3차원 퇴적 분지의 지진파 증폭: 빠른 다중극점 BEM을 활용한 3D/1D 증폭 비율 규명

📝 Abstract

In this work, we study seismic wave amplification in alluvial basins having 3D standard geometries through the Fast Multipole Boundary Element Method in the frequency domain. We investigate how much 3D amplification differs from the 1D (horizontal layering) case. Considering incident fields of plane harmonic waves, we examine the relationships between the amplification level and the most relevant physical parameters of the problem (impedance contrast, 3D aspect ratio, vertical and oblique incidence of plane waves). The FMBEM results show that the most important parameters for wave amplification are the impedance contrast and the so-called equivalent shape ratio. Using these two parameters, we derive simple rules to compute the fundamental frequency for various 3D basin shapes and the corresponding 3D/1D amplification factor for 5% damping. Effects on amplification due to 3D basin asymmetry are also studied and incorporated in the derived rules.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 목적

• 문제의식: 기존 지진공학 설계에서는 주로 1차원 층상 모델을 사용해 퇴적층의 증폭을 추정한다. 그러나 실제 지형은 2차·3차원 효과(파의 초점 현상, 경계에서 발생하는 파) 때문에 증폭이 크게 달라진다.
• 목표: 3차원 퇴적 분지에서 발생하는 증폭을 정량화하고, 3D/1D 증폭 비율을 간단히 예측할 수 있는 실용적인 규칙을 제시한다.

2. 방법론

3. 주요 결과

1. 핵심 파라미터

   • 임피던스 대비 χ와 등가 형상비(κ_eq = h/R) 가 3D 증폭을 결정짓는 가장 중요한 변수임을 확인.
   • χ가 클수록(즉, 분지가 더 연약할수록) 증폭이 급격히 증가한다.

2. 기본 주파수 예측식

   • 2D 결과와 유사하게, 3D 기본 주파수 f₀는
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📄 Content

Bulletin of the Seismological Society of America
2016년 6월

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제목

3차원 충적 분지에서의 지진파 증폭:
Fast Multipole BEM 시뮬레이션을 이용한 3D/1D 증폭 비율

저자명

Kristel C. Meza‑Fajardo(1)(*), Jean‑François Semblat(2), Stéphanie Chaillat(3), Luca Lenti(4)

교신 저자

Kristel C. Meza‑Fajardo
토목공학과,
Universidad Nacional Autónoma de Honduras
테구시갈파, 온두라스
이메일: kristelmeza@unah.edu.hn
(*) 이전 소속: IFSTTAR, Départ. GERS, 20 Boulevard Newton, Champs‑sur‑Marne, France.

초록

본 연구에서는 Fast Multipole Boundary Element Method(FMBEM)를 주파수 영역에서 적용하여, 3차원 표준 형상을 갖는 충적 분지에서의 지진파 증폭을 조사한다. 3차원 증폭이 1차원(수평층) 경우와 얼마나 다른지를 정량적으로 분석한다. 평면 조화파가 입사하는 경우를 가정하고, 증폭 수준과 문제의 주요 물리적 파라미터(임피던스 대비, 3D 종횡비, 평면파의 수직·경사 입사) 사이의 관계를 탐구한다. FMBEM 결과는 파동 증폭에 가장 큰 영향을 미치는 파라미터가 임피던스 대비와 **등가 형상비(equivalent shape ratio)**임을 보여준다. 이 두 파라미터를 이용해 다양한 3D 분지 형태에 대한 기본 주파수를 간단히 계산하는 규칙과, 5 % 감쇠 조건에서의 3D/1D 증폭 계수를 도출하였다. 또한 3D 분지 비대칭성이 증폭에 미치는 영향을 조사하고, 이를 위에서 제시한 규칙에 포함시켰다.

