DAG에서 노드 차단 게임의 복잡도: PSPACE‑완전성을 밝히다

📝 Abstract

We consider the following modification of annihilation game called node blocking. Given a directed graph, each vertex can be occupied by at most one token. There are two types of tokens, each player can move his type of tokens. The players alternate their moves and the current player $i$ selects one token of type $i$ and moves the token along a directed edge to an unoccupied vertex. If a player cannot make a move then he loses. We consider the problem of determining the complexity of the game: given an arbitrary configuration of tokens in a directed acyclic graph, does the current player has a winning strategy? We prove that the problem is PSPACE-complete.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 소멸 게임(Annihilation Game) 은 Conway이 제안하고 Fraenkel·Yesha가 초기 연구를 수행했으며, 토큰이 충돌하면 사라지는 규칙을 가진다.
• 기존 연구에서는 단일 토큰 종류 혹은 특정 제한(예: 각 정점당 최대 하나의 아웃고리) 하에서 다항 시간 알고리즘이 존재함을 보였다.
• 토큰 종류를 두 개로 늘리고 토큰 간 상호작용을 차단(노드 차단) 으로 바꾸면 복잡도가 급격히 상승한다는 가설이 있었으며, 일반 그래프에서는 EXPTIME‑완전이 알려졌다.
• 그러나 DAG 에서의 정확한 복잡도는 미해결 문제(오픈 문제)로 남아 있었다. 본 논문은 이를 해결한다.

2. 주요 정의 및 게임 모델

• 그래프 G = (V, E) 는 방향성이고 사이클이 없으며, 각 정점 v는 상태 f(v) ∈ {Wt, Bt, ∅} 로 표시한다.
• 플레이어 W(흰색)와 B(검은색)는 각각 자신의 토큰만 이동 가능하며, 이동은 (u, v) ∈ E 를 따라 비어 있는 정점 v 로만 허용된다.
• 현재 움직일 수 없는 플레이어가 패배한다(노멀 플레이).

3. PSPACE‑hardness 증명 전략

1. QBF 인스턴스 선택

   • 입력은 ∃x₁ ∀x₂ ∃x₃ … ∀xₙ F 형태이며, n 은 짝수, F 는 3‑CNF이다.
   • 이 제한된 QBF는 이미 PSPACE‑complete임이 알려져 있다.

2. 변수 컴포넌트 설계

   • 각 변수 x_i 에 대해 흰색 컴포넌트(i가 홀수)와 검은색 컴포넌트(i가 짝수)를 만든다.
   • 컴포넌트는 4~8개의 보조 정점(s, t, x, y, v₁…)과 특정 간선 구조를 갖는다 (그림 1).
   • 초기 배치에서는 s, t, x, y, v₄ 등에 토큰이 배치되어, 첫 번째 움직임은 t 에서 토큰을 제거하는 것으로 가정한다.

3. 컴포넌트 내부의 승리 전략 (Lemma 1)

   • 흰색 컴포넌트에서는 W 가 반드시 승리하고, 최종적으로 x 혹은 y 중 하나만 비게 된다.
   • 검은색 컴포넌트에서는 B 가 승리하고, x, y, v₅, v₆ 중 정확히 하나가 비게 된다.
   • 이 성질은 이후 전체 그래프에서 변수 진리값을 인코딩하는 데 사용된다.

4. 포뮬러 그래프 G_F 구성

   • 모든 변수 컴포넌트를 순차적으로 연결(s(G_i) = t(G_{i+1})).
   • 절을 나타내는 정점 v(F_j) 와 중앙 정점 w 를 추가하고,
     • x(G_i) → v(F_j) (절 F_j 에 x_i 가 등장)
     • y(G_i) → v(F_j) (절 F_j 에 ¬x_i 가 등장)
   • 초기 상태: 모든 컴포넌트는 위의 “초기 상태”에 놓이고, f(w)=Wt, f(v(F_j))=Bt.

5. 전략적 대응

   • W 가 변수 x_i 를 true 로 선택하면 해당 흰색 컴포넌트에서 x(G_i) 토큰을 남겨두고, false 로 선택하면 y(G_i) 를 남긴다.
   • B 가 절 선택 단계에서 v(F_j) 로 이동하면, W 가 해당 절에 포함된 true 리터럴의 토큰을 이용해 v(F_j) → w 로 이동할 수 있다.
   • 이 과정이 성공하면 W 가 마지막 움직임을 수행하고 승리한다.

6. 정리

   • QBF가 참이면 W 가 위와 같은 전략으로 반드시 승리한다.
   • 반대로 W 가 승리 전략을 가지고 있으면, 게임 진행 과정에서 선택된 x_i 값들이 QBF를 만족한다.
   • 따라서 QBF ↔ 노드 차단 게임 승리 여부가 다항 시간 감소 관계에 있다.

4. PSPACE에 속함을 보이는 이유

• 게임 진행은 토큰 수와 그래프 크기에 비례하는 단계 수 ≤ |V|·|V| (각 토큰은 한 번씩만 이동 가능) 로 제한된다.
• 따라서 전체 게임 트리의 깊이는 다항이며, 전략적 승패 판단을 비결정적 다항 공간(NP) 알고리즘으로 시뮬레이션할 수 있다.
• 위의 감소와 결합해 문제는 PSPACE‑complete임이 증명된다.

