양자역학과 η 거의 허미트 연산자를 활용한 블랙 쇼울스 방정식 연구 2. 초록 전체 번역 및 정리

지난 몇 년간, 물리학의 다양한 도구를 이용하여 금융 문제 연구를 위한 큰 관심이 있었습니다.[1] 특히, 양자역학의 관점에서 다양한 금융 문제를 연구했습니다.[2][3][4][5] 예를 들어, 양자 기계적 잠재력을 사용하여 다양한 옵션을 모델링[6], 이산 변동성을 고려한 옵션 가격 책정을 위해 경적 적분 기법을 연구[7], 양자 역학을 이용하여 옵션 가격 책정, 주식 시장 수익률 분석[8][9][10], 블랙-쇼울스(BS) 방정식[11, 12] 등을 수행했습니다.

슈퍼시메트리는 새로운 해가 가능한 새로운 확산 과정을 얻기 위해 사용되었습니다.[13]

BS 방정식(그리고 그 다양한 일반화)은 옵션 가격 책정에서 지배적인 역할을 합니다. BS 방정식의 해는 슈뢰딩거 유사 방정식으로 매핑될 수 있으며, 이를 통해 가격 결정 핵이나 옵션 가격을 얻을 수 있습니다. 양자 역학의 관점에서, BS 함수는 비허미트입니다. 반면, 지난 10년 동안 비허미트 양자 역학이 광범위하게 연구되었습니다.

이러한 시스템의 특징은 슈뢰딩거 방정식에 여러 비허미트 잠재력을 포함할 때 실수 고유값을 가질 수 있다는 것입니다.[14] 이후 이 특이한 특성이 PT 대칭성[14] 또는 더 일반적으로 η-거의 허미트성에 기인한다는 것이 밝혀졌습니다. 본 연구에서는 BS 함수와 그 다양한 일반화가 η-거의 허미트임을 보여주고, 각 경우의 메트릭 연산자 η의 명시적 형태를 결정하고자 합니다.

또한, 효과적인 BS 함수와 그 파트너 함수가 반수 초대칭 시스템을 형성함을 보여줄 것입니다.[16]

상수 변동성을 가진 옵션 가격 책정을 위한 BS 방정식은 다음과 같이 주어집니다.[2]

여기서 C, S, σ, r는 각각 옵션 가격, 주식 가격, 주식 가격의 변동성, 무위험 현금 이자율을 나타냅니다. [2] 변환 C(S, t) = e^(it)ψ(S) 및 S(x) 아래에서 BS 방정식 (1)은 다음과 같이 됩니다:

여기서 HBS를 BS 함수로 정의합니다. 잘 알려진 바와 같이, BS 방정식의 HBS는 슈뢰딩거 형태로 변환될 수 있습니다.[2, 3] 이를 보여주기 위해 유사 변환을 사용합니다:

이때, HBS는 다음과 같은 슈뢰딩거 함수로 해석될 수 있습니다:

중요한 점은 BS 함수 HBS가 비허미트이며, 유사 변환 후의 HBS는 허미트하다는 것입니다.

지금부터 BS 함수가 사실 η-거의 허미트임을 보여드리겠습니다.

함수 H가 η-거의 허미트라고 하면, 다음과 같은 성질을 가집니다.[15]

여기서 η는 허미트 연산자입니다. η-거의 허미트 함수의 고유값은 모두 실수이거나 복소 공역 쌍으로 나타난다는 것이 증명되었습니다.[15] 금융 모델링 맥락에서, BS 방정식은 일반적으로 실수 고유값을 가지므로, BS 함수를 η-거의 허미트 관점에서 살펴보는 것은 흥미로운 주제입니다.

메트릭 연산자 η를 다음과 같이 정의합니다:

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…