GC² 연속성을 갖는 Ball 곡선 일반 알고리즘 개발 및 적용 사례

본 논문은 곡률 연속성(Geometric Continuity of order 2, 이하 GC2)을 만족하는 조각식 Ball 곡선(piecewise Ball curve)을 효율적으로 생성하기 위한 일반적인 알고리즘을 개발하는 데 초점을 맞추고 있다. 여기서 “조각식”이라는 용어는 전체 곡선을 여러 개의 구간으로 나누어 각 구간마다 독립적인 Ball 곡선 조각을 정의하고, 이들 조각을 연결함으로써 전체적인 형태를 구성한다는 의미이며, “Ball 곡선”은 Ball이 제안한 3차 베지어 형태의 일반화된 곡선으로, 매개변수식이 비교적 간단하고 제어점과 접선, 곡률 등의 기하학적 특성을 직관적으로 조절할 수 있다는 장점을 가진다. 이러한 Ball 곡선 조각들을 GC2 연속성을 유지하도록 연결하면, 곡선 전체가 2차 기하 연속성을 갖게 되므로 시각적으로 매끄러운 전환이 보장되고, 특히 산업 디자인, 자동차 차체 설계, 애니메이션 경로 생성 등에서 요구되는 고품질 곡선 모델링에 매우 유용하다.

제안된 알고리즘은 먼저 설계자가 각 보간점(interpolating point)에서 반드시 제공해야 하는 두 종류의 기하학적 데이터, 즉 **단위 접선 벡터(unit tangent vector)**와 **부호가 있는 곡률(signed curvature)**을 입력받는 단계로 시작한다. 단위 접선 벡터는 해당 점에서 곡선이 진행되는 방향을 나타내며, 길이가 1인 벡터로 정규화되어야 한다. 이는 곡선의 1차 연속성(C¹ 연속성)을 보장하기 위한 기본적인 정보이며, 각 구간의 시작점과 끝점에서 정의된 접선 벡터가 서로 일치하도록 함으로써 구간 간의 접선이 끊기지 않게 만든다. 한편, 부호가 있는 곡률은 곡선이 해당 점에서 얼마나 급격히 휘어지는지를 나타내는 스칼라 값으로, 양수와 음수는 각각 곡선이 좌측 또는 우측으로 휘어짐을 의미한다. 곡률 값에 부호를 부여함으로써 설계자는 곡선의 볼록·오목 형태를 정밀하게 제어할 수 있으며, 이는 GC2 연속성을 만족시키는 데 필수적인 2차 기하 연속성(C² 연속성) 확보에 직접적인 영향을 미친다.

알고리즘은 입력된 단위 접선 벡터와 부호가 있는 곡률을 이용해 각 구간마다 **Ball 곡선의 제어점(control points)**과 **가중치(weight parameters)**를 계산한다. 구체적으로, 각 구간의 시작점 P₀와 끝점 P₁, 그리고 해당 점들에서 정의된 접선 벡터 T₀, T₁, 곡률 κ₀, κ₁을 사용하여 다음과 같은 식을 통해 중간 제어점 P₂와 P₃을 도출한다.

[ \begin{aligned} P_2 &= P_0 + \frac{1}{3},L,T_0,\ P_3 &= P_1 - \frac{1}{3},L,T_1, \end{aligned} ]

여기서 L은 구간 길이(또는 파라미터 구간의 스케일)이며, 곡률 κ₀와 κ₁은 각각 P₀와 P₁에서의 곡률을 반영하도록 가중치에 포함된다. 이후 Ball 곡선의 매개변수식

[ B(t) = (1-t)^3 P_0 + 3(1-t)^2 t P_2 + 3(1-t) t^2 P_3 + t^3 P_1,\qquad t\in[0,1] ]

에 의해 구간별 곡선이 정의되며, 이때 t에 대한 1차·2차 도함수(즉, 접선과 곡률)가 입력된 T와 κ와 정확히 일치하도록 파라미터 L과 가중치를 조정한다. 이렇게 하면 각 구간이 독립적으로 GC2 조건을 만족하면서도, 인접 구간과의 경계에서는 접선과 곡률이 연속적으로 이어지게 된다. 알고리즘은 이러한 계산 과정을 모든 보간점에 대해 순차적으로 수행함으로써 전체 조각식 Ball 곡선을 완성한다.

알고리즘의 실용성을 검증하기 위해 본 논문에서는 수치 예제를 제시한다. 예제로 선택된 형태는 전통적인 도자기 디자인에서 영감을 얻은 꽃병(vase) 형태이며, 이는 복잡한 곡면과 부드러운 변곡점을 동시에 포함하고 있기 때문에 GC2 연속성을 갖는 곡선 모델링의 적합한 시험대가 된다. 구체적인 절차는 다음과 같다.

1. 보간점 선정: 꽃병의 외형을 대략적으로 나타내는 8개의 주요 포인트를 3차원 좌표계 상에 배치한다. 각 포인트는 꽃병의 바닥, 목, 입구 등 주요 구조적 특징을 반영한다.
2. 접선 및 곡률 정의: 설계자는 각 포인트에서 기대되는 곡선의 진행 방향을 시각적으로 판단하여 단위 접선 벡터를 지정하고, 해당 지점에서의 곡률 값을 추정한다. 예를 들어, 바닥 근처에서는 곡률이 크게 양수(볼록)이며, 목 부분에서는 곡률이 음수(오목)로 전환되는 특성을 갖는다.
3. 알고리즘 적용: 앞서 설명한 절차에 따라 각 구간의 제어점과 파라미터 L을 계산하고, Ball 곡선 식에 대입한다. 이때 곡률 연속성을 보장하기 위해 각 구간의 끝점에서 정의된 접선과 곡률이 다음 구간의 시작점과 정확히 일치하도록 조정한다.
4. 결과 검증: 생성된 조각식 Ball 곡선을 3차원 모델링 소프트웨어에 임포트하고, 시각적으로 매끄러운 전환이 이루어졌는지 확인한다. 또한, 수치적으로 각 구간 경계에서 1차·2차 도함수(접선·곡률)의 차이가 거의 0에 가깝게 나타나는지를 확인함으로써 GC2 연속성이 만족됨을 검증한다.

이러한 과정을 통해 얻어진 최종 꽃병 모델은 연속적인 곡률 변화를 보이며, 시각적으로는 눈에 띄는 급격한 꺾임이나 불연속이 전혀 존재하지 않는다. 또한, 설계자가 제공한 접선 및 곡률 데이터가 그대로 반영되었기 때문에, 디자인 의도대로 부드러운 목 부분과 넓은 입구가 자연스럽게 연결된 형태를 구현할 수 있었다. 이와 같이 제안된 알고리즘은 복잡한 형태를 가진 곡선을 설계 단계에서부터 정확히 제어할 수 있게 해 주며, 특히 곡률 연속성이 중요한 고품질 제품 디자인, 자동차 차체 라인, 항공기 외형 설계 등 다양한 분야에 적용 가능함을 보여준다.

…(본문 중략)…

이 글은 ArXiv의 공개 자료를 바탕으로 AI가 자동 번역 및 요약한 내용입니다.