에너지 효율을 위한 게임이론 기반 CDMA 변조 최적화: 지연 QoS 제약 하에서 M‑QAM 선택

📝 Abstract

A game-theoretic framework is used to study the effect of constellation size on the energy efficiency of wireless networks for M-QAM modulation. A non-cooperative game is proposed in which each user seeks to choose its transmit power (and possibly transmit symbol rate) as well as the constellation size in order to maximize its own utility while satisfying its delay quality-of-service (QoS) constraint. The utility function used here measures the number of reliable bits transmitted per joule of energy consumed, and is particularly suitable for energy-constrained networks. The best-response strategies and Nash equilibrium solution for the proposed game are derived. It is shown that in order to maximize its utility (in bits per joule), a user must choose the lowest constellation size that can accommodate the user’s delay constraint. This strategy is different from one that would maximize spectral efficiency. Using this framework, the tradeoffs among energy efficiency, delay, throughput and constellation size are also studied and quantified. In addition, the effect of trellis-coded modulation on energy efficiency is discussed.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

   • 현대 무선 시스템은 제한된 전력·대역폭 자원을 효율적으로 활용해야 하며, 특히 IoT·센서 네트워크와 같이 배터리 구동 장치가 많아 에너지 효율이 핵심 과제이다.
   • 기존 연구는 주로 스펙트럼 효율(throughput) 향상에 초점을 맞추었으며, 변조 차수가 에너지 효율에 미치는 영향은 충분히 탐구되지 않았다.
   • 게임이론을 이용한 전력 제어 연구는 활발하지만, 변조 차수까지 포함한 다변량 전략 공간을 고려한 연구는 드물다.

2. 문제 정의 및 모델링

   • 시스템: DS‑CDMA 네트워크, K 사용자가 동일한 베이스 스테이션에 접속. 각 사용자는 전송 전력 (p_k), 심볼 전송률 (R_{s,k}), 변조 차수 (M_k) (또는 비트당 심볼 수 (b_k=\log_2 M_k))를 선택한다.
   • 유틸리티 함수:
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📄 Content

무선 네트워크는 다양한 품질‑서비스(QoS) 요구를 가진 여러 응용 프로그램을 지원해야 할 것으로 기대됩니다. 네트워크 자원(즉, 에너지와 대역폭)의 희소성 때문에 무선 자원 관리가 무선 네트워크 성능에 결정적인 역할을 합니다. 목표는 사용자가 요구하는 QoS를 제공하면서 네트워크 자원을 가능한 한 효율적으로 사용하는 것입니다. 적응 변조는 무선 네트워크에서 스펙트럼 효율을 향상시키는 효과적인 방법으로 입증되었습니다(예: [1]‑[4] 참조). 그러나 지금까지 대부분의 연구는 네트워크의 처리량을 최대화하는 데 초점을 맞추었으며, 변조 차수가 에너지 효율에 미치는 영향은 그만큼 연구되지 않았습니다. 최근 [5]에서는 에너지 제한이 있는 시분할 다중접속(TDMA) 네트워크에 대한 변조 최적화를 연구하였으며, 볼록 최적화 접근법을 이용해 처리량 및 지연 제약 하에서 전체 에너지 소비를 최소화하는 최적 변조 전략을 도출했습니다.

전력 제어에 대한 게임 이론적 접근법은 최근 큰 관심을 받고 있습니다(예: [6]‑[16] 참조). [6]에서는 통신 시스템, 특히 전력 제어를 연구하는 데 게임 이론을 적용하는 동기를 제시합니다. [7]에서는 사용자가 전송 전력을 선택해 효용을 최대화하도록 하는 비협조 게임으로 전력 제어를 모델링했으며, 여기서 효용은 처리량을 전송 전력으로 나눈 비율로 정의됩니다. [13]에서는 전력 제어와 수신기 설계를 공동으로 다루는 게임 이론적 접근법을 제시했고, [14]에서는 다중 반송파 시스템에 대한 전력 제어를 연구했습니다. [8]에서는 가격 메커니즘을 도입해 전력 제어 게임의 효율성을 높였으며, [9]‑[12]에서도 다양한 효용 함수를 사용한 유사한 접근법이 제시되었습니다. 지연 제약이 있는 네트워크에서의 전력 제어에 대한 게임 이론적 접근법은 [15], [16]에서 제안되었습니다.

