모듈식 무작위 불린 네트워크(MRBN): 유전조절망의 실제 구조를 반영한 새로운 동역학 모델

📝 Abstract

Random Boolean networks (RBNs) have been a popular model of genetic regulatory networks for more than four decades. However, most RBN studies have been made with random topologies, while real regulatory networks have been found to be modular. In this work, we extend classical RBNs to define modular RBNs. Statistical experiments and analytical results show that modularity has a strong effect on the properties of RBNs. In particular, modular RBNs have more attractors and are closer to criticality when chaotic dynamics would be expected, compared to classical RBNs.

💡 Analysis

**

1. 연구 배경 및 필요성

• RBN의 한계: 전통적인 RBN은 노드 간 연결이 완전히 무작위이며, 실제 생물학적 시스템이 보여주는 모듈화·계층화를 반영하지 못한다.
• 모듈성의 생물학적 의미: 모듈은 진화적 유연성을 제공하고, 기능적 변화가 다른 부분에 미치는 파급 효과를 억제한다. 따라서 GRN을 이해하려면 모듈 구조를 모델에 포함시켜야 한다.

2. MRBN 모델 정의

• 내부·외부 연결 비율: κ = ⟨K⟩ / ⟨K_T⟩ (내부 연결 비율), λ = 1‑κ (외부 연결 비율).
• 노드‑모듈 비율: μ = N / M, 모듈이 작을수록(μ↓) 외부 연결의 상대적 영향이 커진다.

3. 실험 설계

• 시뮬레이션 환경: RBNLab (Java 기반) 확장판 사용.
• 고정 파라미터: p = 0.5 (룩업 테이블의 1 비율), 전체 노드 수 N_T = 20 (통계적 탐색 가능 범위).
• 조건: ⟨K_T⟩ = {1,2,3,4} 에 대해 1,000개의 네트워크를 무작위 생성하고, 각 네트워크당 1,000개의 초기 상태를 10,000 스텝까지 실행 → 최소 10¹⁰ 업데이트 수행.
• 다섯 가지 케이스:
  1. ⟨K⟩ = ⟨L⟩, μ → 1 (내·외부 연결 균형)
  2. ⟨K⟩ = 1, μ → 1 (외부 연결 강조)
  3. ⟨L⟩ = 1, μ → 1 (내부 연결 강조)
  4. 전통적 RBN (M=1, ⟨L⟩=0)
  5. 극단적 모듈화 (N=1, M=20)

4. 주요 결과

• 임계성 이동: ⟨K⟩가 2를 초과해도(전통적으로 혼돈) 모듈화된 네트워크는 κ가 높을수록(내부 연결 비중이 클수록) 임계점에 가깝게 동작한다. 이는 ‘약한 연결(weak links)’ 이 네트워크의 전반적 안정성을 제공한다는 기존 연구와 일치한다.

5. 이론적 해석

• Derrida‑Pomeau 임계식 ⟨K_c⟩ = 1 /

📄 Content

모듈형 랜덤 불리언 네트워크(MRBN) ∗
Rodrigo Poblanno‑Balp†‡
Carlos Gershenson‡†

† 멕시코 UNAM 복합성 과학 센터
‡ 멕시코 UNAM 응용수학 및 시스템 연구소

2018년 10월 25일

초록

랜덤 불리언 네트워크(RBN)는 40년 넘게 유전적 조절 네트워크를 모델링하는 데 널리 사용되어 왔다. 그러나 대부분의 RBN 연구는 무작위 토폴로지를 전제로 진행되었으며, 실제 조절 네트워크는 모듈형이라는 사실이 밝혀졌다. 본 논문에서는 고전적인 RBN을 확장하여 모듈형 RBN을 정의한다. 통계적 실험과 분석적 결과는 모듈성(modularity)이 RBN의 특성에 강력한 영향을 미친다는 것을 보여준다. 특히, 모듈형 RBN은 고전 RBN에 비해 더 많은 어트랙터(attractor)를 가지며, 혼돈(dynamic) 상태가 기대되는 경우에도 **임계점(criticality)**에 더 가깝게 동작한다.

1. 서론

랜덤 불리언 네트워크(RBN)는 유전적 조절 네트워크(GRN)를 모델링하는 데 오랫동안 사용되어 온 대표적인 모델이다[25, 26, 16]. 대부분의 연구는 무작위 토폴로지를 가진 RBN을 대상으로 수행되었다. 그러나 토폴로지가 RBN의 동적 특성에 큰 영향을 미친다는 것이 여러 연구를 통해 밝혀졌다. 예를 들어, Aldana는 스케일‑프리 토폴로지를 갖는 RBN을 연구하면서 무작위 토폴로지를 가진 경우와 현저히 다른 거동을 보였다고 보고하였다[1].

