돌연변이 소수 매듭을 이용한 포스트‑퀀텀 암호체계

📝 Abstract

By resorting to basic features of topological knot theory we propose a (classical) cryptographic protocol based on the `difficulty’ of decomposing complex knots generated as connected sums of prime knots and their mutants. The scheme combines an asymmetric public key protocol with symmetric private ones and is intrinsecally secure against quantum eavesdropper attacks.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 포스트‑퀀텀 암호의 필요성: 현재 널리 사용되는 RSA·ECC 등은 정수 인수분해·이산 로그 문제에 기반하며, Shor 알고리즘에 의해 양자 컴퓨터가 쉽게 깨뜨릴 수 있다. 따라서 전혀 다른 수학적 구조를 이용한 대안이 요구된다.
• 매듭 이론과 양자 물리: 1980년대 이후 매듭 불변량(Jones 다항식 등)은 Chern‑Simons 이론과 연결돼 양자 컴퓨팅에서도 중요한 역할을 한다. 특히 Jones 다항식 계산이 #P‑hard이며, 양자 알고리즘으로도 근사 계산이 어려운 문제로 알려져 있다.

2. 핵심 아이디어

• “쉬운 문제”: 소수 매듭 ↔ DT 코드 변환은 표준 테이블에 의해 효율적으로 수행 가능.
• “어려운 문제”: 주어진 복합 매듭을 원래의 소수 매듭·변이들의 집합으로 분해하는 것. 이는 매듭 인식 문제와 연결되며, 현재 알려진 알고리즘으로는 다항식 시간 내에 해결되지 않는다.

3. 프로토콜 구조 (요약)

1. 키 생성
   • Alice와 Bob은 각각 임의의 소수 매듭 집합 ( {K_i} )와 그 변이 ( {K_i’} )을 선택.
   • 각 매듭을 DT 코드로 변환하고, 연결합을 통해 공개키 (PK = #_{i} (K_i # K_i’)) 를 만든다.
2. 공개키 배포
   • (PK) 를 공개 채널에 전송.
3. 세션 키 협상
   • Bob은 Alice가 제공한 (PK) 에 자신의 비밀 매듭 집합을 연결해 암호문을 만든 뒤, 대칭 암호(예: AES) 키와 함께 전송.
4. 복호화
   • Alice는 자신의 소수 매듭·변이 목록을 이용해 (PK) 를 분해하고, Bob이 삽입한 부분을 식별해 대칭 키를 복구한다.

4. 보안성 평가

5. 기존 연구와의 차별점

1. Braid‑group 기반 암호와의 비교

   • Braid‑group 암호는 conjugacy problem을 기반으로 하지만, 최근 양자·클래식 알고리즘이 취약점을 보이고 있다.
   • 매듭 기반 접근은 연결합 분해라는 전혀 다른 난이도(분해 문제)로 전환, 변이 개념을 도입해 다항식 불변량 기반 공격을 무력화한다.

2. 다항식 불변량 기반 양자 알고리즘

   • Jones 다항식 근사 계산이 BQP‑complete임을 이용한 공격은 변이 매듭에서는 동일한 값을 반환하므로, 정보 손실이 발생한다. 이는 논문이 강조한 “양자 공격 무효화”의 핵심 근거이다.

3. 실용적 구현

   • 현재까지 매듭 기반 암호를 실제 시스템에 적용한 사례는 거의 없으며, 표준화된 데이터 구조(DT 코드)와 오픈 매듭 테이블이 존재한다는 점에서 구현 가능성은 높다. 다만, 키 생성·검증 알고리즘이 아직 미비하고, 효율적인 매듭 분해 검증 도구가 부재함.

6. 향후 연구 과제

• 복합 매듭 분해 알고리즘의 복잡도 분석: 현재는 경험적 “어려움”에 의존하고 있으므로, NP‑hard 혹은 #P‑hard와 같은 형식적 복잡도 클래스를 명시할 필요가 있다.
• 양자 시뮬레이션 실험: 변이 매듭에 대한 양자 회로 구현을 시도해, 실제 양자 컴퓨터가 다항식 불변량을 통해 정보를 추출할 수 없는지를 검증한다.
• 키 관리 프로토콜: 매듭 집합을 안전하게 업데이트하고, 교차점 수에 따른 통신 효율을 최적화하는 프로토콜 설계가 필요하다.
• 다른 위상 불변량 활용: Khovanov 동류, Hyper‑Khovanov 등 더 강력한 불변량을 결합해, 변이 매듭을 구분할 수 있는 다중‑층 보안을 구현할 수 있다.

