에셔 스타일 타일링: 새로운 가능성과 접근법

MC 에셔는 타일과 공간 채우기 분야에서 가장 두드러진 예술가였습니다. 그의 사망 후 40년이 지난 지금도, 그의 작품은 타일 아트 분야에서 여전히 사람들의 마음에 깊이 새겨져 있습니다. 에셔가 이 특수 분야에서 독보적인 위치를 차지하는 이유는 독특한 도전 과제 때문입니다. 에셔 스타일 디자인을 타일에 구현하려면, 타일 내부에 일관되게 이미지를 정렬하고 다듬어야 하는 복잡성이 따릅니다 [1]. 이미지가 타일 경계에 닿으면 불일치가 발생하는데, 이를 해결하기 위해 지속적인 정렬과 이미지 수정이 필요합니다. 특히, 에셔의 타일에 등장한 도마뱀, 물고기, 천사 등의 생물은 사각 대칭을 갖추지 않아, ± 90도, 180도 임의 회전이 불가능하고 모든 조각이 맞물리지 않습니다 [2]. 대신, 이들은 양대칭을 가지므로, 각 가장자리에 보완적인 부분을 만들어야 합니다. 이는 이와 유사한 이미지를 포함하는 어떤 타일에도 적용됩니다.

에셔의 유산을 기리는 학술지 MC 에셔의 유산: 100주년 기념에는 그의 작품에 대한 포괄적인 연구가 수록되어 있습니다 [4]. 이 수집품에서 예술에 초점을 맞춘 대부분의 논문들은 타일에 하나의 지배적인 이미지를 유지하는 전통을 이어갔습니다. 그러나 더 많은 가능성을 탐구할 수 있으며, 이 논문은 우리의 연구 결과를 제시합니다.

타일링 아트를 만드는 규칙은 간단합니다. 우리는 이러한 과정을 설명하고, 에셔가 다루지 못한 수학 기하학에 이를 적용합니다. 특히, 우리는 에셔 이후 주목받은 구성을 기반으로 타일링 아트를 만듭니다: 펜로즈 타일링과 프랙탈입니다. 후자의 경우, 타일 내부에 프랙탈 타일을 배치하여 다양한 방향으로 성장을 허용합니다. 고전적인 품질을 주기 위해, 우리의 디자인은 서로 얽힌 인간 형상을 포함합니다. 또한, 에셔와 다른 예술가들과는 달리, 부정 공간을 두어 타일 연결에 다양한 조합이 가능하게 합니다.

펜로즈 타일링과 프랙탈에 관한 대부분의 시각화는 순수히 수학적 숫자를 표현하는 추상적 표현입니다 [3]. 이는 아쉬운 점으로, 타일과 프랙탈 기하학의 미학은 디자인 예술에 적용하기에 매우 적합하며, 탐험할 풍부하고 미개척의 영역을 제공합니다. 이러한 영역에는 다른 방법으로는 달성할 수 없는 보상이 있습니다. 생성된 이미지는 종종 수학적 모양의 내재적 미학에 반응하는 마음의 그 부분을 자극합니다 [5, 6]. 또한, 예술가는 자신의 창작물에 새로운 발견의 차원을 더합니다. 그림과 달리, 이 논문에서 제시한 타일링 이미지는 모든 타일이 조립될 때만 드러나는 패턴을 형성합니다. 에셔는 이러한 예술의 매력에 대해 다음과 같이 설명했습니다. “… 초기의 단계를 넘어선 후, 이 활동은 다른 어떤 장식 예술보다도 더 큰 가치를 지닙니다.” [7]

양대칭 타일의 과정과 도전을 설명하기 위해, 가장 간단한 타일인 정사각형부터 시작합니다. 그림 1은 사각형의 사각 대칭을 보여주며, ± 90도 또는 180도의 회전은 동일한 이미지를 반환합니다. 그림 2는 어떤 측면 A를 다른 측면 A에 연결하여 얻는 타일링을 보여줍니다.

반면에, 레오나르도 다 빈치의 비투비아인과 같은 사람 이미지의 경우(그림 3), 이미지가 가장자리에 닿으면 모든 측면을 서로 연결할 수 없습니다 [8]. 팔과 다리의 겹침은 각 측면이 다른 측면과 보완되어야 함을 의미합니다. 그림 4의 단일 타일을 사용하여, 측면 A는 측면 A’에 연결되고 B는 B’에 연결됩니다. 결과적인 타일링은…

