Title: Proof of the Irrationality of the Square Root of Two in Babylonian Geometry Problem Tablets
ArXiv ID: 1603.06656
발행일: 2016-03-23
저자: Benjamin M. Altschuler, Eric L. Altschuler
📝 초록 (Abstract)
이 논문은 그리스 수학에서 유명한 제곱근 2가 비합리수임을 증명하는 내용이 실제로 고대 바빌로니아의 기하학 문제판에 포함되어 있다는 사실을 밝혀냅니다. 특히, BM 15285와 YBC 7289라는 두 개의 타블렛에서 이러한 증명이 발견되었으며, 이는 그리스 수학자들이 제곱근 2가 비합리수임을 처음으로 증명했다는 일반적인 인식에 도전하는 내용입니다. 논문은 바빌로니아인들이 피타고라스 정리를 이용하여 제곱근 2의 비합리성을 간단하게 증명할 수 있었음을 보여주며, 이들의 수학적 능력과 깊이를 재평가하는 계기가 되었습니다.
💡 논문 핵심 해설 (Deep Analysis)
본 논문은 그리스 수학에서 유명한 제곱근 2의 비합리성 증명을 바빌로니아 기하학 문제판에 담긴 내용으로 재해석하고 있습니다. 이는 고대 수학사에서 중요한 전환점이 될 가능성이 있으며, 특히 그리스 수학자들이 처음으로 이러한 사실을 발견했다는 일반적인 인식에 도전하는 내용입니다.
1. 제곱근 2의 비합리성 증명: 그리스와 바빌로니아
제곱근 2가 비합리수임을 증명하는 것은 수학사에서 중요한 이정표 중 하나입니다. 그리스 수학자들은 이를 대수적 방법으로 증명하였는데, 이는 모순법을 통해 진행되었습니다. 즉, 제곱근 2를 합리수로 가정하고 이를 두 정수의 분수 형태로 표현한 후, 그 결과가 모순됨을 보여주는 방식이었습니다.
그러나 본 논문은 이러한 증명이 바빌로니아 기하학 문제판에 이미 포함되어 있었음을 제시합니다. 특히 BM 15285와 YBC 7289라는 두 개의 타블렛에서 이를 발견하였으며, 이는 그리스 수학자들이 처음으로 이러한 사실을 발견했다는 일반적인 인식에 도전하는 내용입니다.
2. 바빌로니아 기하학 문제판 분석
본 논문은 BM 15285의 12번째 문제를 주요 증거로 제시하고 있습니다. 이 문제는 정사각형 내부에 16개의 삼각형을 그린 후, 각 삼각형의 면적을 구하는 내용입니다.
이 문제에서 바빌로니아인들은 피타고라스 정리를 이용하여 직각 등변 삼각형의 빗변과 한 변 사이의 관계를 증명하였습니다. 이는 H² = 2S²라는 공식으로 표현되며, 여기서 H는 대각선의 길이이고 S는 한 변의 길이입니다.
이제 제곱근 2의 비합리성 증명을 위해 다음과 같은 논리를 사용합니다:
H/S = √2를 가정하고 이를 가장 단순한 분수로 표현한다고 가정합니다.
삼각형 AOB를 고려하면, 이는 자체적으로도 직각 등변 삼각형이며 AB의 길이는 S이고 AO와 BO의 길이는 H/2입니다.
피타고라스 정리에 따르면 S/(H/2) = √2가 성립합니다.
그러나 S와 H/2는 모두 정수이므로, 이는 H/S가 가장 단순한 분수로 표현될 수 없다는 모순을 발생시킵니다.
따라서 제곱근 2는 비합리수임을 증명할 수 있습니다. 이러한 증명은 그리스 수학자들의 대수적 방법과 달리 기하학적인 접근법을 사용하였으며, 이는 바빌로니아인들이 이미 합리성의 개념을 이해하고 있었음을 시사합니다.
3. 바빌로니아 수학의 재평가
본 논문은 바빌로니아 수학에 대한 새로운 인식을 제시하며, 그들의 수학적 능력과 깊이를 재평가하는 계기가 되었습니다. 특히 YBC 7289 문제에서도 유사한 증명이 발견되었으며, 이는 바빌로니아인들이 피타고라스 정리를 이용하여 제곱근의 비합리성을 증명할 수 있었음을 보여줍니다.