7. 결론

Marzuoli·Palumbo 논문은 위상학적 구조를 암호학에 도입함으로써, 기존 수론 기반 포스트‑퀀텀 암호와는 전혀 다른 보안 기반을 제시한다. 변이 매듭이라는 특수한 위상학적 현상을 이용해 양자 알고리즘이 활용하는 주요 불변량을 무력화시키는 아이디어는 독창적이며, 매듭 이론과 암호학 사이의 새로운 교차점을 열었다.

하지만 현재 단계에서는 실용성과 보안 증명이 충분히 다듬어지지 않았으며, 매듭 분해 문제의 정확한 복잡도와 양자 공격에 대한 실험적 검증이 필요하다. 이러한 과제가 해결된다면, 매듭 기반 암호는 양자 시대에 강력한 대안이 될 잠재력을 가지고 있다.

📄 Content

arXiv:1010.2055v1 [math‑ph] 2010년 10월 11일
Post Quantum Cryptography from Mutant Prime Knots

Annalisa Marzuoli (1)와 Giandomenico Palumbo (2)
이탈리아 파비아 대학교 물리학부 핵·이론 물리학과 및 파비아 지점 국립핵물리연구소
via A. Bassi 6, 27100 파비아 (이탈리아)
(1) 이메일: annalisa.marzuoli@pv.infn.it
(2) 이메일: giandomenico.palumbo@pv.infn.it

초록

위상 결절 이론의 기본적인 성질을 이용하여, 소위 ‘소결절(prime knot)’과 그 변이(mutant)들의 연결합으로 생성된 복합 결절을 분해하는 ‘어려움’에 기반한 (고전적인) 암호 프로토콜을 제안한다. 이 스킴은 비대칭 공개키 프로토콜과 대칭 비밀키 프로토콜을 결합하며, 양자 도청자 공격에 대해 본질적으로 안전하다.

PACS 2008

• 89.70.-a (정보·통신 이론)
• 02.10.kn (결절 이론)
• 03.67.Dd (양자 암호 및 통신 보안)

MSC 2010

• 68QXX (계산 이론)
• 57M27 (결절·3‑다양체 불변량)
• 68Q17 (문제의 계산 복잡도)

1. 서론

결절과 링크(얽힌 원들의 집합)는 매혹적인 수학적 대상일 뿐 아니라 물리·화학·생물학 시스템을 모델링하는 데도 활용된다. 특히 1980년대 후반에 결절 이론이 양자 장 이론과 깊고도 예기치 않은 상호작용을 가진다는 것이 밝혀졌다[1]. 과거 과학사에서 기하학과 물리학은 ‘고전’ 수준에서 매우 강하게 연결되었지만(예: 아인슈타인의 일반 상대성 이론), 새로운 ‘양자’ 연결의 핵심은 기하학이 전역적이며 순수히 국부적인 것이 아니라 ‘위상적’ 특성만이 중요하다는 점이다.

수학자들은 가능한 모든 결절을 체계적으로 분류하기 위해 수많은 ‘결절 불변량’을 제안해 왔다. 대부분은 정수 계수를 갖는 일변수·이변수 다항식 형태이다. 가장 유명한 다항식 불변량인 Jones 다항식은 Vaughan Jones가 발견했으며, 교대 결절에 대한 Tait의 추측을 해결하였다[2]. Edward Witten의 기념비적 논문[1]에서는 Jones 다항식이 양자 Chern–Simons 이론에서 ‘Wilson loop 연산자’의 진공 기대값과 연관됨을 보여 주었다(관련 리뷰는 [3], [4] 참조).

