블록 요인폭 두 행렬 및 그들이 준정부호와 제곱합 최적화에의 응용
📝 원문 정보
- Title: Block Factor-width-two Matrices and Their Applications to Semidefinite and Sum-of-squares Optimization
- ArXiv ID: 1909.11076
- 발행일: 2022-02-17
- 저자: Yang Zheng, Aivar Sootla, Antonis Papachristodoulou
📝 초록 (Abstract)
확률적 결정론적(SOS) 최적화는 선형 및 비선형 시스템 이론을 포함한 여러 분야에서 중요한 계산 도구입니다. 그러나 안정적으로 효율적으로 다룰 수 있는 문제의 크기는 여전히 제한적입니다. 본 논문에서는 블록 요인 폭이 두 개인 행렬이라는 새로운 개념을 소개하고, 양의 준정부호(PSD) 행렬 원뿔의 내외 근사 계층을 구축합니다. 이 개념은 표준 요인 폭이 두 개인 행렬의 블록 확장으로서 PSD 행렬 원뿔에 대한 내근사를 개선하는 것을 가능하게 합니다. SOS 최적화에서, 이는 스케일된 대각 우점적인 합성 제곱(SDSOS) 다항식의 블록 확장을 제공합니다. 행렬 분할을 바꾸면서 블록 요인 폭이 두 개인 행렬의 개념은 계산 확장성과 해의 품질 사이의 균형을 맞추어 준다. 다양한 대규모 사례에 대한 수치 실험 결과는 우리의 이론적 발견을 확인한다.💡 논문 핵심 해설 (Deep Analysis)
This paper introduces a new concept of block factor-width-two matrices to improve the inner and outer approximations of positive semidefinite (PSD) matrix cones, which are crucial in semidefinite and sum-of-squares (SOS) optimization. These optimizations play significant roles in linear and nonlinear system theory but face limitations with large-scale problems due to computational complexity.The paper proposes a new notion that extends the concept of standard factor-width-two matrices into block form. This approach allows for better inner approximations of PSD cones, enhancing the balance between computational scalability and solution quality. In the context of SOS optimization, this extension leads to an improved version of scaled diagonally dominant sum-of-squares (SDSOS) polynomials.
Numerical experiments on various large-scale instances confirm that this new method effectively balances computation time with solution accuracy. The results highlight the practical benefits of using block factor-width-two matrices in solving complex optimization problems, making it a valuable tool for researchers and engineers working with large datasets or intricate system designs.