방향성에 따른 양자 점의 상관 에너지 연구

두 전자 문제는 양자 물리학의 근본적인 문제 중 하나이며[1][2][3][4], 단순해 보이지만 특정 매우 특별한 경우에서만 해결되었다[5][6][7][8][9][10][11][12][13]. 두 전자 문제를 대략적으로 해결하기 위한 방법들은 분자 물리학 및 양자 화학 발전에 핵심적인 역할을 했다[14, 15].

익히 알려진 하르티-포크(HF) 모델[16]은 각 전자가 다른 전자의 평균 필드 속에서 움직이는 분리 가능한 전자로 시스템을 취급한다. HF 해는 에너지 측면에서 좋은 근사치를 제공하며 복잡한 분자 시스템 모델링에 널리 사용된다[17]. 그러나 이 방법의 오류, 즉 위너가 ‘상관 에너지’라고 부른 것을 이해하는 것이 중요하다[19]. 두 전자 시스템의 상관 효과 연구는 자체적으로 흥미롭지만, 계산 모델 테스트를 위한 단순한 예시를 제공하고 더 복잡한 시스템에 대한 통찰력을 제공한다[20][21][22][23]. 이러한 연구는 다양한 구금 외부 잠재력, 상호작용 잠재력 및 자유도를 대상으로 광범위하게 수행되었다[24][25][26][27]. 그러나 대부분의 이전 연구는 구형 대칭 외부 잠재력에 초점을 맞추었으며, 이는 수학적 분석을 복잡하게 만드는 방향성 문제를 야기한다. 이는 불행한 일인데, 대부분의 실제 시스템이 등축적이지 않기 때문이다. 따라서 방향성의 영향이 상관 에너지에 어떻게 미치는지 이해하는 것이 중요하다.

양자 점은 종종 하모닉 잠재력과 쿠울롬 반발로 모델링된다[28][29][30][31]. 실험 조건으로 인해 전자가 1차원적으로 강하게 구금되는 경우, 모델 잠재력은 일반적으로 구형 및 2차원이다. 이러한 양자 점에 대한 계산은 저차원 시스템을 위한 교환-상관 밀도 함수 이론(DFT)의 교환-상관 밀도 함수 개발에 광범위하게 사용되었다[32][33][34][35][36][37].

실험적 진전[38][39][40] 외에도 많은 이론 연구는 3차원 구금 강도의 변화가 양자 점의 에너지에 미치는 영향을 조사했다. 이러한 연구는 DFT[41, 42], HF[43], 정확한 대각화[44] 및 정확한 해[45][46][47]를 사용했다. 그러나 상관 에너지의 중요성에도 불구하고, 양자 점의 구금 효과에 대한 연구를 수행한 논문은 몇 편밖에 없다[48][49][50].

본 논문에서는 두 전자의 노들 없는 지표 상태의 에너지 변화가 D차원 하모닉 잠재력에서 방향성에 미치는 영향을 조사한다. 모든 αj는 0에서 1 사이의 힘 상수인 외부 잠재력을 정의한다. 등축적 경우, 모든 αj가 동일하게 설정된다. 우리는 특히 한 개 이상의 αj가 0에 가까워지는 한계 상황에 관심이 있다. 이러한 한계는 시스템이 차원 축소를 겪는 것을 의미하기 때문이다. 우리의 연구는 고밀도(λ → ∞) 한계에 초점을 맞춘다[51][52][53][54]. 이 한계에서 전자의 고밀도 행동은 일반적인 원자 및 분자 전자 밀도와 놀랍도록 유사하다는 것이 밝혀졌다[24][25][26][27].

이 시스템을 설명하는 해밀토니안은 다음과 같다:

여기서 r12는 두 전자 사이의 거리이고, ∇²는 D차원 라플라시안 연산자다[55, 56]. 모든 길이를 λ로 스케일링하면 다음의 해밀토니안을 얻는다:

이는 큰 λ에 대한 퍼트번트 이론에 적합하며, 제로 순해 함수는 다음과 같고, 퍼트번트는 다음과 같다:

제0 해밀토니안 Ĥ(0)는 분리 가능하며 그 고유 함수와 에너지는 (7)과 같다:

여기서 ni = (n1, …, nD)는 i번째 전자의 양자 번호이고, xij는 i번째 전자의 j번째 좌표이며, Hn(x)는 n번째 헤르미트 다항식이다[57].

정확한 에너지 및 HF 에너지를 힘 시리즈로 확장하면[52, 53, 58, 59] 다음과 같다:

따라서 상관 에너지의 한계 값은 다음과 같다:

HF.

본 논문에서는 상관 에너지 Ec이 방향성에 의해 크게 영향을 받는다는 것을 보여준다.

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