위와는 별개로, ‘양자’ 계산이 고전 계산에 비해 어떤 문제들을 더 효율적으로 풀 수 있는지에 대한 연구가 지난 10년간 급격히 진행되고 있다. 대부분의 양자 알고리즘은 표준 양자 회로 모델[5]에 기반하며, Shor 알고리즘[6]처럼 본질적으로 수론적 문제를 해결한다(양자 알고리즘 기본 리뷰는 [7]). 그러나 조합론·열역학 등에서 나타나는 ‘열린’ 문제들도 고전 정보 이론 하에서는 ‘다루기 힘든’ 것으로 알려져 있다. 특히 Jones 다항식의 정확한 계산은 #P‑hard, 즉 매우 강한 의미에서 계산적으로 불가능함이 증명되었다[8]. 이러한 배경에서, Jones‑type 혹은 그 확장형 불변량을 근사적으로 계산하는 효율적인 양자 알고리즘이 최근 몇 년간 성공적으로 제시되었다[9‑13]; 이 문제는 양자 복잡도 클래스 BQP(오차가 제한된 양자 다항식 시간)에서 ‘보편적’인 문제로 간주된다[14].

그럼에도 불구하고, 위상 결절 이론에서 아직 해결되지 않은 핵심 문제는 **‘인식 문제(recognition problem)’**이다. 즉, 두 결절이 주어졌을 때 이들이 ‘동등(equivalent)’한지(다음 절에서 정의) 판단하는 방법이다. 일반적인 불변량은 이 작업에 도움을 줄 수 있지만, 특정 결절 군—‘변이(mutant)’라 불리는 결절군—은 정의상 모든 Jones‑type 불변량이 동일하므로 구별이 불가능하다[15, 16].

그런데 최근 몇 년간 군 기반 암호학이 매우 활발히 연구되고 있다[17, 18]. 특히 [19]에서 제안된 키 교환 프로토콜은 braid group Bₙ(n‑1개의 생성자를 갖는 비아벨 군)으로 구현될 수 있다. 결절과 브레이드(braid)는 서로 밀접하게 연결되어 있다; 열린 브레이드를 ‘닫음(closing)’으로 다중 구성 결절을 만들 수 있고, 이와 관련된 다양한 알고리즘적 문제들이 존재한다[20]. 브레이드 기반 암호 프로토콜은 ‘쉬운 문제(두 브레이드가 같은 원소인지 판단)’와 ‘어려운 문제(두 단어가 서로 켤레(conjugate)인지 판단)’에 의존한다[17]. 그러나 현대의 보안 요구가 점점 높아지면서, 현재의 브레이드 기반 프로토콜은 도청자 공격에 충분히 안전하지 않은 것으로 보인다[19, 21].

본 논문에서 제안하는 이론적으로 안전한 프로토콜은 위상 결절 이론에 기반한다. 핵심 재료는 현재 웹에 공개된 Knot Tables에 정리된 ‘소결절(prime knot)’들이다. 스킴은 (1) 소결절을 Dowker–Thistlethwaite(DT) 코드와 연결시키는 ‘쉬운’ 문제와, (2) 소결절과 그 변이들을 연결합으로 만든 복합 결절을 인수분해하는 ‘어려운’ 문제에 의존한다.

프로토콜은 순수 고전 암호 도구를 사용하며, 비대칭 공개키와 대칭 비밀키를 결합한다.

‘Post‑quantum’이라는 형용사는 현재 널리 사용되는 공개키 암호가 정수 인수분해 혹은 이산 로그 문제에 기반한다는 점에서 유래한다. 이 두 문제는 Shor 알고리즘을 이용하면 충분히 큰 양자 컴퓨터에서 쉽게 풀릴 수 있다. 우리 프로토콜은 이 두 문제에 의존하지 않으며, 현재까지는 그와 동등하거나 더 쉬운 문제로 환원되지 않는다. 따라서 ‘양자 공격에 안전함(post‑quantum)’이라는 의미는, 아직 반증이 제시되지 않은 한 그대로 받아들일 수 있다.

또한, 결절 불변량을 양자적으로 계산하려는 공격도 변이(mutant) 결절이 존재하기 때문에 실패한다. 변이는 양자 컴퓨터조차 구별할 수 없는 특성을 가지고 있기 때문이다.

다음 절(2)에서는 위상 결절 이론의 기본 개념을 간략히 살펴보고, 절(3)에서 암호 프로토콜을 제시한다. 마지막으로 절(4)에서 몇 가지 논의와 결론을 제시한다.