그러나 아직까지 바빌로니아인들이 이러한 증명을 실제로 이해하고 있었는지는 명확하지 않습니다. Neugebauer는 “바빌로니아 수학자들에게는 이러한 결과에 도달할 수 있는 모든 기초가 마련되어 있었다"고 언급하며, 이들의 수학적 능력을 높이 평가하였습니다.
결론
본 논문은 그리스 수학에서 유명한 제곱근 2의 비합리성 증명을 바빌로니아 기하학 문제판에 담긴 내용으로 재해석하고 있습니다. 이는 고대 수학사에서 중요한 전환점이 될 가능성이 있으며, 특히 그리스 수학자들이 처음으로 이러한 사실을 발견했다는 일반적인 인식에 도전하는 내용입니다. 바빌로니아인들의 수학적 능력과 깊이를 재평가하며, 이들의 기여가 더욱 인정받을 필요성을 강조하고 있습니다.
본 논문은 고대 수학사 연구에서 중요한 역할을 하며, 그리스와 바빌로니아의 수학적 관계에 대한 새로운 이해를 제공합니다. 이를 통해 우리는 고대 문명이 얼마나 복잡한 수학적 개념을 이해하고 활용하였는지에 대해 더 깊게 이해할 수 있게 됩니다.
📄 논문 본문 발췌 (Excerpt)
## 바빌로니아 기하학 문제판에 담긴 제곱근 2의 비합리성 증명
그리스 수학이 이룬 가장 큰 업중 하나는 제곱근 2가 비합리수임을 증명하는 것이다. 바빌로니아인들이 합리성의 개념을 이해했고, 더 나아가 제곱근 2의 비합리성을 증명했다는 생각은 일반적으로 받아들여지지 않는다. 본 논문에서는 두 개의 바빌로니아 기하학 문제판에 단순한 제곱근 2의 비합리성 증명이 담겨 있음을 보여준다. 현재 바빌로니아인들이 이 문제판들에 이러한 증명이 포함되어 있다는 사실을 알고 있었는지는 아직 명확하지 않다.
그리스 수학은 제곱근 2가 비합리수임을 증명하는 것으로 유명하며, 이는 일반적으로 피타고라스 학파(기원전 570년 ~ 기원전 495년)에 귀속된다. 그러나 이 특정 공적은 논쟁의 여지가 있다[3]. 그리스 증명은 대수학적이며 모순을 통해 진행된다: 제곱근 2가 합리수라고 가정하고 이를 두 정수 p/q의 분수로 표현한다(분모가 가장 작은 형태). 간단한 대수 조작으로 p와 q 모두 짝수라는 사실이 드러나고, 이는 분수가 가장 작은 형태가 아니임을 증명한다. 피타고라스 이후 약 한 세기 후 테오도루스 키레네(기원전 5세기)는 제곱근 3, 5, 그리고 다른 수들까지 포함한 17까지의 비합리성을 증명할 수 있었다[4].
바빌로니아인들은 수학 및 천문학 분야에서 뛰어난 업적을 남겼지만, 고대 바빌로니아 표(YBC 7289 [5-8], 기원전 1800년 ~ 1600년)에는 제곱근 2와 그 역수의 가장 정확한 세 자리 십진수 근사치(육자리까지 정확함)가 기록되어 있음에도 불구하고, 수학자[5, 7, 8]나 수학사학자[1, 6, 9, 10]들은 바빌로니아인들이 제곱근 2의 비합리성을 알았거나 증명했다는 생각을 하지 않았다.
본 논문에서는 바빌로니아 표 BM 15285 [11]에 단순한 기하학적 증명이 담겨 있음을 지적한다. 이 문제판의 12번째 문제(총 41개의 기하학 면적 문제 중 하나)는 다음과 같다: “정사각형의 한 변의 길이가 60 자(rod)이다. 그 안에 16개의 삼각형이 그려져 있다. 이들의 면적은 얼마인가?” 아래 그림 1에 문제 표가 제시되어 있다.