본 연구에서는 모듈형 토폴로지가 RBN에 미치는 영향을 조사한다. 실제 GRN이 모듈형이라는 사실[38, 8, 37]과 대부분의 RBN 연구가 무작위 토폴로지를 전제로 한다는 점을 고려할 때, 무작위와 모듈형 토폴로지 사이의 차이를 이해하는 것이 중요하다.

모듈성은 진화 과정에서도 핵심적인 역할을 한다[42, 14, 50]. 생물학적 시스템은 모든 규모에서 분리 가능한 기능적 서브시스템을 가지고 있으며, 이러한 모듈은 서로 독립적으로 변화를 겪을 수 있어 새로운 기능을 조합하는 데 유리하다[13]. 따라서 모듈형 RBN에 대한 연구는 GRN의 진화 메커니즘을 이해하는 데도 의미가 있다.

다음 절에서는 고전적인 RBN의 기본 개념과 동적 특성을 정리하고, 관련 연구를 간략히 소개한다. 3절에서는 모듈형 RBN 모델을 제시하고, 4절에서는 통계 실험과 그 결과를 제시한다. 5절에서는 결과에 대한 논의를 통해 분석적 확인을 제공하고, 마지막으로 향후 연구 방향을 제시한다.

2. 랜덤 불리언 네트워크(RBN)

2.1 기본 정의

RBN은 N개의 노드와 K개의 입력을 갖는 불리언 시스템으로, 각 노드는 유전자가 활성(“on”/1) 혹은 비활성(“off”/0) 상태를 나타낸다. 각 노드의 현재 상태는 K개의 입력 노드의 상태에 의해 결정되며, 이를 lookup table(룩업 테이블) 로 표현한다. 룩업 테이블은 가능한 2^K개의 입력 조합마다 다음 상태를 지정한다.

RBN은 무작위 연결성(어떤 노드가 다른 노드의 입력이 되는가)과 무작위 기능성(각 노드의 룩업 테이블)으로 구성된다(그림 1, 표 1). 일단 네트워크가 생성되면, 연결성과 룩업 테이블은 고정된 채로 매 시간 단계마다 동기식·결정론적으로 업데이트된다. RBN은 이산 동적 네트워크(DDN) 로, 이산적인 값, 상태 수, 시간 흐름을 가진다[53]. 또한, 각 노드가 서로 다른 이웃과 규칙을 갖는 점에서 불리언 셀룰러 오토마톤의 일반화 형태라고 볼 수 있다[52, 15].

RBN은 2^N개의 가능한 전체 네트워크 상태(모든 노드 조합)를 가진다.

그림 1.

예시 RBN(N = 5, K = 2)의 토폴로지. 각 노드는 두 개의 입력을 받아 자신의 상태를 결정한다. 무작위 생성된 토폴로지이므로, 어떤 노드는 여러 개의 출력을 갖거나 전혀 출력이 없을 수도 있다.

표 1.

노드 z를 업데이트하기 위한 예시 룩업 테이블(입력 노드 x, y의 상태에 따라 z의 다음 상태를 결정). 표는 모든 2^K 입력 조합을 포함한다. 본 예시에서는 함수가 XNOR이다.

네트워크 상태 사이의 전이는 상태 공간(state space) 을 형성한다. 고전 RBN에서는 동기식·결정론적 업데이트가 이루어진다[15]. 상태 수가 유한하고 동역학이 결정론적이므로, 이론적으로는 언젠가 동일한 상태가 반복된다(실제로는 상태 공간이 방대해 우주의 나이보다 오래 걸릴 수도 있다). 반복이 발생하면 네트워크는 어트랙터(attractor) 에 도달한 것으로 간주한다. 어트랙터가 하나의 상태만 포함하면 점 어트랙터(point attractor) 라고 부르며, 여러 상태를 포함하면 주기 어트랙터(cycle attractor) 라고 한다.

RBN은 소산(dissipative) 시스템이다. 각 상태는 하나의 후속 상태만을 갖지만, 여러 전이 상태가 하나의 상태로 수렴하거나(다중 전임자), 전임자가 전혀 없는 “에덴의 정원”(Garden of Eden) 상태가 존재할 수 있다(그림 2).

그림 2.