2. 위상 결절 이론 및 결절 도표 코딩 개요

결절(K) 은 원 S¹(1‑차원 구) 를 유클리드 3‑공간 ℝ³(또는 3‑구 S³ = ℝ³ ∪ {∞})에 연속적으로 삽입한 것이다. 링크(L) 은 M개의 원을 서로 겹치지 않게 삽입한 것으로, 즉 M개의 결절들의 유한 집합이다. 각 원은 자연스럽게 방향을 부여할 수 있으므로, 방향성 결절(링크) 를 정의한다.

비방향성 경우를 편의상 고려하면, 두 결절 K₁, K₂ 가 동등(equivalent) 하다고 하는 것은 동일한 주변동형(isotopic) 관계에 있음을 의미한다. 즉, ℝ³ 안에서 K₂ 를 연속적으로 변형시켜 K₁ 과 일치시킬 수 있지만, 끊거나 붙이는 행위는 허용되지 않는다.

결절의 평면 도표(diagram) D(K) 는 K 를 평면 ℝ²에 투사한 것으로, 세 개 이상의 선분이 겹치는 점은 없으며, 교차점은 모두 횡단(double) 형태이다. 교차점마다 ‘위(over)’와 ‘아래(under)’ 정보를 부여한다(아래 선분을 끊어 표시).

결절의 교차점 수는 그 복잡도를 나타내는 좋은 지표이며, 19세기 후반 Tait는 교차점 수에 따라 결절을 체계적으로 분류하려는 프로그램을 시작했다. 현재 Knot Tables(예: [22]와 위키피디아의 Knot Atlas) 에서는 교차점 수 𝑁̅에 따라 정렬된 ‘소결절(prime knot)’들의 도표가 제공된다. 여기서 𝑁̅는 교차점 수, N = 1, 2, … 은 동일 교차점 수를 갖는 결절들의 순번이다.

‘무결절(unknot)’ 혹은 ‘트리비얼 결절’ K∘ 은 원 형태의 도표를 가지며, 𝑁̅(K∘) = 0, N = 1 로 표기한다.

소결절(prime knot) 은 비자명(non‑trivial)이며 두 개 이상의 비자명 결절의 연결합으로 분해될 수 없는 결절이다. 결절의 연결합(connected sum) 은 두 결절 K₁, K₂ 의 도표에서 각각 작은 구간을 잘라 네 개의 끝점을 두 새로운 호로 연결함으로써 만든다. 이를 K₁ # K₂ 로 표기한다. 예를 들어, 트레포일 결절(31)과 그 거울상(32)의 연결합은 ‘스퀘어(squared) 결절’(62)로 알려져 있다.

연결합은 교환법칙과 결합법칙을 만족하고, 항등원은 트리비얼 결절 K∘ 이다(K∘ # K = K). 중요한 정리는 프라임 분해 정리이다: 복합 결절의 프라임 분해는 (합성 순서를 제외하고) 유일하다[23].

교차점 수는 결절의 불변량(invariant) 중 가장 기본적인 예이며, 이는 결절의 주변동형 클래스에만 의존한다. 일반적으로 ‘불변량’이란, Reidemeister 이동(유한한 일련의 국소 변형)으로부터 변하지 않는 양(수 혹은 다항식)을 말한다(자세한 내용은 [24‑26] 참조).

다항식 불변량은 서로 다른 결절에 동일한 값을 가질 수 있다. 현재까지 알려진 가장 유명한 다항식 불변량은 Alexander 다항식, Jones 다항식[2] 및 그 확장[27], HOMFLY[28], Kauffman 다항식[25] 등이다. 그러나 이들 역시 변이(mutant) 결절을 구별하지 못한다[15, 16].

변이(mutant) 결절

‘털(‘tangle’)’은 결절 도표에서 원으로 둘러싸인 영역이며, 그 원을 통과하는 선분이 정확히 네 개이다. 임의의 결절은 최소 두 개의 털(S, R) 로 표현될 수 있다.

주어진 결절 K 의 털 R 을 돌려(rotating) 혹은 방향을 뒤바꾸어 새로운 털 R′ 로 교체하면, 원래 결절의 변이(mutant) K′ 가 생

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