다목적 TSP 해결을 위한 유전 알고리즘의 혁신적 접근

다목적 여행 판매원 문제(Multi-Objective Traveling Salesman Problem, MOTSP)는 비용 배분과 거리 배분 사이의 균형을 유지하면서 최적의 경로를 선택해야 하는 다목적 최적화 문제입니다. 본 논문에서는 수정된 2-Opt와 점프 유전자 적응 알고리즘을 활용한 Elitist 비우월 정렬 유전 알고리즘(NSGA-II)을 이용하여 MOTSP를 해결하는 간단한 모델을 제시합니다.

알고리즘은 정수 코딩 방법 또는 실수 변수를 사용하여 초기 유효 경로 인구를 생성하고, 두 가지 목표인 거리 및 비용을 계산한 후 패러토 최적화 함수를 통해 염색체를 순위 매깁니다. 토너먼트 선택을 통해 더 우수한 염색체가 선택되어 교차, 돌연변이, 지역 탐색을 통해 부모 세대를 형성합니다. 사용된 지역 탐색 방법은 수정된 2-Opt입니다. KroAB100과 같은 실제 MOTSP 예제 데이터셋에서 얻은 결과는 문제의 근사 최적 해를 빠르고 정확하게 얻을 수 있음을 보여줍니다.

여행 판매원 문제는 주어진 도시와 그 사이의 여행 비용을 기반으로, 각 도시를 정확히 한 번씩 방문하고 출발점으로 돌아오는 가장 저렴한 경로를 찾는 문제입니다. 단일 목적 TSP는 NP-완전 문제입니다. 다목적 TSP에서 결정 공간은 모든 (1, 2, …, n) 순열의 집합이며, 최소화해야 하는 m개의 목표는 다음과 같습니다:

위 식에서 x = (x1; : ; xn)은 순열 벡터이고, dki;j는 k번째 목표에서 도시 i에서 j로 이동하는 비용을 나타냅니다. 본 연구에서는 Euclidean 거리를 사용하여 dk i;j를 정의했습니다.

사용한 데이터셋은 100개의 도시로 구성된 KroA100과 KroB100이며, 이를 결합하여 KroAB100을 통해 이진 목적 문제로 활용할 수 있습니다.

초기 무작위 인구 P0가 생성됩니다. 인구는 비우월성에 따라 정렬되며, 각 솔루션은 비우월 수준에 따라 피트니스 값이 할당됩니다. NSGA-II 알고리즘에서는 피트니스 최소화를 가정합니다. 먼저, 일반적인 이진 토너먼트 선택, 재조합 및 돌연변이 연산자 (점프 유전자)가 사용하여 N 크기의 자손 인구 Q0를 생성합니다. 그러나 본 구현에서는 단순한 돌연변이 대신 수정된 2-Opt 연산자와 점프 유전자 연산자를 함께 사용했습니다. 초기 세대 이후 절차가 다릅니다. 알고리즘의 i번째 세대 절차는 그림 1에 설명되어 있습니다.

Pi와 Qi를 결합하여 새로운 인구 Pi + Qi를 형성합니다. Pi는 이전 세대에서 생성된 인구이고, Qi는 다양한 연산자를 적용한 후 생성된 인구입니다. 결합 인구의 크기는 허용되는 인구 크기 N의 두 배입니다. 결합 인구는 비우월성에 따라 정렬되어 최적 개체 유지가 보장됩니다. 이 정렬된 조합에서 가장 우수한 N개의 개체를 선택합니다.

특정 비우월 집합 내에서 개체들은 밀도 거리가 감소하는 순서로 배치됩니다. 더 자세한 설명은 참고 문헌 [1]을 참조하십시오. 그림 1에서 Ngen은 세대 수이고, Np는 인구 크기입니다. 상자는 전체 세대를 나타냅니다.

염색체는 도시 배열로 구성되며, 이 표현은 도시 x1이 x2와 연결되고, x2가 x3과 연결되는 것을 의미합니다. 마지막으로, xn은 x1과 연결되어 경로를 형성합니다. 초기화 시, 경로에 중복된 도시가 없는지 확인해야 합니다.

각 염색체는 점프 유전자 연산자가 적용될 확률 Pjg를 통해 무작위로 선택됩니다. 점프 유전자 연산자가 적용되면, 개체 내에서 두 위치가 무작위로 선택되고, 이 두 지점 사이의 이진 서브스트링이 재조합됩니다.

전문 한국어 번역:

새로 생성된 동일한 길이의 문자열로 대체됩니다. 본 사례에서는 이진 변수 대신 실수 변수를 사용하므로, 위치 p와 q 사이의 각 변수의 값은 무작위로 재초기화됩니다. 이 연산자는 일반적인 돌연변이와는 다른 점으로, 개체의 전체 세그먼트를 변경하는 반면, 단일 염색체만 변경합니다. JG 연산의 장점을 단순한 돌연변이와 비교하려면 [2]를 참조하세요. 그림 2는 JG 연산자가 포함된 단계들을 보여줍니다.

2-OPT는 TSP(여행 판매원 문제)를 위한 간단한 현지 검색/개선 알고리즘으로, 단순한 순회 수정 기반입니다. 주어진 실현 가능한 순회를 입력으로 받아, 알고리즘은 각 수정이 순회의 길이를 줄일 때까지 반복적으로 연산을 수행합니다. 이 순회는 현지 최적 순회입니다. 2-OPT는 [3]에서 단일 목표 여행 판매원 문제를 위해 처음 제안되었습니다. 이 이동은 두 개의 간선을 삭제하여 순회를 경로들로 분할하고, 그 후 이러한 경로들을 다른 가능한 방식으로 다시 연결합니다.

단일 목표 TSP의 2-OPT 사례를 고려해 봅시다. 그리고 순회의 고정된 방향을 가정하고, 각 순회 간선의 고유한 표현을 (x, y) 쌍으로 설정합니다. 여기서 x는 y의 순회에서의 즉각적인 전임자입니다. 그러면 각 가능한 2-OPT 이동은 <t1, t2, t4, t3> 형태의 4개 도시로 구성된 도시 집합에 대응할 수 있습니다. 여기서 (t1, t2)와 (t4, t3)는 삭제되는 순회 간선이며, (t2, t3)와 (t1, t4)는 이를 대체하는 간선입니다. 개선 이동을 위해서는 다음 조건 중 하나가 충족되어야 합니다: d(t1, t2) > d(t2, t3) 또는 d(t3, t4) > d(t4, t1) 또는 둘 다. 그림 3에 따르면, 새로운 순회 <t1, t4, t3, t2>는 더 짧은 거리를 가집니다. 여기서 d(x, y)는 도시 x와 y 사이의 거리를 나타내며, 이를 최소화해야 합니다.

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…