광격자 속 두 성분 보스 아인슈타인 응축체의 동적 양자 상전이

📝 Abstract

We study dynamics of a two-component Bose-Einstein condensate where the two components are coupled via an optical lattice. In particular, we focus on the dynamics as one drives the system through a critical point of a first order phase transition characterized by a jump in the internal populations. Solving the time-dependent Gross-Pitaevskii equation, we analyze; breakdown of adiabaticity, impact of non-linear atom-atom scattering, and the role of a harmonic trapping potential. Our findings demonstrate that the phase transition is resilient to both contact interaction between atoms and external trapping confinement.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 양자 상전이와 비평형 동역학: 전통적인 양자 상전이 연구는 열평형 상태에 초점을 맞추지만, 실제 실험에서는 파라미터를 시간에 따라 변화시키는 ‘퀀치’가 일반적이다. 이때 Kibble‑Zurek 메커니즘이나 Landau‑Zener 전이 확률이 자주 인용된다.
• 스핀오르(Spinor) BEC와 광격자: 두 내부 레벨을 갖는 Λ형 원자를 광격자와 외부 레이저로 결합하면, 격자 자체가 내부 상태 간의 전이 매개체가 된다. 이는 기존의 단순 격자 포텐셜과는 달리 내부‑외부 자유도 간 강한 결합을 만든다.

2. 모델 및 이론적 구조

3. 1차 상전이 메커니즘

• 임계점 (\Delta_c): (\Delta)를 변화시켜 (\Delta = \Delta_c)에서 두 밴드의 최소 에너지 위치가 교체된다.
• 전이 지시자: 전체 스핀 반전 (j_z = \frac{1}{N}\sum_i \langle \hat\sigma_z^{(i)}\rangle) 가 불연속적으로 변한다. 이는 전형적인 1차 상전이의 특징이다.
• 상전이의 강도: (U_1) (|1⟩에 대한 Stark shift) 가 클수록 (\Delta_c)가 0이 아닌 값으로 이동하고, 전이 폭이 작아진다(그림 3(b) 참조).

4. 동적 전이와 비정상성 (Adiabaticity) 붕괴

• 시간 의존성 Gross‑Pitaevskii 방정식
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📄 Content

arXiv:0908.2792v1 [cond-mat.quant-gas] 2009년 8월 19일
광학 격자에 놓인 두 성분 보스-아인슈타인 응축의 동적 양자 상전이

Anssi Collin, Jani‑Petri Martikainen, 그리고 Jonas Larson∗
NORDITA, 106 91 스톡홀름, 스웨덴
(작성일: 2018년 11월 19일)

우리는 두 성분 보스‑아인슈타인 응축(BEC)이 광학 격자를 통해 서로 결합되는 상황을 연구한다. 특히, 내부 인구가 불연속적으로 변하는 1차 상전이의 임계점을 시스템이 통과하도록 구동했을 때의 동역학에 초점을 맞춘다. 시간‑의존 Gross‑Pitaevskii 방정식을 풀어 비절대성(adiabaticity) 붕괴, 비선형 원자‑원자 산란의 영향, 그리고 조화 구속 포텐셜의 역할을 분석한다. 우리의 결과는 이 상전이가 원자 간 접촉 상호작용과 외부 구속 모두에 대해 강인함을 보여준다.

PACS 번호: 03.75.Mn, 64.60.Ht, 64.70.Tg, 67.85.Hj

I. 서론

보스‑아인슈타인 응축(BEC)에 대한 선구적인 실험[1] 이후, 초저온 원자 가스 분야는 눈부신 발전을 이루었다[2]. 현재는 BEC의 제작·조작이 표준화된 절차가 되었으며, 다양한 양자 현상을 검증할 수 있는 다목적 실험 플랫폼으로 활용되고 있다. 내부 원자 제논 레벨이 동역학에 중요한 역할을 하는 스피노르 응축은 다수의 연구팀에 의해 실험적으로 조사되었다[3]. 최근 스피노르 응축에 대한 실험으로는 코히런트 전송[4], 스핀‑믹싱[5], 고유 스핀 터널링[6], 대칭성 파괴[7] 등이 있다.

