동시 파라미터 식별·동기화의 확장성·수렴성: 차세대 적응법 제안

📝 Abstract

The synchronization of dynamical systems is a method that allows two systems to have identical state trajectories, appart from an error converging to zero. This method consists in an appropriate unidirectional coupling from one system (drive) to the other (response). This requires that the response system shares the same dynamical model with the drive. For the cases where the drive is unknown, Chen proposed in 2002 a method to adapt the response system such that synchronization is achieved, provided that (1) the response dynamical model is linear with a vector of parameters, and (2) there is a parameter vector that makes both system dynamics identical. However, this method has two limitations: first, it does not scale well for complex parametric models (e.g., if the number of parameters is greater than the state dimension), and second, the model parameters are not guaranteed to converge, namely as the synchronization error approaches zero. This paper presents an adaptation law addressing these two limitations. Stability and convergence proofs, using Lyapunov’s second method, support the proposed adaptation law. Finally, numerical simulations illustrate the advantages of the proposed method, namely showing cases where the Chen’s method fail, while the proposed one does not.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 문제 정의

• 동기화와 파라미터 식별의 결합: 전통적인 동기화는 동일한 모델을 전제로 하지만, 실제 시스템에서는 모델 파라미터가 미지인 경우가 많다. Chen & Lü(2002)는 파라미터가 선형적으로 모델에 들어가는 경우, 적응법을 통해 동기화와 동시에 파라미터 식별을 시도하였다.
• 기존 방법의 두 가지 핵심 한계
  1. 확장성 문제: 파라미터 차원 (m)이 상태 차원 (n)보다 클 때, 적응법이 수렴을 보장하지 못한다. 이는 (F^T(x)F(x)) 행렬의 랭크가 (\min(n,m))에 제한되기 때문이다.
  2. 수렴성 보장 결여: Lyapunov 함수 (V_1(e,\Delta)=\frac12 e^Te+\frac12\Delta^T\Delta)를 사용했지만, (\dot V_1(0,\Delta)=0)이 되어 파라미터 오차 (\Delta)가 감소하지 않을 가능성이 존재한다.

2. 제안된 적응법의 핵심 아이디어

• 새로운 Lyapunov 함수: (V(e,\Delta)=\frac12 e^Te+\frac12\Delta^T\Delta)를 그대로 사용하되, 제어기 (U) 를 (U(y,x,\theta) = -Ke - f(y)+f(x)-

📄 Content

동시 파라미터 식별 및 동역학 시스템 동기화의 확장성 및 수렴성에 관한 연구

Bruno Nery, Rodrigo Ventura
시스템 및 로보틱스 연구소
Instituto Superior Técnico, 리스본, 포르투갈

초록

동역학 시스템의 동기화는 두 시스템이 오차가 0으로 수렴하도록 동일한 상태 궤적을 갖게 하는 방법이다. 이 방법은 한 시스템(구동 시스템)으로부터 다른 시스템(응답 시스템)으로의 단방향 결합을 적절히 설계함으로써 이루어진다. 따라서 응답 시스템은 구동 시스템과 동일한 동역학 모델을 공유해야 한다.

구동 시스템의 모델이 알려지지 않은 경우, Chen은 2002년에 응답 시스템을 적응시켜 동기화를 달성하는 방법을 제안하였다. 이 방법은 (1) 응답 시스템의 동역학 모델이 파라미터 벡터와 선형적으로 결합된 형태이며, (2) 두 시스템의 동역학을 동일하게 만드는 파라미터 벡터가 존재한다는 전제에 기반한다. 그러나 이 방법에는 두 가지 한계가 있다. 첫째, 파라미터 수가 상태 차원보다 많을 경우 복잡한 파라미터 모델에 대해 확장성이 떨어진다. 둘째, 동기화 오차가 0에 접근하더라도 파라미터가 수렴한다는 보장이 없다.

본 논문에서는 위 두 한계를 동시에 해소하는 적응 법칙을 제시한다. Lyapunov의 제2법을 이용한 안정성 및 수렴성 증명을 통해 제안된 적응 법칙의 타당성을 뒷받침한다. 마지막으로 수치 시뮬레이션을 통해 제안 방법의 장점을 확인한다. 특히 Chen 방법이 실패하는 경우에도 제안 방법은 정상적으로 동작함을 보여준다.

