양자 오토마타의 우월성: 약속 문제를 통한 분석

정확한 양자 계산은 부분 함수와 전체 함수를 모두 광범위하게 연구되어 왔습니다 (예: [BH97, BV97, BBC+98, BCdWZ99, Kla00, BdW03, MNYW05, FI09, YFSA10]). 반면, 자동화 이론에서는 단 두 가지 결과만 도출되었습니다: (i) Klauck [Kla00]은 실시간 양자 유한 오토마타(QFAs)가 언어 인식을 포함해 실시간 결정적 유한 오토마타(DFAs)보다 간결할 수 없음을 보였습니다, (ii) Murakami 외 연구진 [MNYW05]은 양자 푸시다운 오토마타로 해결할 수 있지만 결정적 푸시다운 오토마타로는 불가능한 약속 문제가 존재함을 보였습니다.

본 노트에서는 실시간 QFAs의 간결성에 대한 약속 문제를 다룹니다. 우리는 두 상태의 실시간 QFAs의 전이 확률만을 조정함으로써 해결할 수 있는 무한한 약속 문제 가족을 제시합니다. 반면, 해당 고전 오토마타의 크기는 무제한으로 증가합니다.

본 논문에서: (i) Σ는 좌우 끝 표시자 (¢와 $)를 포함하지 않는 입력 알파벳을 나타내며, Σ = Σ ∪ {¢, $}입니다, (ii) ε은 빈 문자열을 의미하고, (iii) w_i는 주어진 문자열 w의 i번째 기호이며, (iv) w는 ¢w$로 표현됩니다. 또한, 본 논문에서 소개된 모든 기계는 실시간 모드에서 작동합니다. 즉, 입력 헤드는 각 단계마다 오른쪽으로 한 칸씩 이동하며, $를 읽은 후 계산이 종료됩니다.

약속 문제는 A = (A_yes, A_no)로 정의되며, 여기서 A_yes, A_no는 Σ*의 부분 집합이고, A_yes ∩ A_no = ∅입니다 [Wat09]. 약속 문제 A = (A_yes, A_no)는 각 문자열이 정확히 받아들여지거나 거부되는 경우 A_yes 또는 A_no에 대해 정확하게 해결됩니다. 물론, A_yes = A_no인 경우 이는 언어 인식과 동일합니다.

본 연구에서는 가장 제한적인 양자 오토마타 모델인 무어-크루치필드 양자 유한 오토마타(MCQFA) [MC00]을 사용하여 양자 결과를 제시합니다 (가장 일반적인 QFA 모델에 대한 정의는 [YS11] 참조).

MCQFA는 5-튜플입니다: 상태 집합 Q, 초기 상태 q_1, 수용 상태 집합 Q_a, 그리고 유닛리 연산자 U_σ들. 주어진 입력 문자열 w ∈ Σ*에 대한 MCQFA의 계산은 차원 |Q| 벡터로 추적됩니다. 이 벡터는 처음 |v_0 = (1 0 … 0)^T로 설정되고,

계산이 종료되면 w는 확률

로 받아들여지거나 거부됩니다. 여기서 P_a = q ∈ Q_a |q|이고 P_r = I - P_a입니다. 유닛리 연산을 제로-원 스텝스토크 연산자로 대체하면 단순히 실시간 DFA(DFA라고 약칭)가 됩니다.

양수 k에 대한 두 개의 유니어 언어 A_k yes = {a_{2i}k | i는 비음수 정수}와 A_k no = {a_{2i+1}k | i는 양의 정수}를 고려합시다. 우리는 두 상태의 MCQFA M_k가 약속 문제 A_k = (A_k yes, A_k no)를 정확하게 해결할 수 있음을 보일 것입니다. 하지만 DFA(그리고 PFA)는 같은 문제를 정확하게 해결하기 위해 최소 2N개의 상태가 필요합니다.

증명:

[AF98]에서 제시된 잘 알려진 기법을 사용하겠습니다.

계산은 |q_1로 시작하고, N개의 a를 읽은 후 M_k는 다음과 같은 패턴을 따릅니다:

따라서 M_k가 약속 문제 A_k를 정확하게 해결한다는 것은 명백합니다.

레마 1:

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…