프로핀트 군과 그래프 이론을 이용한 공변 변환: 새로운 관점

우리는 타이초노프 공간의 컴팩트 홈오모르피즘 군 H(X)가 항상 프로핀트 군임을 알고 있습니다 ([16], [17]). 반대로, 가트사이드와 글린([8])은 모든 메트릭 프로핀트 군이 연속적인 연결된 메트릭 공간인 공변 변환군(homeomorphism group)과 동형이라고 보였습니다.

주어진 그룹을 공변 변환군으로 표현하기 위한 전략은 다음과 같습니다:

단계 1: 연결된 그래프 Γ, 일반적으로 방향이 있는 그래프를 찾고, π: G → Aut(Γ)로 이등변 표현을 찾습니다. 일반적인 시도는 카일리 그래프([9], [8], [4])를 사용하는 것입니다.

단계 2: 단단한 공변(rigid continuum) C를 찾아 각 방향 엣지들을 Γ에 C 또는 변형된 형태로 대체하여 연결된 공간 X를 생성합니다. 마지막으로, γ: Aut(Γ) → H(X)로 동형성을 찾습니다 ([9], [11], [4]). 이를 통해 π와 결합한 γ • π: G → H(X)의 동형을 얻습니다.

모든 알려진 전략 변형은 매우 기술적으로 복잡하며, 다른 변형들은 서로 다른 공변 공간 X를 생성합니다. 어떤 의미에서든 일반적이고 관례적인 건설을 찾는 것은 바람직하지만, 홈오모르피즘 군은 모든 자동군처럼 범주 내에서 함수적이지 않습니다.

우리는 단계 1에서 더 나아가 컴팩트한 연결된 방향 그래프 Γ를 생성하고, 그 후 단계 2를 적용하여 최종 목표에 도달하는 것을 제안합니다.

본문에서는 이러한 건설이 원리적으로 가능하며, 모든 프로핀트 모노테릭 그룹 G에 대해 공변 공간 X를 제공함을 보여줍니다. 비록 모든 컴팩트 모노테릭 그룹이 메트릭하지는 않지만, 프로핀트인 그룹들은 메트릭합니다.

따라서, 일반적인 존재 결과의 맥락에서 본 건설은 [8]에서 보인 것 이상 새로운 것을 제공하지 않습니다. 그러나 우리가 생성한 공변 공간은 [8]에서 생성한 공간들과 완전히 다르며, 제안된 건설은 미래에 유용하게 활용될 가능성이 있습니다.

원하는 홈오모르피즘 군을 가진 위상 공간을 생성하기 위해서는 먼저 자동군(automorphism group)이 주어진 그래프의 위상적 그래프를 생성합니다.

방향 위상 그래프: Γ = (V, E, η)는 위상 공간 V와 E 및 연속 함수 η로 구성된 방향 그래프입니다. V는 꼭짓점 집합이고, E는 (방향) 엣지 집합입니다. e ∈ E에 대해 η(e) = (e1, e2) ∈ V × V에서 e1은 시작점이고, e2는 끝점입니다. 조건 (†)는 어떤 꼭짓점도 엣지의 시작점 또는 끝점이 아닌 경우를 의미합니다. 물론, v1에서 v2로 가는 여러 개의 엣지가 있을 수 있습니다. 그러나 우리는 이 사실을 본문에서는 사용하지 않습니다.

분리된 그래프: V와 E가 분리의 경우, 방향 그래프는 고전적인 개념의 방향 그래프로 회귀합니다.

예시 2.2 (i): 자연수 n > 2에 대해 Z(n) = Z/nZ의 순환군을 생각해 봅시다. 다음은 Z(n)의 카일리 그래프입니다:

이 그래프는 순환군 Z(n)과 생성 집합 {1 + nZ}를 가진 쌍 (Z(n), {1 + nZ})의 카일리 그래프입니다.

(ii) 보다 일반적으로, 토폴로지 군 G와 G 내의 g ∈ G에 대해 다음과 같이 정의합니다:

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…