1. 서론

두 개의 동일한 연속시간 동역학 시스템을 구동 시스템(D)과 응답 시스템(R)이라 하자. 각각을 독립적으로 동작시킬 경우, 초기 조건이 다르면 특히 혼돈 시스템에서는 상태 궤적이 급격히 달라진다[6,4]. 그러나 구동 시스템에서 응답 시스템으로의 단방향 결합이 존재하면 두 시스템의 상태 궤적이 동기화될 수 있다[10,5,8]. 본 논문에서는 가장 단순한 결합 형태, 즉 구동 시스템이 전체 상태 벡터를 응답 시스템에 전달하는 경우만을 고려한다. 이 경우 피드백 선형화를 이용해 두 시스템을 동기화하는 제어기를 쉽게 설계할 수 있다(섹션 2).

동기화는 구동·응답 시스템이 동일한 동역학 모델을 가정한다는 전제하에 이루어진다. 본 논문에서는 구동 시스템의 동역학 모델이 알려지지 않은 상황에서 응답 시스템을 동기화하는 문제를 다룬다. 구체적으로는 동시 적응 및 동기화 문제를 목표로 한다. 두 가지 가정을 둔다: (1) 응답 시스템의 동역학 모델이 파라미터 벡터에 대해 선형이며, (2) 해당 파라미터 벡터의 특정 값이 두 시스템을 동일하게 만든다. 2002년 Chen과 Lü는 이러한 상황에서 파라미터 벡터를 동시에 적응시키고 동기화를 달성하는 방법을 제안하였다[3]. Lyapunov 제2법을 이용해 방법의 타당성을 증명했지만, 사용된 Lyapunov 함수 구조상 파라미터 수렴이 보장되지 않는다. 이는 두 가지 문제를 야기한다. 첫째, 파라미터 차원이 상태 차원보다 클 경우 수렴이 보장되지 않아 복잡한 모델에 적용하기 어렵다. 둘째, 파라미터 수가 적더라도 Chen의 증명은 파라미터가 효과적으로 수렴한다는 보장을 제공하지 않는다.

본 논문에서는 위 두 문제를 모두 해결한다. 임의의 구동 시스템에 대해 동시 동기화와 적응이 전역적으로 균일하게 수렴함을 증명한다. 또한 Chen 방법과 제안 방법을 비교한 수치 실험을 통해 제안 방법의 장점을 입증한다.

혼돈 동기화는 1990년 Pecora와 Carroll에 의해 처음 소개되었다[7]. 이후 많은 연구가 이 개념을 심화시켰다[1,5,8,2]. 예를 들어, Agiza와 Yassen은 Rössler와 Chen 혼돈 시스템을 활성 제어를 통해 동기화하는 방법을 제안했지만[2], 이는 해당 시스템에만 특화된 접근법이다. Chen과 Lü는 혼돈 시스템의 동시 식별 및 동기화 방법을 제시했지만[3], 몇 가지 제한점이 존재한다는 점을 본 논문에서 상세히 논의한다.

논문의 구성은 다음과 같다. 섹션 2에서는 문제 정의를 공식화하고, 섹션 3에서는 제안된 해결책을 제시한다. 섹션 4에서는 실험 결과를, 섹션 5에서는 결론을 제시한다.

2. 문제 정의

구동 시스템과 응답 시스템 사이에 단방향 결합이 존재한다고 가정한다. 본 논문에서는 두 시스템이 동일한 구조를 가지지만 파라미터 벡터만 다르다고 가정한다. 목표는 적응 법칙을 통해 그 파라미터 벡터를 추정하는 것이다.

구동 시스템은 다음과 같이 모델링된다.

[ \dot{x}=f(x)+F(x),\theta ,\qquad (1) ]

여기서 (x(t)\in\mathbb{R}^{n})은 상태 벡터, (\theta\in\mathbb{R}^{m})은 파라미터 벡터이며, 비선형 함수 (f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}), (F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n\times m})가 모델을 구성한다. 구동·응답 시스템 사이의 결합은 구동에서 응답으로 전달되는 동기화 입력 (U) 형태로 구현된다.

응답 시스템은 파라미터 (\alpha\in\mathbb{R}^{m})와 동기화 입력 (U)만 구동 시스템과 다르다.

