수정 KdV 방정식의 감축과 q Painlevé VI의 관계

이 방정식의 자율적 버전은 다차원적으로 일관된 방정식 목록에서 쿼드 그래프[1]의 H3 δ=0과 동등합니다. (1)을 질(q) 동역학인 파인레비 방정식의 q-동질로 감축하는 것은 Hay 외 연구자[2]에 의해 고려되었습니다. 우리는 이 연구를 확장하여 감축에 대한 새로운 관점을 제공하고자 합니다, 그리고 이를 통해 Jimbo 외 연구자의 제6 파인레비 방정식(q-P VI)[3], 즉 (2a) f = q^2/q^2 b1t^2 + ga^2b2t^2 + ga1(gb1q^2 + a^2)/(a1 + gb2)를 (1)의 감축으로 보여줍니다.

여기서 t = q^2t로 고정된 q ∈ C에 대한 특정 상수 q와 ai, bj가 고정된 매개변수임을 주목하십시오. 이 방정식은 원래 연결 보존 변형으로 처음 등장했으며[3], 최근에는 작은 q 자코비 다항식의 변형으로 나타났습니다[7].

q-P VI는 질(q) 다중 성분 카도미트세프-페트비아스키 계층[6]의 q-동질로 감축된 것으로 알려져 있지만, 우리가 아는 한 이 방정식이 2차원 라트레 방정식의 감축으로 나타난 것은 처음입니다. 또한, 우리는 새로운 방법을 활용하여 새로운 Lax 쌍을 얻을 것입니다. 이 방법은 Quispel과의 협업을 통해 개발되었습니다[8].

그런 다음, 이 Lax 표현이 초월적 이산화될 수 있음을 보여주어, 초월적 Lax 표현을 통한 제6 파인레비 방정식의 질(q) 동질(u-P VI)[12]을 유도합니다:

여기서 Ai와 Bj는 R의 고정 매개변수이고 T = 2Q + T로 정의된 Q ∈ R입니다. 이 초월적 Lax 표현은 우리가 아는 한 처음으로 등장했습니다. 이 편지의 구조는 다음과 같습니다:

2절에서는 (2)가 (1)의 감축으로 나타나는 것을 보여줍니다. 3절에서는 감축을 위한 새로운 Lax 표현을 얻기 위한 방법을 개괄합니다. 4절에서는 방정식과 Lax 표현이 어떻게 제3 파인레비 방정식(q-P III)과 그 Lax 표현으로 변형되는지 보여줍니다. 5절에서는 Lax 표현이 초월적 이산화를 통해 (3)로 유도되는 방법을 보여줍니다.

이제 (2, 2)-감축을 고려합니다. 여기서 w0, w1, w2, w3를 계단 형태로 정의합니다: w1은 w0 바로 위에 위치합니다(그림 2 참조). 진화가 일관성을 유지하는 한, αl/βm = αl+2/βm+2로, 변수 분리로부터 (4)가 도출됩니다.

(4)를 만족시키기 위해 ai와 bi를 i=1, 2로 정의합니다:

t = qm-l로 설정하면 βm/αl ∝ t이며, m → m+2는 t → q^2t과 동등합니다. (1)을 풀어 w0와 w2를 얻고, 이후 주기성과 (1)을 사용하여 w0와 w2를 다시 구할 수 있습니다:

w1 = w3tb1w2q^2 + a1w0

w0/w2 = f/t, w1/w3 = g/t로 설정하면 (2)가 도출되며, 이제 f와 g는 각각 fₗ로 해석됩니다.

우리는 Hay 외 연구자[2]의 감축 방법과는 다른 접근 방식을 사용합니다. 일반적인 방법은 별도의 출판물에서 더 탐구될 것입니다[8].

먼저 (1)이 다중 차원과 일관성을 가지며, 다음과 같은 Lax 표현을 유도함을 주목하십시오:

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…