본 연구에서는 경쟁적인 다중 사용자 환경에서 변조가 코드‑분할 다중 접속(CDMA) 네트워크의 에너지 효율에 미치는 영향을 게임 이론적 방법으로 분석합니다. M‑QAM 변조에 초점을 맞추어, 각 사용자가 전송 전력, 전송 심볼 레이트, 그리고 별자리 크기(콘스텔레이션 사이즈)를 선택해 자신의 효용을 최대화하면서 QoS 제약을 만족하도록 하는 비협조 게임을 제안합니다. 여기서 사용되는 효용 함수는 소비된 에너지 1줄(J)당 전송된 신뢰 비트 수를 측정하며, 에너지 제한이 있는 네트워크에 특히 적합합니다. 제안된 게임에 대해 최적 응답 전략과 내시 균형(Nash equilibrium) 해를 도출하고, 비협조 게임 이론 틀을 이용해 에너지 효율, 지연, 처리량, 변조 차수 간의 트레이드오프를 정량화합니다. 또한 코딩이 에너지 효율에 미치는 영향을 제안된 게임 이론적 접근법으로 분석·정량화합니다. 더불어 본 틀을 통해 에너지 효율과 스펙트럼 효율 사이의 트레이드오프도 보여줄 수 있습니다.

이 논문의 구성은 다음과 같습니다. 시스템 모델과 효용 함수 정의는 제2절에 제시합니다. 제3절에서는 지연 제약이 없는 전력 제어 게임을 제시하고 해당 내시 균형 해를 도출합니다. 제4절에서는 지연 제약이 있는 전력 제어 게임을 제안하고 최적 응답 전략 및 내시 균형 해를 구합니다. 제5절에서는 코딩 시스템으로 분석을 확장합니다. 수치 결과와 결론은 각각 제6절과 제7절에 기술합니다.

우리는 사용자 단말이 공통 집중 지점(예: 셀룰러 기지국 또는 액세스 포인트)으로 데이터를 전송하는 직접 시퀀스 CDMA(DS‑CDMA) 무선 네트워크를 고려합니다. 시스템 대역폭은 B Hz라고 가정합니다. 사용자 k의 심볼 레이트와 전송 전력을 각각 (R_{s,k})와 (p_k)라 하겠습니다. 본 연구에서는 M‑QAM 변조에 초점을 맞추며, 각 심볼은 위상과 직교 성분을 나타내는 복소수라고 가정합니다. M‑QAM 변조에서 심볼당 전송 비트 수는

[ b = \log_2 M ]

입니다. M과 b 사이에는 일대일 대응 관계가 있으므로, b를 별자리 크기라고 부르기도 합니다. 우리는 정사각형 M‑QAM 변조(즉, (M \in {4,16,64,\dots}) 혹은 (b \in {2,4,6,\dots}))에 초점을 맞춥니다. 이는 정사각형 M‑QAM 변조의 심볼 오류 확률에 대한 정확한 식이 존재하기 때문입니다([17] 참조). 홀수 b값도 근사 오류 확률식을 사용하면 쉽게 일반화할 수 있습니다.

사용자의 효용 함수를 전송 전력 대비 처리량의 비율로 정의합니다.

[ u_k = \frac{T_k}{p_k} ]

이 효용 함수는 [7], [8]에서 사용된 것과 유사합니다. (1)식의 처리량 (T_k)는 오류 없이 전송된 순 정보 비트 수(일명 goodput)이며

[ T_k = R_k , f(\gamma_k) ]

로 표현됩니다. 여기서 (R_k)는 전송 레이트, (\gamma_k)는 사용자 k의 출력 신호‑대‑간섭‑플러스‑노이즈 비율(SIR)이며, (f(\gamma_k))는 패킷 성공률(PSR)을 나타내는 “효율 함수”입니다. 효율 함수는 (f(0)=0)이어야 하며, 이는 전송 전력이 0일 때 효용이 0임을 보장합니다. 일반적으로 효율 함수는 변조 방식, 코딩, 패킷 크기에 따라 달라집니다.

우리는 자동 재전송 요청(ARQ) 메커니즘을 가정합니다. 즉, 사용자는 패킷이 오류 없이 액세스 포인트에 도착할 때까지 재전송을 계속합니다. (1)과 (2)를 이용하면 사용자 k의 효용 함수는

[ u_k = \frac{R_k , f(\gamma_k)}{p_k} ]

와 같이 쓸 수 있습니다. 이 효용 함수는 단위가 비트/줄(J)이며, 소비된 에너지당 전송된 신뢰 비트 수를 측정하므로 에너지 제한 네트워크에 적합합니다.

