명확한 정규표현식의 포함성 문제도 NP 난제인가?

요약: 본 논문은 명확한 (#unambiguous) 정규표현식( #REs) 간의 포함성 문제도 NP-난제임을 증명한다. 이는 XML 스키마 콘텐츠 모델 표현에서 요구되는 명확성을 만족하더라도 해당 문제가 계산적으로 어렵다는 것을 의미한다.

1. 서론

이전 연구 [3]에서, #REs로 표현된 언어의 포함성과 겹침성 검사가 NP-난제임을 보여주었다. 특히, 명확하지 않은 (#ambiguous) #REs를 사용하여 #REs의 포함성 문제에 대한 NP-난제 증명을 제시했다. 본 논문에서는 명확성이 이러한 문제를 해결하는 데 실질적인 도움이 되지 않음을 보여준다.

2. 증명 개요

본 증명은 다중 부분 집합 분할 문제(PARTITION) [1, Chap. 5]를 기반으로 한 다항 시간 튜링 감소(polynomial-time Turing reduction)를 사용한다. PARTITION은 잘 알려진 NP-완전 문제 중 하나이다 [2, 1].

3. 정리 1.1: #RE의 포함성 문제는 NP-난제이다.

• 증명:

  • 집합 A = {a1, …, ak}과 각 요소 a ∈ A에 대한 양의 정수 가중치 w(a)를 가진 인스턴스를 고려한다. 이 문제는 A를 두 동등한 가중치를 가진 부분집합 A’와 A - A’로 분할할 수 있는지 여부를 결정하는 것이다. 즉, 다음 조건을 만족하는 A’가 존재하는지 판단하는 것이다:
  $$ \sum_{a \in A'} w(a) = \sum_{a \in A \setminus A'} w(a) $$
  • 이 조건은 집합 A의 총 가중치가 짝수일 때만 성립한다. 따라서, 총 가중치를 2n으로 가정하고, 다음과 같이 단순화할 수 있다:
  $$ \exists A' \subseteq A : \sum_{a \in A'} w(a) = n $$
  • 각 #RE를 정의하기 위해, 문자열의 알파벳을 Σ = {a0, a1, …, ak}로 설정한다.

  E1:

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…