매끄러운 곡선과 접선 단어: 언어적 접근

매끄러운 곡선은 실수 직선 위의 컴팩트 구간 I에 정의된 C∞ 함수로, 모든 t ∈ I 에 대해 ||γ′(t)|| > 0 인 것을 의미합니다 (이 속성을 규칙성이라고 합니다). 이러한 곡선은 원하는 만큼 재매개변수화될 수 있으며, 일반적으로 각 t 에 대해 ||γ′(t)|| = 1 입니다.

이러한 곡선을 근사하기 위해 평면에 격자망을 h 크기의 사각형 그리드를 그릴 수 있습니다. 그리고 곡선이 만나는 사각형의 순서를 살펴봅니다. 격자가 일반적 위치에 있는 경우, 곡선 γ는 어떤 모서리도 맞지 않고 격자의 가로줄 또는 세로줄을 교차합니다. 따라서 곡선은 인접한 사각형으로 이동하며, 상, 하, 좌, 우 방향으로 이동할 수 있습니다. 이러한 이동 순서를 기록하고 격자에 대한 곡선 γ의 절단 순서를 해당 그리드의 알파벳 {r, u, l, d}로 표현하는 단어로 정의합니다. 여기서 r, u, l, d는 각각 우측, 상방, 좌측, 하방 이동을 나타냅니다.

예를 들어, 곡선 γ의 절단 순서가 rruuldrrrd라면, 이 단어는 곡선의 움직임을 설명하는 격자 단어입니다.

격자 크기가 작아질수록 곡선에 대한 정보는 증가하며, 격자가 0에 가까워질 때, 절단 순서의 국부 패턴은 이산적인 접선을 나타냅니다. 이러한 단어를 접선 단어라고 합니다. 접선 단어의 초기 속성은 [7]에서 설명되었습니다. 직선 세그먼트와 관련된 절단 순서는 정확히 균형 잡힌 단어이며, 또한 스톰(Sturmian) 단어의 유한 부분열입니다. 접선 단어는 균형 잡힌 단어보다 엄격하게 포함하고, 2-균형 잡힌 단어는 접선 단어에 엄격하게 포함됩니다.

목표: 이 노트의 목표는 주어진 길이의 접선 단어(또는 접선 분석 단어)의 개수를 세어 이러한 포용 관계를 정량화하는 것입니다.

접선 단어는 모든 작은 스케일에서 매끄러운 곡선의 절단 순서에서 나타나는 유한 단어입니다. 좀 더 정확히 말하면, F(γ, G)를 곡선 γ와 사각형 격자 G의 교차 지점 집합으로 정의합니다. 만약 곡선이 모서리와 맞닿으면 절단 순서는 정의되지 않으며, F(γ, G) = / 0로 설정합니다.

언어 정의:

• 매끄러운 곡선 집합 T∞: 모든 매끄러운 곡선의 집합에 대한 접선 단어를 의미하며, 이 집합은 접선 단어라고 부릅니다.
• 분석 곡선 집합 Tω: 모든 분석 곡선의 집합에 대한 접선 단어를 의미하며, 이 집합은 분석 접선 단어라고 부릅니다.

T∞와 Tω는 사실적이며 확장 가능한 언어입니다.

단순화:

본문에서는 우측과 상방으로만 이동하는 매끄러운 곡선에 초점을 맞출 것입니다. 즉, 양쪽 좌표가 모든 t에 대해 양수인 매끄러운 곡선을 의미합니다. 편의를 위해 r과 u를 0과 1로 각각 대체합니다.

[7]에서 다음과 같은 결과들이 증명되었습니다.

• 균형 잡힌 단어: 균형 잡힌 단어는 계층적인 구조를 가지며, σ₀ = (0 → 0, 1 → 10) 및 σ₁ = (0 → 01, 1 → 1) 이라는 두 모피즘이 중요한 역할을 합니다. [8]와 [5]를 참조하세요.

접선 단어에도 동일한 정규화가 적용됩니다. 유한 단어 w에 대해 다음과 같이 “탈출"할 수 있습니다.

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…