5. 의의 및 후속 연구 방향

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📄 Content

arXiv:0802.3513v1 [cs.GT] 24 Feb 2008
DAG(유향 비순환 그래프)에서 노드 차단 문제의 복잡도

다리우시 즈 데레니오프스키
알고리즘 및 시스템 모델링 학과,
그단스크 공과대학교, 폴란드
deren@eti.pg.gda.pl

2018년 11월 10일

초록

우리는 **노드 차단(node blocking)**이라 불리는 소멸 게임(annihilation game)의 변형을 연구한다.
주어진 유향 그래프에서 각 정점에는 최대 하나의 토큰만 놓일 수 있다. 토큰은 두 종류가 존재하며, 각 플레이어는 자신의 토큰 종류만 이동시킬 수 있다. 플레이어는 번갈아 가며 움직이며, 현재 차례인 플레이어 i는 자신의 토큰 중 하나를 선택해 그 토큰을 방향이 있는 간선을 따라 아직 비어 있는 정점으로 옮긴다. 이동할 수 있는 토큰이 없으면 그 플레이어는 패배한다.

우리는 다음과 같은 문제의 복잡도를 조사한다: 임의의 토큰 배치가 주어진 유향 비순환 그래프(DAG)에서 현재 차례인 플레이어가 승리 전략을 가질 수 있는가? 우리는 이 문제가 PSPACE‑complete임을 증명한다.

키워드: 소멸 게임, 노드 차단, PSPACE‑완전성

1. 서론

소멸 게임(annihilation game)의 연구는 존 콘웨이(John Conway)의 제안으로 시작되었으며, 최초 논문은 프레넬크(Fraenkel)와 예샤(Yesha)가 발표하였다[7, 9]. 이들은 2인용 게임을 정의했는데, 기본 그래프 G(사이클이 있을 수도 있음) 위에서 현재 차례인 플레이어가 토큰 하나를 선택해 그 토큰을 토큰이 놓여 있는 정점에서 나가는 간선을 따라 이동시킨다. 만약 어떤 정점에 두 개의 토큰이 동시에 놓이면 두 토큰은 그래프에서 제거된다(소멸).
[9]에서는 승리 전략을 다항 시간 안에 찾는 알고리즘을 제시하였다. 본 논문에서는 정상 플레이(normal play), 즉 움직일 수 없는 플레이어가 패배하는 규칙을 가정한다(미제어(미세레) 소멸 게임은 [2]에서 다루었다).

프레넬크는 [4]에서 셀룰러 자동자(cellular‑automata) 게임을 2인용 게임으로 일반화하고, 각 정점에 나가는 간선이 하나 이하인 경우 다항 시간 전략을 제시하였다. 이 결과는 소멸 게임에도 바로 적용될 수 있다.

또한 프레넬크는 [3]에서 소멸 게임과 오류 정정 코드(error‑correcting codes) 사이의 연관성을 연구했으며, [6]에서는 2인용 셀룰러 자동자 게임 이론을 이용해 오류 정정 코드를 다항 시간 안에 구성하는 알고리즘을 제시하였다.

본 논문에서는 토큰 종류가 둘 이상이거나 토큰 간 상호작용이 달라지는 소멸 게임의 일반화를 다룬다. 토큰 종류가 r ≥ 2개이고, 각 종류마다 이동 가능한 간선 집합이 다를 수 있다. 임의의 토큰 배치가 주어졌을 때 현재 차례인 플레이어가 승리 전략을 가질 수 있는지를 묻는 문제는 비순환 그래프에 대해 PSPACE‑complete임이 알려져 있다[5].

1.1 기존 변형들

• Hit: 토큰 종류 r ≥ 2와 간선 종류가 구분된다[5]. 플레이어 i는 종류 i의 토큰을 선택해 종류 i의 간선을 따라 이동한다. 목표 정점 v에 같은 종류 토큰이 있으면 이동이 불가능하고, 다른 종류 토큰이 있으면 그 토큰이 소멸한다. 이 게임은 비순환 그래프와 r = 2인 경우 PSPACE‑complete이다[5].

• Capture: Hit의 규칙에 추가로 토큰이 모든 간선을 사용할 수 있게 허용한다. 비순환 그래프에서는 PSPACE‑complete, 일반 그래프에서는 EXPTIME‑complete[10].

• Node blocking(본 논문에서 다루는 변형): 토큰은 두 종류(흰색·검은색)만 존재하고, 각 정점에는 최대 하나의 토큰만 놓일 수 있다. 플레이어 i는 자신의 종류 토큰을 모든 간선을 이용해 이동한다. 움직일 수 없으면 패배한다. 초기에는 NP‑hard[8]였고, 일반 그래프에서는 PSPACE‑hard[5], 최종적으로 EXPTIME‑complete[10]임이 밝혀졌다.