서론

충적 퇴적층에서의 지진파 증폭은 표면층의 기하학적 형태와 기계적 특성에 크게 좌우된다. 현재 대부분의 설계·해석 코드는 단순화된 1차원 접근법을 사용해 증폭을 추정한다. 그러나 실제 증폭 과정은 1차원(수평층)과 2차원·3차원 경우 사이에 집속 효과와 분지 가장자리에서 발생하는 파동 등으로 인해 현저히 다를 수 있다(예: Paolucci 1999).

다양한 연구자들이 단순 형상의 분지에 대한 응답을 해석·수치적으로 조사해 왔다. Bard와 Bouchon(1985)은 강체 반반공간에 매립된 직사각형·사인형 연질층에 평면 SH파가 입사할 때의 응답을 분석하였다. Semblat 등(2010)과 Bonnet(1999)는 2차원 원통형 분지에 평면 수직 SH파가 입사할 경우를 Boundary Element Method를 이용해 주파수 영역에서 다루었다. Rodriguez‑Zuñiga 등(2005)은 직사각형 수직 단면을 갖는 3차원 원통형 분지를 조사하면서, 분지 중심에서 2차원과 3차원 응답이 크게 차이 나는 것을 확인하였다. Papageorgiou와 Pei(1998)는 반원형 단면을 가진 3차원 원통형 분지에 대한 체파와 레일리 파의 입사 경우를 다루었다.

Bard와 Bouchon(1985), Jiang과 Kuribayashi(1988)의 연구에서는 분지의 기본 주파수가 종횡비와 분지 중심에서의 1차원 기본 주파수에만 의존한다는 결론을 제시하였다. 반구형 협곡에 대한 3차원 파 회절은 Lee(1978), Kim·Papageorgiou(1993), Yokoi(2003), Liao 등(2004), Chaillat 등(2008) 등에 의해 연구되었으며, 표면 이질성에 의한 3차원 파 증폭도 Sánchez‑Sesma·Luzón(1995), Komatitsch·Vilotte(1998), Drawinski(2003), Moczo 등(2002), Chaillat 등(2009) 등에 의해 정량화되었다.

Smerzini 등(2011)은 스펙트럴 엘리먼트 방법을 이용해 이탈리아 Gubbio 평원의 3차원 모델과 2차원·1차원 모델을 비교하였다. Olsen 등(2000)은 캘리포니아 Upper Borrego Valley에 대한 3차원 유한 차분 모델을 사용해 3D/2.5D/1D 증폭 및 지속시간 차이를 보고하였다. 2차원 증폭 특성은 2D/1D 증폭 계수를 통해 수평층 경우와 비교해 해석될 수 있다(Chavez‑Garcia·Faccioli 2000, Gélis 등 2008, Makra 등 2005, Semblat 등 2010).

본 논문의 주요 목표는 다양한 3차원 구성에서의 3D/1D 증폭 계수를 정량화하는 것이다. 이를 위해 Fast Multipole Method(FMM)를 이용해 3차원 파 증폭을 모델링한다. FMM 기반 BEM은 전역 선형 시스템을 푸는 반복 해석기의 수렴 속도를 크게 향상시킨다. 특히 강한 속도 구배나 무한 3차원 영역을 포함하는 탄성 파 전파 문제에서 대규모 BEM 메쉬가 필요할 때 유리하다(Makra 등 2005; Chaillat 등 2008, 2009; Delépine·Semblat 2012).

Grasso 등(2012)은 약간의 손실을 갖는 점탄성 매질에 대한 FMBEM 확장을 수행했으며, 본 연구에서는 이 점탄성 FMBEM을 이용해 정형화된 3차원 분지에 평면 파가 입사할 때의 증폭 현상을 조사한다. Makra 등(2005)과 Semblat 등(2010)이 2차원 정형·실제 모델에 대해 수행한 작업을 토대로, 본 연구에서는 기본 주파수를 식별하고, 임피던스 대비, 종횡비, 감쇠비와 같은 기계적 파라미터와 증폭 수준 사이의 관계를 분석한다. 최종적으로는 3D/1D 증폭 계수와 분지 비대칭 효과를 포함한 간단한 설계 규칙을 제시한다.

