세포 구 구조의 분해: 순서대수적 접근

구(球) 구조는 세 가지 요소 B = (X, P, B)로 구성된 집합으로, X와 P는 비공허 집합이며, 모든 x ∈ X와 α ∈ P에 대해 *B(x, α)*는 x 주위의 반지름 α의 구(球)를 나타내는 X의 부분집합입니다. 모든 x ∈ X에 대해 *x ∈ B(x, α)*가 성립하도록 가정합니다. X는 B의 지지 집합(support)로, P는 반지름 집합이라고 합니다.

어떤 x ∈ X와 비공허 부분집합 A ⊆ X, 그리고 α ∈ P가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족하는 구 구조 B = (X, P, B)를 구(ball) 구조 또는 거친 구조(coarse structure)라고 합니다:

• 모든 α, β ∈ P에 대해 *α’*와 β’ ∈ P가 존재하여, ∀x ∈ X에 대해 B(x, α) ⊆ B(x, *α’)*와 B(x, β) ⊆ *B(x, *β’)*입니다.

• 모든 α, β ∈ P에 대해 γ ∈ P가 존재하여, ∀x ∈ X에 대해 *B(B(x, α), β) ⊆ B(x, γ)*입니다.

구 구조 B1 = (X1, P1, B1)와 B2 = (X2, P2, B2)가 주어졌다면, f: X1 → X2를 > 매핑(≺-mapping)이라고 합니다. 만약 f와 그 역함수 f^-1이 모두 > 매핑이라면, B1과 B2는 상응(asymorphic)하다고 합니다. X1 = X2이고, 단위 원시 매핑 id: X1 → X2가 대응이라면, B1과 B2를 동일시하고 B1 ≡ B2라고 표기합니다.

구(ball) 구조에 대한 연구 동기는 [1], [2], [3], [4]를 참조하십시오.

모든 미적 공간 (X, d)는 메트릭 구 구조 B(X, d) = (X, R+, Bd)를 결정하는데, 여기서 *R+*는 비음실수 집합이며, *cf(B)*는 자연스러운 사전순서를 사용하여 정의됩니다. 부분집합 *P’*가 P의 공분할(cofinal) 하위집합이면, 모든 α ∈ P에 대해 *α’ ∈ P’*가 존재하여 *α ≤ α’*가 성립합니다. 따라서 *cf(B)*는 P의 공분할 하위집합의 최소 카드인수입니다. 구 구조 B = (X, P, B)가 주어졌을 때, x, y ∈ X와 α ∈ P에 대해 x와 y가 α-경로 연결(α-path connected)하면, x0, x1, …, xn, x0 = x, xn = y는 x에서 y로 가는 길이 n의 유한 시퀀스이며, 각 *xi+1 ∈ B(xi, α)*가 성립합니다.

어떤 x ∈ X와 α ∈ P에 대해 (X, d)가 울트라메트릭 공간(ultrametric space)이면, 구 구조 *B(X, d)*는 세포(cellular)입니다. 또한, [3, Theorem 3.1]에 따르면, 구 구조 B는 메트릭 구 구조 *B(X, d)*와 동형(homeomorphic)인 경우에만 메트릭화(metrizable)되고 세포가 됩니다.

예시 2. 무한 그룹 G를 고려하고, 정체원 e를 포함하며, |G|보다 작은 무한 카드 κ를 선택합니다. 그리고 *F(G, κ) = {A ⊆ G: e ∈ A, |A| < κ}로 정의합니다. 어떤 g ∈ G와 *A ∈ F(G, κ)가 주어졌을 때, B(g, A) = gA로 구 구조 *B(G, κ) = (G, *F(G, κ), B)를 정의합니다. *κ = |G|*인 경우, *B(G)*로 표기합니다. 구 구조 *B(G, κ)는 κ > ℵ0 또는 κ = ℵ0이고 G가 국소 유한(locally finite)한 경우 세포입니다.

모든 보울린 그룹 이상(Boolean group ideal) ℑ에 대해, 구 구조 *B(G, ℑ) = (G, ℑ, B)를 정의할 수 있으며, 여기서 B(g, A) = gA 모든 g ∈ G, A ∈ ℑ에 대해 성립합니다. 그룹의 보울린 그룹 이상으로 결정된 구 구조는 (참조 [3, 6항]) 군의 위상(topologies)의 근사(asymptotic)로 간주될 수 있습니다. 구 구조 *B(G, ℑ)는 ℑ가 부분 집합으로 구성된 하위집합 기반(base)을 가질 때 세포입니다.

연결된 구 구조 B = (X, P, B)는 공분할(cofinal)한 순서대수(ordinal) 부분집합 P‘를 포함하는 경우 순서대수 구 구조라고 합니다. 모든 메트릭화 가능한 구 구조는 명백히 순서대수입니다.

정리 1. 순서대수 구 구조 B = (X, P, B)가 주어졌다면, B는 메트릭화 가능하거나 세포 중 하나입니다.

증명. cf(B) ≤ ℵ0인 경우, B는 [3, Theorem 2.1]에 따라 메트릭화 가능합니다. cf(B) > ℵ0이라고 가정합니다. 어떤 α ∈ P에 대해, 순서대로 선택된 시퀀스 (αn)n∈ω를 P에서 정의하고, *B(B(x, αn), α) ⊆ B(x, αn+1)*가 모든 x ∈ X에 대해 성립하도록 합니다. cf(B) > ℵ0이므로, 이러한 시퀀스를 선택할 수 있습니다.

오르더 γ를 정의하고, {Zλ: λ < γ}를 비공허 집합의 가족으로 선택합니다. 각 λ < γ에 대해, eλ ∈ Zλ로 고정하고, 모든 하지만 유한한 λ < γ에 대해서는 f(λ) = eλ인 함수 f: {λ: λ < γ} → ∪ λ<γ Zλ를 고려합니다. 이 함수로 구 구조 B(Z) = (Z, {λ: λ < γ}, B)를 정의할 수 있습니다. *B(Z)*는 세포인 것을 쉽게 확인할 수 있습니다.

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…