[ \dot{y}=f(y)+F(y),\alpha+U(y,x,\alpha),\qquad (2) ]

여기서 (y(t)\in\mathbb{R}^{n})은 응답 시스템의 상태, (U:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{n})는 동기화 제어 함수이다.

오차를 (e=y-x)와 파라미터 오차 (\Delta=\alpha-\theta)로 정의하면, 동시 적응 및 동기화 문제는 다음을 만족하는 제어기 (U)와 파라미터 적응 법칙을 설계하는 것이다.

[ \lim_{t\to\infty} e(t)=0,\qquad \lim_{t\to\infty}\Delta(t)=0. ]

Chen은 위 문제에 대해 다음과 같은 적응 법칙을 제시하였다[3].

가정 1. (\alpha=\theta)일 때, 어떤 제어기 (U)와 스칼라 함수 (V(e))가 존재하여

1. (c_{1}|e|^{2}\le V(e)\le c_{2}|e|^{2}) (양의 상수 (c_{1},c_{2}))
2. (\dot V(e)\le -W(e)) (양의 정부호 함수 (W))

그리고 (U(x,x,\theta)=0)을 만족한다.

예를 들어

[ U(y,x,\theta)=-e+f(x)-f(y)+[F(x)-F(y)]\theta ,\qquad (3) ]

와

[ V(e)=\frac12 e^{!T}e ]

는 위 가정을 만족한다.

정리 1. 가정 1이 성립하면 다음 적응 법칙

[ \dot\alpha=-F^{!T}(x),\bigl[\nabla V(e)\bigr]^{!T} \qquad (4) ]

은 시스템을 평형점 (e=0,;\alpha=\theta)에서 안정화한다[3].

정리 증명에서 사용된 Lyapunov 함수는

[ V_{1}(e,\alpha)=\frac12 e^{!T}e+\frac12\Delta^{!T}\Delta \qquad (5) ]

이다. 여기에는 숨겨진 전제가 있다: (U(y,x,\alpha)-U(y,x,\theta)=[F(x)-F(y)]\Delta) (즉, (3) 형태의 제어기를 사용할 경우에만 성립).

하지만 두 가지 문제가 남아 있다. 첫째, (4)는 (-\dot V_{1})이 엄격히 양의 정부호임을 보장하지 않는다. 실제로 (\dot V_{1}(0,\alpha)=0)이므로, 동기화 오차가 0에 가까워질수록 파라미터 오차가 감소한다는 보장이 없다. 둘째, (F^{!T}(x))의 영공간(null space) 문제이다. (4)에 따르면 (\nabla V(e))가 (F^{!T}(x))의 영공간에 있으면 (\alpha)는 변하지 않는다. 예를 들어 (V(e)=\frac12 e^{!T}e)일 때, (e)가 영공간에 있으면 (\alpha\neq\theta\임에도 불구하고 (\alpha)는 업데이트되지 않는다.

3. 제안된 해결책

3.1 동기화 제어기 설계 (파라미터가 알려진 경우)

우선 파라미터가 정확히 알려졌다고 가정((\alpha=\theta))하고, 동기화 제어기를 설계한다. 이때 오차 (e)의 동역학은

[ \dot e = f(y)-f(x)+[F(y)-F(x)]\theta+U(y,x,\theta) \qquad (6) ]

이다. 양의 정부호 Lyapunov 함수

[ V(e)=\frac12 e^{!T}e \qquad (7) ]

를 사용하면 (\dot V = e^{!T}\dot e)가 된다. 여기서

[ U(y,x,\theta) = -K e - f(y)+f(x)-[F(y)-F(x)]\theta \qquad (8) ]

((K\in\mathbb{R}^{n\times n})는 양의 정부호 행렬) 라고 두면 (\dot e = -K e)가 된다. 따라서 (-\dot V = e^{!T}K e>0)이며, 시스템 (6)은 전역 균일 비동기 안정성을 가진다[11].

3.2 파라미터 적응 법칙 설계

다음으로 파라미터 오차 (\Delta)를 포함한 Lyapunov 함수를 정의한다.

[ V(e,\Delta)=\frac12 e^{!T}e+\frac12\Delta^{!T}\Delta \qquad (9) ]

이 함수는 (e=0)이고 (\Delta=0)일 때만 0이 된다. 제어기 (8)를 적용한 오차 동역학은

[ \dot e = -K e + F(x)\Delta \qquad (10) ]

이다. 양변에 (F^{!T}

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