아르키메데스와 황금 왕관: 비트루비우스의 설명이 과연 효과적일까?

먼저 비트루비우스가 제3장에서 “금과 은이 섞인 것을 판별하는 방법"에 대해 쓴 내용을 살펴보자([1]). “이 임무(왕관의 내부 은 함유 여부 확인)를 맡게 된 그는 우연히 목욕탕에 갔다. 욕조에 몸을 담그자 물이 넘쳐나기 시작했다. 이 순간, 그는 해결 방법을 찾기 위해 즉시 그 방법을 따라갔고, 기쁨에 찬 마음으로 욕조에서 뛰어나와 집으로 돌아와서 옷을 벗은 채로 큰 소리로 외쳤다. ‘내가 찾던 것을 발견했다!‘는 것이다. 이후 그는 두 개의 물체를 준비했는데, 각각 무게가 왕관과 동일한 금과 은이었다. 이 물체들을 준비한 후, 그는 물이 넘치지 않도록 큰 그릇에 물을 가득 채웠다. 은으로 된 물체를 넣자 물이 그 무게에 상응하는 양만큼 넘쳤다. 물체가 꺼지자, 다시 정확히 측정하여 그릇을 원래의 물 수준까지 채웠다. 이러한 과정을 통해 그는 특정 은의 무게에 해당하는 물의 양을 알아낼 수 있었다. 그 후 금으로 된 물체를 넣었고, 물이 덜 넘치는 것을 확인했다. 이는 금의 크기가 같은 무게의 은보다 작았기 때문이다. 다시 정확히 측정하여 그릇을 채운 후, 왕관을 넣자 물이 더 많이 넘쳤다. 왕관이 물에 잠긴 후 넘쳐나는 물의 양에서 왕관을 대체로 밀어낸 물의 양보다 많은 양을 계산함으로써 그는 금과 은이 섞인 비율을 알아낼 수 있었다.”

참고문헌 3은 비트루비우스의 설명을 비판하며 단순한 물체 침하가 아닌 다른 원리를 제시한다. 이 참고문헌은 왕관의 무게를 1000그램으로 가정하고, 금의 밀도가 19.3g/cm³이므로 1000그램의 금은 부피로 환산하면 51.8cm³가 된다고 설명한다. 예시로, 금장공이 왕관 내 금의 30%(300그램)를 은으로 대체했다고 가정해보자. 은의 밀도는 10.5g/cm³이므로, 금-은 합금 왕관의 부피는 64.8cm³가 된다. 사실 이 예시에서 부피 차이는 10cm³ 이상이다. 참고문헌 3은 실험에 사용된 용기의 크기를 원반형 개구부 지름 20cm로 가정하고, 개구부의 면적 계산 후, 금으로 된 물체가 개구부 수면 위를 0.165cm 높일 것이라고 추정한다. 반면 왕관은 0.206cm의 수면 상승 효과를 보인다. 두 물체가 개구부에서 물을 밀어낸 양의 차이는 0.41mm에 불과하다. 물론 이 차이는 직접 관찰하기에는 너무 작다. 표면 장력, 물체에서 남은 물, 공기 방울 등 다른 오류 요인도 고려해야 한다.

이러한 논의 끝에, 단순 침하 방식의 측정 방법은 부적절하다고 판단된다. 그러나 비트루비우스가 설명한 방법은 단순 침하가 아닌 용기의 가장자리(labra)에서 물이 넘쳐나는 현상 및 용기 내 물 교체에 기반한다. 고전적인 대리석 용기를 상상해보면, 매끄러운 가장자리로 인해 물의 넘침을 제어하기 어렵다. 하지만 아르키메데스는 더 적합한 장치를 사용했을 것이다. 개인적으로는 왕관을 측정하는 데 사용된 도구로 물시계(clepsydra)를 추측한다(그림 1 참조). 즉, 용기 근처에 구멍이 있는 형태이다. 물시계가 왜 적합한지 기억하자면, 물시계는 시간의 흐름을 측정하기 위해 물의 흐름을 이용하는 장치이다.

물시계 실험: 아르키메데스의 방법 재현

물시계는 수천 년 동안 시간 측정의 핵심 도구였으며, 일식 시계와 함께 가장 오래된 시간 측정 기기로 알려져 있습니다. (예외는 수직 나침반과 일수 기록 막대기입니다.) [5]. 바빌로니아와 이집트에서 기원전 16세기경 가장 기본적인 물시계가 존재했음은 분명하며, 그리스인들은 이를 개선했습니다.