• Edge blocking: 토큰은 구분되지 않지만, 간선이 두 종류(1, 2)로 구분된다. 플레이어 i는 종류 i의 간선을 따라 토큰을 이동한다. 비순환 그래프에서는 PSPACE‑complete[5]이다.

아래 표는 앞서 언급한 2인용 소멸 게임들의 복잡도 요약이다(가장 강력한 알려진 결과만 표시).

“?”는 “PSPACE‑hard”로 대체될 수 있지만, 해당 게임이 PSPACE 안에 포함되는지는 아직 미해결이다. 본 논문에서는 표의 “?”에 해당하는 노드 차단 문제의 PSPACE‑완전성을 증명한다(이 문제는 [1]에서도 열린 문제로 제시되었다).

2. 정의

다음에서는 토큰 종류 1을 흰색 토큰(white token), 종류 2를 **검은색 토큰(black token)**이라 부으며, 각각을 기호 Wt, Bt 로 표기한다. 흰색 토큰을 움직이는 플레이어를 W, 검은색 토큰을 움직이는 플레이어를 B라 한다.

유향 그래프 G = (V(G), E(G)) 를 고려한다. 정점 v에 대해

[ \deg^+_G(v)=|{u\in V(G)\mid (u,v)\in E(G)}|,\qquad \deg^-_G(v)=|{u\in V(G)\mid (v,u)\in E(G)}| ]

라 정의한다.

플레이어 p ∈ {W, B}가 정점 u에 있던 토큰을 정점 v로 옮기는 움직임은 (u \xrightarrow{p} v) 로 표기한다.

현재 토큰 배치를 함수 f 로 나타낸다. *f(v)*는 다음 세 값 중 하나가 된다.

• Wt : 흰색 토큰이 놓여 있음
• Bt : 검은색 토큰이 놓여 있음
• ∅  : 토큰이 없음(정점이 비어 있음)

만약 f(u)=∅ 혹은 *f(v)≠∅*이면 움직임 (u \xrightarrow{p} v) 은 잘못된(move is illegal) 것이다.

우리는 PSPACE‑complete인 양화 부울 공식(QBF) 문제[11]를 사용해 감소(reduction)를 수행한다. 입력은

[ Q = Q_1 x_1 \dots Q_n x_n ; F(x_1,\dots,x_n) ]

형태이며, 여기서 각 Q_i는 ∃ 또는 ∀이고, F는 3‑CNF(3‑절)이다. 본 논문에서는 다음과 같은 제한된 형태만 고려한다.

• Q₁ = ∃
• *Q_{i+1} = ∀*이면 Q_i = ∃, *Q_{i+1} = ∃*이면 Q_i = ∀ (즉, 양화자가 교대로 등장)
• n 은 짝수
• F는 3‑절 형태

3. 노드 차단의 PSPACE‑hardness

3.1 변수 컴포넌트 정의

각 변수 x_i에 대응하는 변수 컴포넌트 G_i 를 다음과 같이 만든다.

• 홀수 i (i = 2j − 1) 일 때

  [ V(G_i)={s,t,x,y}\cup{v_1,\dots,v_4} ] [ E(G_i)={(s,v_1),(v_1,v_2),(v_2,v_3),(v_3,t),(v_4,t),(v_4,v_2),(x,v_4),(y,v_4)} ]

• 짝수 i (i = 2j) 일 때

  [ V(G_i)={s,t,x,y}\cup{v_1,\dots,v_8} ] [ \begin{aligned} E(G_i)={&(s,v_1),(v_1,v_2),(v_2,v_3),(v_3,t),(v_4,t),(v_4,v_2),\ &(v_5,v_4),(v_6,v_4),(v_7,v_5),(v_8,v_6),(x,v_7),(y,v_8)}. \end{aligned} ]

그림 1에 두 경우가 시각화되어 있다.

• 흰색 컴포넌트(홀수 i)에서는 초기 토큰 배치를

  [ f(s)=f(v_4)=f(x)=f(y)=Wt,\quad f(v_3)=\emptyset,\quad f(v_1)=f(v_2)=f(t)=Bt ]

  로 둔다(그림 1(a) 참고).

• 검은색 컴포넌트(짝수 i)에서는

  [ f(s)=f(v_4)=\dots=f(v_8)=Bt,\quad f(v_3)=\emptyset,\quad f(v_1)=f(v_2)=f(x)=f(y)=f(t)=Wt ]

  로 둔다(그림 1(b) 참고).

위 배치를 Gi의 초기 상태라 부른다.

3.2 기본 레마

Lemma 1
Gi가 흰색(검은색) 컴포넌트이면, 현재 차례인 플레이어 W(B)가 반드시 승리할 수 있다. 게임이 종료될 때 흰색 컴포넌트에서는 정점 x와 y 중 정확히 하나가 비어 있고, 검은색 컴포넌트에서는 x, y, v₅, v₆ 중 정확히 하나가 비어 있다.

증명(요약)
흰색 컴포넌트에서는 현재 차례가 W일 때 먼저 (v₄ → W t), 그 다음 B가 (v₂ → B v₃) 를 수행한다. 이후 (x → W v₄) 혹은 (y → W v₄) 중 하나를 선택하고, 이어서 (v₁ → B v₂), *(s 

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