반대 방향으로 진행되는 레이저 빔이 만든 광학 격자에 응축을 배치하면, 그 특성은 크게 변하고 Bloch 진동[8], 갭 및 충돌 솔리톤[9,10], 자기 포획[11], 초유체 불안정성[12], 와류[13], Anderson 국소화[14] 등 다양한 현상이 나타난다. 더 강하게 상관된 시스템에서는 초유체‑Mott 절연체 상전이(PT)[15]가 발생한다.

대부분의 이론적 연구는 열적 평형 상태에서의 상전이를 다루지만, 실제 실험에서 나타나는 물리 현상을 포착하려면 동적 접근법이 필요하다. 최근 초저온 원자 시스템에서 관찰된 상관 현상[16]은 비평형 상전이에 대한 이론적 이해를 요구한다. 많은 연구가 스핀 모델에서 임계점을 가로지르는 동역학[17‑21]을, 또 다른 연구는 Bose‑Hubbard 모델과 같은 격자 다체 시스템의 상전이 동역학[22,23]을 다루었다. Landau‑Zener 공식은 회피 레벨 교차에서 전이 확률을 추정하는 데 널리 사용되었으며[24], 위의 대부분 연구에서 활용되었다[17‑20,22]. 또한, Kibble‑Zurek 메커니즘이 급변(quench) 유도 전이에 적용되었다[17,18,19,22,23].

본 논문에서는 광학 격자에 놓인 스피노르 응축을 고려한다. 격자는 단순히 주기적 포텐셜을 제공할 뿐 아니라, 내부 원자 상태 사이의 **결합(coupling)**도 유도한다. 원자‑원자 상호작용을 무시한 경우의 다체 모델은 Ref.[25]에서 처음 제시되었으며, 서로 다른 내부 상태 사이에 1차 상전이가 존재함이 증명되었다. Ref.[26]에서는 원자 간 상호작용을 포함해 모델을 확장했으며, 두 연구 모두 열역학적 평형을 전제로 한다. 현재 모델의 단일 입자 바닥 상태는 갭이 없으므로, 시간에 따라 변하는 작은 섭동이라도 비절대적(excited) 전이를 일으킬 수 있다. 임계점을 통과할 때 이러한 전이는 상전이의 신호를 흐리게 할 수 있다. 따라서 본 논문의 주요 목표는 비절대적 기여의 중요성을 조사하는 것이다. 또한, 모델은 원자‑원자 상호작용과 그에 따른 **상태 변화 충돌(state‑changing collisions)**을 자동으로 포함한다. 이는 Ref.[25]에서 남겨진 미해결 문제였다. 마지막으로, 외부 조화 구속에 대한 민감도도 검토한다.

논문의 구성은 다음과 같다. 다음 절에서는 1차원 단일 입자 해밀토니안을 제시한다. Subsec. II A에서 일반적인 성질을 논의하고, Subsec. II B에서 수치적으로 해밀토니안을 대각화하여 스펙트럼을 제시한다. Subsec. II C에서는 스펙트럼을 이용해 평형 상전이를 보여준다. Sec. III에서는 임계점을 통과할 때의 동역학을 다룬다. 여기서는 Gross‑Pitaevskii 방정식을 푸는 수치 방법을 설명하고, 부분‑상태 충실도 감수성(partial‑state fidelity susceptibility)으로 열평형 상전이를 분석한다. Subsec. III A에서는 차원별 **오더 파라미터(order parameter)**를 계산하고, 이어지는 절에서는 외부 조화 구속 상황을 고려한다. Subsec. III C에서는 비절대성 붕괴를 분석한다. 마지막으로 Sec. IV에서 결론을 제시한다.

II. 1차원 이상 기체 모델 시스템

PT(상전이)의 존재와 성질은 1차원 단일 입자 해밀토니안의 스펙트럼 구조에서 바로 확인할 수 있다. 입자 간 상호작용, 고차원 시스템, 그리고 시스템 파라미터의 명시적 시간 의존성은 III절에서 다룬다.