에셔의 타일링과 프랙탈: 예술적 탐구

[그림 5]에서 제시된 것처럼, 단순한 타일링 규칙을 이해하면 타일의 연결 방식과 포함된 이미지 유형에 대한 다양한 가능성을 열 수 있습니다. 대부분의 에셔 모방 작품에서처럼 타일에 하나의 주된 요소를 제한하는 대신, [그림 6]은 여러 주제를 포함하고 직사각형 타일은 [그림 7]의 타일링으로 이어집니다. 다음 두 그림은 정사각형 타일이 가질 수 있는 다른 매칭 규칙을 보여줍니다. [그림 8]의 타일로 구성된 [그림 9]에서 보듯이, 보완적인 측면을 인접하게 배치하면 최종 이미지는 단순한 수직 또는 수평 이동이 아닌 흥미로운 소용돌이 모양 패턴을 형성합니다. [그림 10]에서는 동일한 인접 보완이 존재하지만, 각 측면은 두 개의 측면 대신 하나의 측면과 보완됩니다. 이는 [그림 11]의 이미지에서 같은 회전 방향을 가지지만 비주기적 배열도 가능하게 합니다. 한 행의 타일이 설정되면 다음 행은 첫 번째 새로운 행의 배치에 따라 두 가지 가능한 배열을 가집니다. 이는 모든 후속 행에도 적용됩니다.

에셔는 로저 펜로즈와 친구였지만, 그의 공간 채우기 작업이 펜로즈의 비주기적 타일링에 적용되기 전에 사망했습니다 [9, 10]. 이러한 유형의 타일은 디자인을 통합하는 것이 더 도전적인데, 이는 타일이 배열에 따라 반복 패턴을 형성하지 않을 수 있기 때문입니다. 다행히도, 더 흥미롭고 비반복적 (따라서 비주기적) 배열은 이전 논의된 측면 매칭 규칙을 따르는 방식으로 생성됩니다 [11]. 키트 및 다트 타일 [그림 12]은 모든 측면이 연결되어 비주기적 타일링 13을 만드는 방법을 보여줍니다. 같은 규칙을 사용하여 예술적 타일 [그림 14]도 만들어낼 수 있습니다.

프랙탈에 관해서는, 에셔의 원형 한계 시리즈는 개념을 암시하지만, 또한 하이퍼볼릭 평면 타일링으로 해석될 수도 있습니다 [12]. 순수한 자기 유사성을 나타내는 프랙탈 타일을 만들기 위해서는 이전 기법이 몇 가지 수정과 함께 다시 적용됩니다. 단일 타일로 시작하고, 다른 타일이 연결될 때를 위한 매칭 규칙을 만듭니다. 추가적인 제약 조건은 추가된 타일이 크기가 줄어드는 방식으로 선택되어야 한다는 것입니다. 이를 통해 프랙탈이 성장할 때 가지가 교차하지 않도록 합니다. [그림 20]은 한 직사각형 타일에서 각 추가 타일의 크기가 절반으로 줄어드는 것을 보여줍니다. 따라서 다음 타일은 원본의 반 크기이며, 측면 A는 A’와 A"에 연결됩니다. 미적 감각을 높이기 위해 두 연결 측면은 번갈아 배치되어, 측면 A"가 시계 반대 방향으로 90도 회전된 다음 타일에 연결되고, 측면 A’는 이 타일의 거울상 이미지와 시계 방향 90도 회전으로 연결됩니다. [그림 21]은 결과입니다.

다음 프랙탈 타일은 등변 삼각형으로 만들어집니다. [그림 20]과 마찬가지로 측면 A’에 대한 거울 연결이 수행됩니다. 또한, 타일링의 원리를 사용하여 프랙탈이 다른 방향으로 진행할 수 있도록 합니다. [그림 22]에서 보듯이, 삼각형의 중심 주변 지역은 디자인 대칭을 형성하며, 이는 120도 간격으로 반복됩니다. 이 대칭은 세 개의 하위 삼각형으로 타일링 내부에서 형성됩니다. 여기서 하단 삼각형은 다른 두 개 중 하나로 교체될 수 있어 [그림 23]의 프랙탈로 이어집니다. 이 프랙탈에서는 각 타일의 크기가 1/3로 줄어들어 가지가 충돌하는 문제를 보여줍니다. 그럼에도 불구하고 최종 결과는 매우 매력적입니다.

에셔의 작품은 세계에 기하학적 예술의 아름다움을 소개했습니다. 그러나 비수학 예술가들은 그의 예를 따르지 않았기 때문에, 다양한 삼각 함수 모양은 빈 타일로서만 존재합니다. [그림 23]: 최종 이미지를 사용하여 타일 [그림 22]에서 타일링과 프랙탈을 통합하는 과정을 설명함으로써, 우리는 도전들이 예술적보다는 수학적인 것이 아님을 보여주고자 합니다.

수학 분석이 예술에 대한 더 깊은 이해를 제공할 수 있는 방법과 관련하여, 에셔는 기하학의 수학에 대한 통찰력을 얻기 위해 예술을 수단으로 사용했습니다. 이 전통을 이어받아 본 논문은 타일링 아트와 결합되었을 때 직물과 분수 사이의 연결 고리가 가장 잘 드러난다는 것을 보여줍니다. 타일에 넣을 수 있는 가능성은 무한하며, 예술가들은 각 타일에 숨겨진 미발견의 패턴을 발견하기에 적합합니다.