차원 증가에 따른 순위 추정량의 연구

📝 원문 정보

• Title: On rank estimators in increasing dimensions
• ArXiv ID: 1908.05255
• 발행일: 2019-08-15
• 저자: Yanqin Fan, Fang Han, Wei Li, Xiao-Hua Zhou

📝 초록 (Abstract)

순위 추정기법의 가족, 한(Han)의 최대 순위 상관(Han, 1987)이 대표적인 예시로 포함되어 있으며, 이러한 추정기법들은 회귀 문제 연구에서 널리 활용되고 있다. 이들 추정기법에서는 차원성의 영향을 완화하기 위해 선형 지수가 도입되지만, 큰 차원성이 추론에 미치는 효과를 연구하는 경우는 드물다. 본 논문은 이러한 갭을 메꾸기 위해, 목적 함수가 U-프로세스로 구성되고 모델의 매개변수 개수 $p_{n}$이 표본 크기 $n$과 함께 증가할 수 있는 증가 차원 설정에서 불연속적일 수도 있는 더 큰 가족의 M-추정기법에 대한 통계적 속성을 연구한다. 먼저, 추정 시 $p_{n}/n \rightarrow 0$인 경우 $(p_{n}/n)^{1/2}$ 수렴률을 얻을 수 있음을 발견했다. 두 번째로, Bahadur형 경계를 설정하고 정규 근사의 유효성을 연구하여 종종 $p_{n}^{2}/n \rightarrow 0$보다 훨씬 강력한 스케일링 요구 사항이 필요하다는 것을 발견했다. 세 번째로, 점근 공분산 행렬의 수치 도함수 추정기의 일관성을 위한 조건을 제시하고 이 공분산 추정기를 구현할 때 단계 크기가 $p_{n}$에 따라 조정되어야 함을 보였다. 모든 이론적 결과는 시뮬레이션 연구를 통해 검증되었다.

💡 논문 핵심 해설 (Deep Analysis)

This paper explores the statistical properties of a larger family of M-estimators, specifically focusing on rank estimators used in regression problems. Rank estimators, including Han's maximum rank correlation (1987), are widely utilized but their behavior under increasing dimensions has been less studied. The authors introduce linear indices to mitigate dimensionality impacts and analyze the statistical properties of these estimators where the number of parameters $p_n$ can increase with sample size $n$. Key findings include obtaining $(p_n/n)^{1/2}$ convergence rates when $p_n/n \rightarrow 0$, establishing Bahadur-type bounds, validating normal approximations under stronger scaling requirements than $p_n^2/n \rightarrow 0$, and ensuring the consistency of numerical derivative estimators for the asymptotic covariance matrix. These theoretical results are supported by simulation studies.

📄 논문 본문 발췌 (Translation)

Reference