A. 이상 기체 해밀토니안

이상 기체의 특성은 해당 단일 입자 시스템에 의해 포착된다. 여기서는 Λ형 3준위 원자가 두 개의 광장에 의해 쌍극자 결합되는 상황을 고려한다(그림 1).

• 1 ↔ 3 전이는 주기적인 스탠딩 파동에 의해 구동되고,
• 2 ↔ 3 전이는 공간적으로 균일한 “외부” 레이저에 의해 구동된다.

외부 레이저는 격자 빔보다 모드‑와스트가 더 넓어 응축 전체에 균일하게 비친다고 가정한다.

효과적인 원자‑광장 결합 상수는 λ와 Ω, 파수는 k, 그리고 원자‑광장 detuning은 δ₁, δ₂이다. 큰 detuning 상황에서는 **여기 상태 |3⟩**를 adiabatically eliminate하여 다음과 같은 2 × 2 유효 해밀토니안을 얻는다[27]:

[ \hat H_1= \frac{\hat{\tilde p}^{,2}}{2m} +\frac{\hbar\tilde\Delta}{2},\hat\sigma_z -\hbar\tilde U_1\cos(2k\hat x),\hat\sigma_{11} +\hbar\tilde U\cos(k\hat x),\hat\sigma_x, \tag{1} ]

여기서

[ \tilde\Delta = |\delta_1-\delta_2|-\frac{\Omega^2}{\delta_2}-\frac{\lambda^2}{2\delta_1}, \qquad \tilde U_1=\frac{\lambda^2}{2\delta_1}, \qquad \tilde U=\lambda\Omega!\left(\frac{1}{2\delta_1}+\frac{1}{2\delta_2}\right), ]

그리고 Pauli 행렬 (\hat\sigma_z=|2\rangle\langle2|-|1\rangle\langle1|), (\hat\sigma_x=|1\rangle\langle2|+|2\rangle\langle1|), (\hat\sigma_{11}=|1\rangle\langle1|)이다. (\hat{\tilde p},\hat{\tilde x},m)은 각각 원자 운동량, 위치, 질량을 나타낸다.

(\tilde U_1) 항은 |1⟩ 상태에만 작용하는 Stark shift에서 유래한다. 이는 **detuning 공명 (\tilde\Delta_c=0)**을 (\tilde\Delta_c\neq0) 로 이동시키며, 동시에 **|1⟩**에 광학 포텐셜을 만든다. 반면 (\tilde U) 항은 두 내부 상태 모두에 대한 유효 포텐셜을 제공한다.

스케일링을 위해 특성 에너지와 길이를 정의한다:

[ E_R=\frac{\hbar^2k^2}{2m},\qquad \ell=k^{-1}, ]

그리고 다음과 같이 무차원 변수를 도입한다:

[ \hat x=k\hat{\tilde x},\quad \Delta=\frac{\hbar\tilde\Delta}{E_R},\quad U_1=\frac{\hbar\tilde U_1}{E_R},\quad U=\frac{\hbar\tilde U}{E_R}. \tag{2} ]

이제 행렬 형태의 무차원 해밀토니안은

[ \hat H_1=-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\Delta}{2} & U\cos\hat x\[4pt] U\cos\hat x & -\displaystyle\frac{\Delta}{2}-U_1\cos(2\hat x) \end{pmatrix}. \tag{3} ]

(그림 1은 시스템 설정과 원자‑레이저 구성을 도식화한다.)

[ |1\rangle= \begin{pmatrix}0\1\end{pmatrix}, \qquad |2\rangle= \begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}. ]

(\cos\hat x|q\rangle =\frac{1}{2}\bigl(|q+1\rangle+|q-1\rangle\bigr))이며, (\hat p|q\rangle = q|q\rangle)이다. 따라서 내부 상태 1↔2 전환은 운동량을 ±1 만큼 이동시키는 효과를 가진다. 또한, 주어진 **운동량 고유 상태 (|q\rangle)**는 정수 (\eta) 만큼만 다른 운동량 상태와 결합한다.

특히, 상태 ({|q\rangle|i\rangle}) (i =

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