복잡한 네트워크의 고차 조직화

이 논문에서는 고차 네트워크 구조를 이용하여 복잡한 시스템의 조직을 이해하는 데 새로운 통찰력을 얻습니다. 우리는 모티프 클러스터링을 위한 프레임워크를 개발합니다. 각각의 네트워크 모티프(Figure 1A)에 대해 다른 고차 클러스터가 드러나며, 선택한 모티프에 따라 다양한 조직 패턴이 노출됩니다.

개념적으로, 주어진 네트워크 모티프 ( M )에 대해 우리의 프레임워크는 두 가지 목표를 가지고 노드 집합 ( S )을 찾습니다. 첫째, ( S )의 노드들은 많은 ( M ) 인스턴스에 참여해야 합니다. 둘째, ( S )는 ( M ) 인스턴스를 잘라내지 않아야 합니다. 즉, 모티프에서 일부 노드만 ( S )에 포함되는 경우(Figure 1B 참조). 좀 더 정확하게, 주어진 모티프 ( M )에 대해 고차 클러스터링 프레임워크는 다음과 같은 비율을 최소화하는 클러스터(노드 집합 ( S ))를 찾습니다:

\begin{equation}
\label{eqn:mcond}
\hocond{M}{S} = \hocut{S, \bar{S}} / \min(\hovol{S}, \hovol{\bar{S}}),
\end{equation}

여기서 ( \bar{S})은 나머지 노드( ( S )의 보수), ( \hocut{S, \bar{S}} )는 ( M ) 인스턴스 중 ( S )와 ( \bar{S} )에 각각 하나 이상의 노드가 포함되는 것들의 수이고, ( \hovol{S})은 ( M ) 인스턴스 중 ( S )에 속한 노드들의 수입니다. 방정식 1은 스펙트럼 그래프 이론에서 가장 유용한 그래프 분할 점수인 conductance 메트릭의 일반화입니다.

모티프 conductance를 최소화하는 정확한 노드 집합 ( S )을 찾는 것은 계산적으로 실현 불가능합니다. 그러나 방정식 1을 근사적으로 최소화하고 따라서 고차 클러스터를 식별하기 위해, 우리는 수학적 보장이 있는 근접 최적 클러스터를 찾아내는 최적화 프레임워크를 개발했습니다(Supplementary Materials 참조). 스펙트럼 그래프 클러스터링 방법론을 확장하여 네트워크에서 고차 구조를 반영하도록 했습니다. 이 결과 방식은 전통적인 스펙트럼 그래프 클러스터링의 특성을 유지합니다: 계산 효율성, 구현 용이성 및 얻어진 클러스터의 근접 최적성에 대한 수학적 보장. 특히, 우리의 고차 클러스터링 프레임워크가 식별한 클러스터는 모티프 Cheeger 부등식을 충족하므로, 우리의 최적화 프레임워크는 최적에서 제곱인자만큼 떨어진 클러스터를 찾습니다.

알고리즘(Figure 1C 참조)은 다음과 같이 노드 집합 ( S )을 효율적으로 식별합니다:

• Step 1: 주어진 네트워크와 관심 있는 모티프 ( M ), 모티프 인접 행렬 ( W_M )을 형성합니다. 여기서 행 ( (i,j))는 노드 ( i )와 ( j )가 모티프 ( M )에 포함되는 횟수입니다:

\begin{equation}
\label{eqn:weighting}
                     (W_M)_{ij} = \text{노드 $i$와 $j$가 인스턴스 $M$에 포함되는 수}.
\end{equation}

• Step 2: 노드의 정규화 모티프 라플라시안 행렬을 통해 구성된 스펙트럼 순서 ( \sigma )를 계산합니다.

• Step 3: 모티프 conductance가 가장 작은 접두 집합 ( S := \arg\min_{r} \hocond{M}{S_r})을 찾습니다, 여기서 ( S_r = \{\sigma_1, \ldots, \sigma_r\})입니다.

삼각형 모티프에 대해 이 알고리즘은 엣지가 수십억 개인 네트워크에서도 효율적으로 작동하고 일반적으로 그러한 크기의 그래프를 처리하는 데 몇 시간이 걸립니다. 작은 네트워크에서는 엣지가 수십만 개인 경우 모티프 크기 9까지 처리할 수 있습니다. 삼각형 모티프에 대한 알고리즘의 최악의 계산 복잡도는 ( \Theta(m^{1.5}) )이지만, 실제 사용 시에는 훨씬 빠릅니다. 16개의 실세계 네트워크를 분석한 결과 엣지 수 ( m )가 159,000에서 20억까지 변할 때 계산 복잡도는 ( \Theta(m^{1.2}) )로 나타났습니다. 또한 이 알고리즘은 쉽게 병렬화될 수 있으며 샘플링 기법을 사용하여 성능을 향상시킬 수도 있습니다.

이 프레임워크는 방향성, 비방향성 및 가중치 네트워크에 적용할 수 있으며 모티프도 포함됩니다. 또한 엣지에 양의 또는 음의 기호가 있는 네트워크에도 적용할 수 있습니다(사회 네트워크에서 친구와 적 또는 신뢰와 불신, 대사 네트워크에서 활성화 및 억제를 나타내는 에지 등). 이 프레임워크는 도메인 지식이 모티프에 대한 관심을 제시하는 네트워크의 고차 구조를 식별하는 데 사용할 수 있습니다. Supplementary Material에서는 미리 알려진 도메인 특정 고차 패턴이 없을 때 이 프레임워크가 어떤 모티프가 주어진 네트워크의 모듈화된 조직에 중요하다는 것을 식별할 수도 있음을 보여줍니다.