이제 특정 사용자에 집중하고 서브스크립트 k를 생략하겠습니다. 패킷 크기를 L 비트라 하면, 정사각형 M‑QAM 변조에 대한 패킷 성공률은

[ P_{\text{success}} = \bigl[1 - 2\bigl(1-\frac{1}{\sqrt{M}}\bigr) Q!\bigl(\sqrt{\frac{3\gamma}{M-1}}\bigr)\bigr]^L ]

이며 여기서 (Q(\cdot))는 표준 정규 분포의 보완 누적 분포 함수입니다. (\gamma=0)일 때 (P_{\text{success}} = 2^{-L}=0)이므로 효율 함수를

[ f(\gamma) = 1 - 2^{-L} + P_{\text{success}} ]

로 정의합니다. L이 충분히 크면 (2^{-L}\approx 0)가 됩니다(예: L=100).

비협조 전력 제어 게임은 일반적으로

[ \mathcal{G}= [\mathcal{K},{\mathcal{A}_k},{u_k}] ]

와 같이 표현됩니다. 여기서 (\mathcal{K}={1,\dots,K})는 사용자(플레이어) 집합, (\mathcal{A}_k)는 사용자 k의 전략 집합, (u_k)는 (3)식에 정의된 효용 함수입니다. 각 사용자는 자신의 효용을 최대화하도록 전략을 선택합니다. 따라서 사용자 k의 최적 응답 전략은

[ \max_{a_k\in\mathcal{A}k} u_k(a_k,a{-k}) ]

의 해입니다. 내시 균형은 모든 사용자가 일방적으로 효용을 개선할 수 없는 전략 프로파일 ((a_1^,\dots,a_K^))을 의미합니다[18].

본 연구에서는 각 사용자가 전송 전력, 전송 심볼 레이트, 그리고 별자리 크기 선택을 자유롭게 할 수 있는 비협조 게임을 제안합니다.

K명의 사용자가 있는 DS‑CDMA 네트워크를 고려하고, 사용자 k의 전송 레이트를

[ R_k = b_k R_{s,k} ]

로 정의합니다. 여기서 (b_k)는 심볼당 정보 비트 수, (R_{s,k})는 심볼 레이트입니다. 우선 지연 제약이 없다고 가정하고, 각 사용자는 자신의 별자리 크기와 전송 전력을 선택해 효용을 최대화합니다.

[ \max_{b_k\in{2,4,6,\dots},;p_k\in[0,P_{\max}]} \frac{b_k R_{s,k} f(\gamma_k)}{p_k} ]

여기서 (P_{\max})는 허용 가능한 최대 전력이며, 본 논문에서는 충분히 크게 가정합니다.

모든 선형 수신기에 대해 사용자 k의 출력 SIR은

[ \gamma_k = \frac{p_k \hat{h}_k}{B} ]

와 같이 쓸 수 있습니다. (\hat{h}_k)는 사용자 k의 유효 채널 이득으로, 다른 사용자들의 채널 이득 및 전력에 의존하지만 사용자 k의 전송 전력과 레이트에는 독립적입니다. 예를 들어 매치드 필터 수신기의 경우 (\hat{h}k = \frac{h_k}{\sigma^2 + \sum{j\neq k} p_j h_j})가 됩니다. 따라서 (3)식의 효용은

[ u_k = \frac{b_k R_{s,k} f!\bigl(\frac{p_k \hat{h}_k}{B}\bigr)}{p_k} ]

와 같이 표현됩니다.

(B)와 (\hat{h}_k)가 고정된 상황에서 효용을 최대화하는 것은 (\frac{b_k f(\gamma)}{\gamma})를 최대화하는 것과 동등합니다. 즉, 주어진 b에 대해 최적 SIR (\gamma^*_b)는

[ \frac{d}{d\gamma}!\bigl(\frac{b f(\gamma)}{\gamma}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad f(\gamma) = \gamma f’(\gamma) ]

을 만족하는 양의 해입니다[19]. S‑shaped(시그모이드) 효율 함수에 대해 위 방정식은 유일한 해를 갖습니다. (7)식에 의해 정의된 (f_b(\gamma))는 S‑shaped이므로 (\gamma^_b)는 존재합니다. (\gamma^_b)가 실현 가능하면 최대 효용은

[ u_{\max}= \frac{b f(\gamma^_b)}{\gamma^b},\frac{R{s,k}}{p_k} ]

와 같이 주어집니다. (7)식을 이용하면 (\gamma^*_b)는 근사적으로

[ \gamma^*_b \approx \frac{(M-1)}{3}\bigl[Q^{-1}!\bigl(

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