아르키메데스가 물시계를 어떻게 설계했는지 재현하기 위해, 저는 투명한 플라스틱 컵 두 개를 사용했습니다. 한 컵에는 구멍이 있었고, 플라스틱 고리로 고정되었습니다. 이는 물시계의 용기를 모방한 것입니다. 중량으로 납(400g)과 저울의 무게(100g)를 사용했습니다. 초기 양은 그림 3A에 표시되어 있습니다. 구멍이 있는 컵의 수위는 구멍 크기에 의해 결정됩니다. 반면에, 펜으로 왼쪽 컵의 수위를 표시했습니다. 빨간 납(중량)을 구멍이 있는 컵에 천천히 넣으면 물이 구멍을 통해 흘러나와 수위가 다시 구멍 크기에 맞춰집니다 (그림 3B).

빨간 납을 조심스럽게 제거한 후, 컵 내부에 남아있는 물은 최소화했습니다. 작은 스푼으로 왼쪽 컵의 물을 구멍이 있는 오른쪽 컵으로 옮겼고, 물방울이 구멍을 통과하기 시작했습니다 (그림 3D). 왼쪽 컵에 다시 빨간 납을 넣어 물의 양이 원래 표시된 수준으로 돌아왔는지 확인했습니다 (그림 3E, F). 납의 부피는 약 1000그램 금과 유사합니다.

이 과정을 100그램 저울(작은 중량)로 반복했습니다. 그 부피는 약 10cm³로, 왕관과 단단한 금 사이의 예상 부피 차와 일치합니다. 그림 4A에 초기 수위를 표시했습니다. 중량을 구멍이 있는 컵에 넣으면 물이 다시 구멍 크기에 맞춰질 때까지 흘러나옵니다 (그림 4B). 중량을 조심스럽게 제거하고, 남은 물을 최소화했습니다. 왼쪽 컵에서 오른쪽 컵으로 물을 스푼으로 옮겼고, 물방울이 구멍을 통과하기 시작했습니다 (그림 4C). 최종 수위를 그림 4D에 표시했습니다.

이 방법을 통해, 구멍이 있는 용기에서 흘러나온 물의 양을 측정하여 용기의 부피에서 손실된 물의 부피를 보상할 수 있습니다. 이는 비트루비우스가 설명한 물시계 측정 방법과 유사합니다. 그림 3과 4, 특히 그림 4는 아르키메데스가 비트루비우스가 보고한 방식과 유사한 방법으로 왕관과 단단한 금 사이의 부피 차를 쉽게 추정할 수 있었을 것임을 보여줍니다. 실제로 그림 4에서 약 10cm³의 부피를 명확하게 확인할 수 있으며, 몇 세제곱 센티미터의 작은 부피도 식별 가능합니다. 물론, 참조 [3]에 언급된 오류 원천이 있지만, 이러한 오류를 합리적으로 줄일 수 있습니다. 비트루비우스가 설명한 방법을 사용한 후, 아르키메데스는 아마도 왕관의 밀도를 결정하기 위해 갈릴레오가 제안한 보다 정교한 저울을 사용하는 방법으로 넘어갔을 가능성이 높습니다.

번역본:

컵의 높이가 낮아졌습니다 (C). 작은 숟가락을 사용하여 왼쪽 컵에서 오른쪽 컵으로 물을 옮깁니다. 물방울이 구멍 (D)을 통과할 때까지 이 과정을 반복합니다. 왼쪽에 있는 물이 오른쪽으로 거의 동일하게 옮겨졌는지 확인하기 위해 저울추를 왼쪽 컵에 삽입합니다. 물의 수위가 원래 표시된 수준 (E, F)으로 돌아온 것을 볼 수 있습니다. 두 컵의 초기 물 수위는 패널 A에 표시되어 있습니다. 무게(동전)를 구멍이 있는 컵에 넣으면 물이 구멍을 통해 흘러나와 다시 구멍에 의해 결정되는 수준 (B)에 도달합니다. 컵에서 무게를 조심스럽게 제거하여 물이 남지 않도록 합니다. 오른쪽 컵의 수위가 낮아졌습니다. 작은 숟가락을 사용하여 왼쪽 컵에서 구멍이 있는 컵으로 물을 옮깁니다. 물방울이 구멍을 통과할 때까지 (C) 이 과정을 반복합니다. 왼쪽에 있는 물이 오른쪽으로 거의 동일하게 옮겨졌는지 확인하기 위해 무게를 왼쪽 컵에 삽입합니다. 물의 수위가 다시 원래 표시된 수준 (D)으로 돌아온 것을 확인할 수 있습니다.