h,o_1,o_2)=
        \begin{cases}
            1 &  \text{if $o_1=u + h$ and $o_2= 2u+h-o_1$} \\
            0 &  \text{else}\\
        \end{cases}
        \\
        &D(u,h_1,h_2,o_1,o_2)=
        \begin{cases}
            1 &  \text{if $u=1$ \& $o_1=o_2=1$ and $h_2=h_1$} \\
            1 &  \text{if $u=0$ \& $o_1=h_1$ and $o_2=h_2=0$} \\
            0 &  \text{else}\\
        \end{cases}
\end{align*}

해밍 무게는 정렬된 문자열 $`1^{{\rm Hw}(x)} 0^{|x|-{\rm Hw}(x)}`$ 내에서 서브 스트링 $`10`$의 위치를 반영합니다. 이 구조는 추가적인 $`2`$-차원 함수 $`F_1,\cdots,F_i,\cdots,F_{n-1}`$을 사용하여 해당 위치를 식별합니다, 여기서 $`i\in \{2,\cdots,n-2\}`$.

\begin{equation}
    \begin{cases}
    F_1(0, 0)=f_0, &   \\
    F_1(1, 0)=f_1, &  \\
    F_1(1, 1)=F_1(0,1)=1; &  
    \end{cases}
    \nonumber
\end{equation}

\begin{align*}
        &\begin{cases}
            F_i(0,0)=F_i(1,1)=F_i(0,1)=1, &   \\
            F_i(1,0)=f_i; &  
        \end{cases}
    \\
        &\begin{cases}
            F_{n-1}(1,1)=f_n, &   \\
            F_{n-1}(1,0)=f_{n-1}, &  \\
            F_{n-1}(0,0)=F_{n-1}(0,1)=1. &  
        \end{cases}
\end{align*}

이 평면 구조의 정점 수는 $`2(n+ \frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \cdots +1 ) + n-1 = O(n)`$이고, 최대 차수는 $`5`$입니다.

부울 대칭 함수 집합 위에 정의된 어떤 텐서 네트워크 $`G`$가 주어지면, 이 구조로 사전 처리하여 제한 차수 텐서 네트워크 $`G'`$를 생성합니다. 만약 $`G`$가 평면 그래프라면, $`\sum_{v\in V(G)} d_{v}=2E(G)\leq 6|V(G)|-12`$. 따라서 $`G'`$는 약 3-4 페이지 분량의 내용을 포함합니다.