예측·비예측 디폴트 강도와 확률적 금리 하에서의 디폴트채 가격 공식

우리는 확률적으로 변동하는 디폴트 강도 (stochastic default intensity)를 갖는 기업 디폴트 가능 채권 (corporate defaultable bond)에 대해 **분석적 가격 공식** (analytical pricing formula)을 제시한다. 이 연구는 디폴트가 **예상(default expected)** 과 **예상치 못한(default unexpected)** 두 가지 형태로 발생할 수 있다는 점을 동시에 고려한다는 점에서 기존 문헌과 차별화된다. 아래에서는 두 가지 주요 상황—(1) 단기 금리가 일정(constant short rate)하고 외생 회복률 (exogenous default recovery)을 가정한 경우, (2) 단기 금리 자체가 확률적으로 변동(stochastic short rate)하는 경우—에 대해 각각 어떤 가정을 두고 어떤 방법으로 가격을 도출했는지를 상세히 설명한다.

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1. 단기 금리 (constant short rate)와 외생 회복률 (exogenous default recovery) 하에서의 분석

우선 단기 금리가 시간에 따라 변하지 않는 고정 금리 환경을 가정한다. 이때 디폴트 발생 시 투자자가 회수할 수 있는 금액, 즉 디폴트 회복률 (default recovery)은 시장 외부에서 미리 정해진 값으로 취급한다(외생 회복률). 이러한 전제 하에 우리는 편미분 방정식(PDE) 방법을 이용하여 디폴트 가능 채권의 가격을 구한다. 구체적인 절차는 다음과 같다.

1. 예상 디폴트 회복률과 예상치 못한 디폴트 회복률을 동일하게 설정한다. 즉, 기업이 재무적 어려움에 직면해 디폴트가 발생하든, 혹은 외부 요인에 의해 급작스럽게 디폴트가 발생하든, 투자자가 회수하게 되는 금액은 동일하다고 가정한다. 이는 모델을 단순화하면서도 실무에서 흔히 관찰되는 회복률의 일관성을 반영한다.

2. 디폴트 강도 (default intensity)가 Willmott 모델의 세 가지 특수 경우 중 하나를 따른다는 가정을 둔다. Willmott 모델은 디폴트 강도가 기업 가치 (firm value)와 연동되는 확률 과정으로서, 특히 선형, 제곱근, 로그 형태의 변동성을 허용하는 세 가지 대표적인 형태를 포함한다. 각각의 경우에 대해 PDE를 풀면 서로 다른 형태의 해가 도출되며, 이는 실제 시장 데이터에 맞춰 선택적으로 적용할 수 있다.

3. 디폴트 강도와 기업 가치 사이에 상관관계가 없다고 가정한다. 즉, 디폴트 강도 λ(t)와 기업 가치 V(t) 는 서로 독립적인 확률 과정으로 전개된다. 이 가정은 복잡한 상호작용을 배제함으로써 해석적 해를 얻는 데 필수적이며, 실제로도 단기적인 시장 변동성보다는 장기적인 평균 경향을 파악할 때 유용하게 작용한다.

위 세 가지 전제 조건을 모두 만족시키면, 편미분 방정식은 다음과 같은 형태의 반응 함수 (solution)로 귀결된다.

[ P(t,T)=e^{-r(T-t)}\Bigl[,\Phi\bigl(d_{1}(t,T)\bigr)-\Lambda\int_{t}^{T}e^{-\int_{t}^{s}\lambda(u),du}\Phi\bigl(d_{2}(t,s)\bigr),ds\Bigr], ]

여기서 (r)은 고정 단기 금리, (\Phi)는 정규분포 누적함수, (\Lambda)는 회복률, (d_{1},d_{2})는 각각 기업 가치와 디폴트 강도에 대한 정규화된 변수이다. 이 식은 디폴트 가능 채권 가격을 명시적으로 나타내며, 파라미터 (\lambda(t))가 Willmott 모델의 어느 형태에 해당하느냐에 따라 적절히 변형된다.

이러한 채권 가격 공식을 바탕으로 신용 부도 스왑(Credit Default Swap, CDS) 의 가격을 도출한다. CDS는 채권 보유자가 디폴트 위험을 회피하기 위해 매입하는 파생상품으로, 기본적인 가격 구조는 “디폴트 발생 시 지급되는 보호금액”과 “정기적으로 지급되는 프리미엄”의 현재가치를 일치시키는 방식으로 계산된다. 구체적으로는

[ \text{CDS 프리미엄} = \frac{\displaystyle \int_{t}^{T} \lambda(s),e^{-\int_{t}^{s}\lambda(u),du},R,ds}{\displaystyle \int_{t}^{T} e^{-\int_{t}^{s}\lambda(u),du},ds}, ]

와 같은 식을 얻으며, 여기서 (R)은 회복률, (\lambda(s))는 앞서 정의한 디폴트 강도이다. 이 식 역시 Willmott 모델의 특수 경우에 따라 구체적인 형태가 달라진다.

…(본문 중략)…

이 글은 ArXiv의 공개 자료를 바탕으로 AI가 자동 번역 및 요약한 내용입니다.