“로그‑미적 표면의 변분적 정의와 이산 표면 필터 개발”

로그‑미적 곡선(log‑aesthetic curves)에는 대표적으로 로그 나선(로그‑등각 나선, logarithmic or equiangular spiral), 클로소이드(clothoid), 그리고 인볼루트 곡선(involute curves) 등이 포함된다. 이들 곡선은 대부분 접선 벡터의 적분 형태, 즉 \[ \mathbf{T}(s)=\frac{d\mathbf{r}}{ds},\qquad \mathbf{r}(s)=\int \mathbf{T}(s)\,ds \] 와 같이 파라미터 \(s\)에 대한 적분식으로만 기술되기 때문에, 전통적인 CAD 시스템에서는 직접적인 파라미터 조정이 어렵다. 그럼에도 불구하고, 최근에는 이러한 적분식 표현을 기반으로 하면서도 사용자가 마우스나 터치 패드와 같은 인터페이스를 통해 실시간으로 곡선을 생성·변형할 수 있는 인터랙티브한 알고리즘이 개발되고 있다. 따라서 로그‑미적 곡선은 산업 디자인, 자동차 차체 설계, 항공기 외형 디자인, 그리고 그래픽 디자인 등 실무 현장에서 곡률이 부드럽게 변하는 미적 형태를 구현하는 데 큰 잠재력을 가지고 있다.

특히 로그‑미적 곡선의 수식에 기반한 이산 로그‑미적 필터(discrete log‑aesthetic filter)는 디자이너가 설계 과정에서 겪는 “제약이 너무 강해 자유롭게 디자인할 수 없다”는 문제를 완화한다. 이 필터는 곡선의 각 점을 독립적인 자유 변수로 취급하면서도, 전체 곡선이 로그‑미적 곡선이 갖는 특성(예: 곡률이 로그‑함수 형태로 단조 증가·감소하거나, 특정 구간에서는 증가하고 다른 구간에서는 감소하는 복합적인 곡률 분포)을 유지하도록 설계된 목적함수(functional)를 최소화한다. 결과적으로 디자이너는 곡선의 전반적인 형태를 자유롭게 조작하면서도, 곡률이 급격히 변하거나 불연속적인 부분이 발생하지 않도록 자연스럽게 제어할 수 있다.

본 논문에서는 위와 같은 로그‑미적 곡선의 개념을 2차원에 국한하지 않고 3차원 표면으로 확장하여 **로그‑미적 표면(log‑aesthetic surface)**을 정의하고, 그 정의에 기반한 새로운 표면 필터를 개발하고자 한다. 이를 위해 먼저 로그‑미적 곡선을 변분 원리(variational principle)를 이용해 재정식화한다. 변분 원리란 어떤 물리량이나 기하학적 양이 최소(또는 최대)값을 취할 때 그 시스템이 만족해야 하는 조건을 수학적으로 표현하는 방법이다. 구체적으로는 로그‑미적 곡선이 만족하는 다음과 같은 오일러‑라그랑주 방정식을 도출한다.

[ \delta \int_{s_0}^{s_1} \mathcal{L}\bigl(\kappa(s),\kappa’(s),s\bigr),ds = 0, ]

여기서 (\kappa(s))는 곡률, (\kappa’(s))는 곡률의 미분, (\mathcal{L})은 로그‑미적 특성을 반영하도록 설계된 라그랑지안이다. 이 식을 3차원 표면에 적용하면, 표면의 평균곡률 (H)와 가우시안곡률 (K)를 변수로 하는 목적함수 (\mathcal{F}(H,K,\nabla H,\nabla K))를 정의할 수 있다. 우리는 이러한 목적함수를 최소화함으로써 로그‑미적 표면을 정의한다. 구체적인 목적함수의 예시는 다음과 같다.

1. 곡률 로그‑선형화 목적함수
   [ \mathcal{F}1 = \int{\Omega}\bigl(\log H - a,u - b\bigr)^2 , dA, ]
   여기서 (u)는 표면 위의 파라미터 좌표, (a,b)는 로그‑미적 곡선에서 유도된 상수이다.

2. 곡률 변동 최소화 목적함수
   [ \mathcal{F}2 = \int{\Omega}\bigl|\nabla H\bigr|^2 , dA, ]
   이는 표면 전체에 걸쳐 평균곡률이 급격히 변하지 않도록 강제한다.

3. 증가·감소 구간 동시 존재 목적함수
   [

…(본문 중략)…

이 글은 ArXiv의 공개 자료를 바탕으로 AI가 자동 번역 및 요약한 내용입니다.