상태 전이 예시. A → B → C … 와 같이 전이가 진행된다. B는 A의 후속이면서 C의 전임자이며, 여러 전임자를 가질 수 있다(예: B). G는 전임자가 없으므로 “에덴의 정원” 상태이다. 어트랙터 C→D→E→F→C는 주기 4를 가진다[19].

주요 연구 방향 중 하나는 토폴로지(구조) 가 상태 전이 네트워크(기능) 에 어떤 영향을 미치는지를 밝히는 것이다.

2.2 동적 레짐(Dynamical Regimes)

RBN은 크게 정돈(order), 혼돈(chaos), 임계(critical) 세 가지 레짐을 가진다[53, 16]. 각 레짐의 전형적인 동작은 그림 3에 나타나 있다.

• 정돈 레짐: 대부분의 노드가 정적인 상태를 유지한다.
• 혼돈 레짐: 대부분의 노드가 지속적으로 변한다.

정돈 레짐에서는 외부 교란(노드 상태, 연결성, 기능성 변화)에 대해 강인(robust) 하다. 반면 혼돈 레짐에서는 작은 손상이 네트워크 전체에 급격히 퍼져 취약(frágile) 하다.

임계 레짐은 정돈과 혼돈 사이의 균형을 이루며, 네트워크가 손상에 강하면서도 동적인 탐색을 가능하게 한다. 이러한 특성 때문에 생명 현상과 계산이 임계점 근처에서 일어날 가능성이 높다는 주장이 제기되었다[30, 26, 9, 27].

실제 GRN이 임계 레짐에 가깝다는 증거도 최근에 보고되었다[5].

RBN의 레짐은 연결도 K와 룩업 테이블 마지막 열에 1이 나타날 확률 p에 크게 좌우된다. p = 0.5이면 편향이 없으며, 이때

• K < 2 → 정돈 레짐
• K = 2 → 임계 레짐
• K > 2 → 혼돈 레짐

[12]에 따르면, 임계 연결도 K_c는

[ \langle K_c\rangle = \frac{1}{2p(1-p)} \tag{1} ]

이다. Luque와 Solé[32]의 간단한 방법을 이용하면, 한 노드 i에 손상이 발생했을 때 손상이 퍼질 확률은 K에 비례한다는 것을 알 수 있다. 평균적으로 ⟨K⟩개의 노드가 영향을 받는다면, 손상이 전파될 조건은

[ \langle K\rangle , 2p(1-p) \ge 1 ]

이며, 이는 혼돈을 의미한다. 위 식을 K에 대해 풀면 식 (1)의 임계값이 도출된다.

2.3 관련 연구

다음은 모듈형 RBN과 연관된 기존 연구들을 간략히 정리한다.

• Bastolla & Parisi[6]: 고전 RBN 내에서 기능적으로 독립적인 클러스터(모듈)를 연구했지만, 토폴로지적 모듈성은 다루지 않았다.
• 두 개의 결합된 RBN을 다룬 연구[22, 4, 24]도 존재한다.
• 2차원 격자(cellular automaton) 내에서 RBN을 배치하고, 각 RBN이 von Neumann 이웃과 약하게 결합되는 모델[45, 39, 11]은 조직 내 세포 간 신호 전달을 모사한다.

우리의 모델은 임의 개수의 결합된 네트워크를 허용하고, 공간적 이웃에 국한되지 않으며, 고전 RBN 모델의 자연스러운 확장이다.

3. 모듈형 랜덤 불리언 네트워크(MRBN)

우리는 모듈형 랜덤 불리언 네트워크(MRBN) 라는 일반화된 모델을 제안한다. MRBN은 M개의 모듈로 구성되며, 각 모듈은 N개의 노드와 평균 **⟨K⟩**개의 내부(모듈 내) 입력을 가진 RBN이다. 또한, 각 모듈은 평균 **⟨L⟩**개의 외부(모듈 간) 입력을 가지고, 이는 다른 모듈의 임의 노드와 연결된다. 이러한 L개의 외부 연결은 “약한 연결(weak link)”이라고 불리며[10], 네트워크의 안정성(stability) 을 향상시키는 것으로 알려져 있다(그림 4).

그림 4.

예시 MRBN(N = 5, M = 4, K = 2, L = 1)의 토폴로지. 각 모듈은 그림 1의 RBN과 동일하지만, 모듈당 하나의 추가 입력(점선 화살표)이 있다. 모듈은 여러 개의 출력을 가질 수도, 전혀 없을 수도 있다.

MRBN의 전체 노드 수(N_T) 와 전체 연결 수(T) 는 다음과 같이 정의된다.

[ N_T = N \times M \tag{2

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