브루어 고정점 정리의 새로운 접근: 근사 고정점과 순차적으로 가장 큰 값이 하나인 조건

브루어 고정점 정리의 건설적 증명

브루어 고정점 정리는 건설적으로 증명될 수 없다는 것은 잘 알려진 사실이다.1 그러나 브루어를 증명하는 데 사용되는 스퍼너의 함수는 건설적으로 증명이 가능하다. 일부 저자들은 스퍼너의 함수를 사용하여 브루어의 정리의 근사 버전을 제시했다.8, 9를 보라. 따라서 브루어 고정점 정리는 비슈피처 수학에 따라 건설적으로, 즉 근사 버전으로 증명된다.

또한,8에서 달렌은 다음과 같은 추측을 제시한다. 단순 연결된 메트릭 공간 X에 대해, 각 점 x에 대해 열린 집합이 x = f(x)를 만족시키며 |x - f(x)| > 0이고 또한 X의 경계에 있는 모든 점 x에 대해 x = f(x)가 성립하는 일관적으로 연속적인 함수 f는 정확한 고정점을 갖는다. 이 노트에서는 달렌의 추측에 대한 부분적인 답변을 제공한다.

최근2에서는 브루어 팬 정리와 동등한 다음 정리가 증명되었다.

각 일관성 있게 연속적인 함수 ϕ: X → X (X는 컴팩트 메트릭 공간)에 대해, 최대 하나 또는 근사 고정점을 가지며, 다음과 같은 성질을 만족한다면 ϕ는 고정점을 갖는다. 참조로 [1]에서 순차적으로 가장 큰 값이 하나일 때 함수의 개념을 사용함으로써, 우리는 ϕ가 순차적으로 가장 큰 값이 하나인 더 강한 조건을 요구하며, 다음 결과를 보여준다.

각 일관성 있게 연속적인 함수 ϕ: X → X에 대해, 순차적으로 가장 큰 값이 하나이고 근사 고정점을 가지면, ϕ는 고정점을 갖는다 (팬 정리가 필요 없다).7에서 오레코프는 단위 사각형에서 자기 자신으로 매핑되는 계산 가능하게 코딩된 연속 함수 f를 구성했다. 이 함수는 사각형의 각 계산 가능한 점에 대해 정의되며, 계산 가능한 고정점이 없다. 그의 맵은 계산 가능한 요소들을 경계로 후퇴시키고 경계를 회전시키는 것으로 구성된다.5에서 히스트가 지적했듯이, 사각형에 대한 후퇴가 없기 때문에 그의 맵은 전체 확장이 불가능하다.

다음 섹션에서는 우리 정리 및 증명을 제시한다. 3번째 섹션에서는 두 사람 제로섬 게임의 미니맥스 정리의 응용을 고려한다.

점 p를 컴팩트 메트릭 공간 X에 두고, 일관성 있게 연속적인 함수 ϕ: X → X를 생각해보자.8, 9에 따르면 ϕ는 근사 고정점을 갖는다. 즉, 각 ε > 0에 대해 p ∈ X가 존재하여 |p - ϕ(p)| < ε이다.

함수 ϕ이 가장 큰 값이 하나임을 정의하면 다음과 같다:

정의 1 (최대값이 하나) 모든 p, q ∈ X에 대해, p = q이면 ϕ(p) = p 또는 ϕ(q) = q이다.

다음으로, [1]에서 순차적으로 가장 큰 값이 하나인 개념을 참조하여, 함수가 순차적으로 가장 큰 값이 하나임을 정의하면 다음과 같다:

정의 2 (순차적으로 가장 큰 값이 하나) 모든 시퀀스 (p n) n ≥ 1, (q n) n ≥ 1가 X에 존재하고, |ϕ(p n) - p n| → 0 및 |ϕ(q n) - q n| → 0가 결국 서로 가까워지는 의미에서 수렴한다면, 즉 |p n - q n| → 0이라면, ϕ은 순차적으로 가장 큰 값이 하나이다.

다음은 다음 명제이다.

명제 1 각 일관성 있게 연속적인 함수 ϕ: X → X에 대해, 순차적으로 가장 큰 값이 하나이고 근사 고정점을 가지면, ϕ는 고정점을 갖는다.

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…