먼저, 이 표가 오늘날 피타고라스 정리로 알려진 특별한 경우인 직각 등변 삼각형의 피타고라스 정리를 증명하는 기하학적 증명을 포함하고 있음을 보여준다. 문제 표는 자(rod)와 각도를 이용하여 그릴 수 있다: 큰 사각형을 만들고, 한 변에 평행한 선을 그어 세로 및 가로로 분할한다. A, B, C, D를 큰 사각형의 네 모서리로 하고, 대각선을 그어 중간 지점을 O로 표시한다. AO, BO, CO, DO의 중간 지점을 L, M, N, R로 표시한다. 이 선들을 이용하여 BD, AC, BD, AC에 수직한 선을 그어 W, X, Y, Z를 찾는다. 마지막으로 L, M, N, R을 연결한다. 대칭성 때문에 16개의 삼각형 모두 같은 면적을 가지며, 이를 T라고 한다.
예를 들어, 위 구성에서 만들어진 직각 등변 삼각형 LMN의 경우, LM2 = MN2 = 4T라는 사실로부터 시작할 수 있다. 또한 WXYZ 사각형을 고려하면 (LN)2 = 8T임을 알 수 있다. 따라서 (LM)2 + (MN)2 = (LN)2가 성립하며, 직각 등변 삼각형의 피타고라스 정리가 문제 표 내에서 증명된다.
또 다른 표현으로 이 정리를 쓰면 H를 직각 등변 삼각형의 빗변의 길이, S를 한 변의 길이로 할 때 H2 = 2S2임을 알 수 있다. 또한 이를 통해 빗변이 한 변보다 길다는 사실도 즉시 확인할 수 있다.
이제 이 문제 표가 제곱근 2의 비합리성을 증명하는 데에도 사용될 수 있음을 보여줘야 한다. 큰 사각형을 가정하고, 제곱근 2가 합리수라고 가설적으로 가정한다(b로 표시).
제곱근의 비합리성 증명: 고대 바빌로니아 수학의 재조명
S가 큰 정사각형의 변 길이고 H가 주대각선의 길이일 때, H² = 2S²로부터 H/S = √2라는 사실이 도출됩니다. 이는 H/S가 가장 단순한 분수로 표현될 수 있음을 의미합니다. 그러나 삼각형 AOB를 고려해보면, 이 삼각형은 자체적으로도 직각 자명삼각형이며, AB는 S 길이의 변이고, AO와 BO는 대칭적으로 H/2 길이입니다. H²가 정수 S²의 두 배인 경우, H²는 짝수이므로 H 또한 짝수입니다. 따라서 H/2는 정수입니다. 피타고라스 정리에 따르면, S/(H/2) = √2입니다. 그러나 S와 H/2가 모두 정수이고, S < H이며 H/2 < S라는 조건을 고려할 때, H/S가 가장 단순한 분수로 표현될 수 없다는 모순이 발생합니다. 따라서 √2는 비합리수임을 증명합니다. (끝)
YBC 7289 문제에는 피타고라스 정리를 전제로 한 유사한 비합리성 증명이 포함되어 있습니다. YBC 7289의 도형과 BM 15285의 일부 도형이 유사하다는 것이 지적되었습니다([7]).
바빌로니아인들이 이러한 문제 타블렛에 제곱근의 비합리성을 증명하는 내용이 담겨있다는 것을 알고 있었는지, 또는 심지어 비합리수의 개념을 이해했는지는 아직 명확하지 않습니다 ([1, 2, 5-11]). 네우게바우어([1])는 예견하듯이, “그러나 이러한 결과 [제곱근의 비합리성]에 도달할 수 있는 모든 기초가 바빌로니아 수학자들에게 이미 마련되어 있었다"고 언급했습니다. 사실, 바빌로니아의 기하학 문제 타블렛에는 이러한 증명이 포함되어 있었습니다! 추가적인 조사를 통해 바빌로니아인들이 타블렛에 담긴 증명의 의미를 이해하고, 이를 통해 그리스인들보다 먼저 이 심오한 수학적 사실을 증명했다는 것을 확인할 필요가 있습니다. 그럼에도 불구하고, 문제 12는 진정한 “책 증명"이며, 말로 표현하지 않고도 아름답고 단순하며 직관적인 “타블렛 증명"입니다.
참고문헌:
O. Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity. Dover, New York, 1969, p. 48.