Fast Multipole Boundary Element Method

Grasso 등(2012)의 논의를 따르며, 고전적인 경계 적분 표현식은 체력 없이 등방성·균질·점탄성 고체 내부 Ω의 점 x에서 방향 k의 변위 uₖ(x) 를 다음과 같이 기술한다.

[ u_k(\mathbf{x}) = \int_{\partial\Omega} \bigl[, t_i(\mathbf{y}),U_i^{,k}(\mathbf{y}-\mathbf{x};\omega)

• u_i(\mathbf{y}),T_i^{,k}(\mathbf{x},\mathbf{y};\omega) \bigr] , dS_{\mathbf{y}} \tag{1} ]

여기서 t는 전단력 벡터, (U_i^{,k})와 (T_i^{,k})는 각각 점탄성 기본해에 의해 생성되는 변위·전단력 텐서이며, (\omega)는 각주파수이다.

점탄성 기본해는 다음과 같이 전개된다.

[ U_i^{,k}(\mathbf{y}-\mathbf{x};\omega)= \frac{1}{\mu_k s^2}\Bigl(\delta_{qs}\delta_{ik}-\delta_{qk}\delta_{is}\Bigr) \frac{\partial}{\partial x_q}\frac{\partial}{\partial y_s} G(\mathbf{y}-\mathbf{x};k_s) +\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial y_k} G(\mathbf{y}-\mathbf{x};k_p) \tag{2} ]

[ T_i^{,k}(\mathbf{x},\mathbf{y};\omega)=C_{ijhl},\frac{\partial}{\partial y_l} U_h^{,k}(\mathbf{y}-\mathbf{x};\omega),n_j(\mathbf{y}) \tag{2} ]

여기서 (k_{p,s}=k_{p,s}(\omega)=k_{p,s}(\omega)\bigl(1+i\beta(\omega)\bigr))는 복소 파수이며, (\beta(\omega))는 재료 감쇠비, (n(\mathbf{y}))는 외향법선이다. 자유공간 그린함수 (G)는 Helmholtz 방정식의 해로서

[ G(r;k)=\frac{e^{ik r}}{4\pi r}= \frac{e^{-\beta k r},e^{i k r}}{4\pi r},\qquad \beta>0 \tag{3} ]

점탄성 라멜 파라미터 (\lambda(\omega),\mu(\omega))에 의해 구성 텐서 (C_{ijhl})는

[ C_{ijhl}(\omega)=\lambda(\omega),\delta_{ij}\delta_{kl} +\mu(\omega)\bigl(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}\bigr) \tag{4} ]

경계조건 (\mathbf{t}^L)가 주어지면 (1)의 적분식은

[ \mathcal{I}u(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}),\qquad \mathbf{x}\in\partial\Omega \tag{5} ]

[ \mathcal{I}u(\mathbf{x}) = c_{ik}(\mathbf{x}),u_{ik}(\mathbf{x})

• \text{P.V.}!\int_{\partial\Omega} T_i^{,k}(\mathbf{x},\mathbf{y};\omega),u_i(\mathbf{y}),dS_{\mathbf{y}} \tag{5} ]

[ f(\mathbf{x}) = \int_{\partial\Omega} t_i^L(\mathbf{y}),U_i^{,k}(\mathbf{x},\mathbf{y};\omega),dS_{\mathbf{y}} \tag{6} ]

여기서 **P.V.**는 코시 주값(Cauchy principal value) 적분을 의미한다. 자유항 (c_{ik})는 경계의 국부 기하학에 따라 결정되며, 매끄러운 경계에서는 (\delta_{ik}/2)가 된다.

(N_I)개의 등변소형 경계 요소를 사용해 (5)를 이산화하

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