그래프 변환을 위한 구조적 작동 의미론: SOS‑스타일 접근과 “행동 보완성” 개념

📝 Abstract

Process calculi and graph transformation systems provide models of reactive systems with labelled transition semantics. While the semantics for process calculi is compositional, this is not the case for graph transformation systems, in general. Hence, the goal of this article is to obtain a compositional semantics for graph transformation system in analogy to the structural operational semantics (SOS) for Milner’s Calculus of Communicating Systems (CCS). The paper introduces an SOS style axiomatization of the standard labelled transition semantics for graph transformation systems. The first result is its equivalence with the so-called Borrowed Context technique. Unfortunately, the axiomatization is not compositional in the expected manner as no rule captures “internal” communication of sub-systems. The main result states that such a rule is derivable if the given graph transformation system enjoys a certain property, which we call “complementarity of actions”. Archetypal examples of such systems are interaction nets. We also discuss problems that arise if “complementarity of actions” is violated.

💡 Analysis

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📄 Content

Bliudze, S., Bruni, R., Carbone, M., Silva, A. (Eds.); ICE 2011
EPTCS 59, 2011, pp. 37–51, doi:10.4204/EPTCS.59.4

그래프 재작성에 대한 구조적 작동 의미론 ∗

Andrei Dorman
Dip. di Filosofia, Università Roma Tre
LIPN – UMR 7030, Université Paris 13
andrei.dorman@lipn.univ-paris13.fr

Tobias Heindel
LIPN – UMR 7030, Université Paris 13
tobias.heindel@lipn.univ-paris13.fr

프로세스 계산법과 그래프 변환 시스템은 라벨이 붙은 전이 의미론을 갖는 반응형 시스템 모델을 제공한다. 프로세스 계산법에 대한 의미론은 합성적(compositional)인 반면, 일반적인 그래프 변환 시스템에 대해서는 그렇지 않다. 따라서 본 논문의 목표는 Milner의 Communicating Systems (CCS) 에 대한 구조적 작동 의미론(SOS)과 유사하게 그래프 변환 시스템에 대한 합성적 의미론을 얻는 것이다.

논문은 그래프 변환 시스템에 대한 표준 라벨 전이 의미론을 SOS 스타일로 공리화한다. 첫 번째 결과는 이 공리화가 Borrowed Context(BC) 기법과 동등함을 보인다. 안타깝게도, 기대했던 방식대로 합성적이지는 않다. 즉, “내부” 서브시스템 간의 통신을 포착하는 규칙이 존재하지 않는다. 주요 결과는 그래프 변환 시스템이 **행동의 상보성(complementarity of actions)**이라는 특정 성질을 만족할 경우, 그러한 규칙을 유도할 수 있음을 보여준다. 전형적인 예로 interaction nets가 있다. 또한, 행동의 상보성이 위배될 때 발생하는 문제점도 논의한다.

핵심어: 프로세스 계산법, 그래프 변환, 구조적 작동 의미론, 합성적 방법

1. 서론

프로세스 계산법은 인터랙티브 시스템을 기술하는 핵심 도구 중 하나이다. 대표적인 예가 Milner의 π‑계산법과 그보다 더 기본적인 **Communicating Systems (CCS)**이다. 이들 계산법의 의미론은 라벨 전이 시스템(LTS)으로 주어지며, 이는 구조적 작동 의미론(SOS) 형태로 기술될 수 있다. SOS의 장점은 시스템 검증을 위한 합성적 방법과 결합할 수 있다는 점에 있다([17] 참고).

다른 “비표준” 프로세스 계산법에 대한 LTS 의미론을 개발하는 데 영감을 준 분야는 그래프 변환이다. 여기서는 “반응 규칙”으로부터 LTS 의미론을 유도하는 기법이 개발되었으며([16, 7]), 이 기법들의 가장 큰 강점은 결과 행동 동등성이 문맥 독립적이며 실제로 **동형(congruence)**이라는 점이다. 또한, 이러한 기법은 ambient calculus에 대한 독창적인 LTS 의미론을 제공했으며([15, 3]), 이 역시 SOS 형태로 제시된다. 특히, ambients의 특수 경우에서 SOS 스타일 제시는 [16, 7]의 라벨 유도 기법을 넘어선다.

하지만, 그래프 변환 시스템에 대한 표준 LTS는 **“단일체(monolithic)”**라는 특성을 가지고 있어, 일반적인 합성적 의미론을 얻는 것이 어려운 것이 현실이다. 본 논문에서는 CCS‑유사 그래프 변환 시스템에 대해 부분적인 해결책을 제시한다. 핵심 아이디어는 CCS에서 각 행동 α가 동기화될 수 있는 공동 행동(co‑action) α̅를 갖는 것과 유사하게, 그래프 변환 규칙마다 각 (하이퍼)‑엣지에 고유한 공동 엣지를 할당할 수 있는 시스템을 고려하는 것이다. 자연스러운 예가 Lafont가 제시한 interaction nets이다([11, 1]). 실제로, 본 논문의 동기 중 하나는 interaction nets에 대한 SOS 의미론을 도출하는 것이다.

2. 논문의 구조와 내용

1. 섹션 2에서는 그래프 변환의 기본 개념과 Borrowed Context (BC) 기법을 (하이퍼)‑그래프 변환의 특수 경우에 한해 소개한다.
2. 섹션 3에서는 CCS와 BC 사이의 유사성을 최대한 형식화하기 위해 SOSBC 시스템을 정의한다. 이는 BC 기법을 처음 접하는 독자에게 새로운 관점을 제공한다. 또한, SOSBC는 모든 전이가 “기본” 행동과 어떤 문맥으로 분해될 수 있음을 강조한다. 현재는 CCS의 통신 규칙에 해당하는 부분이 없으며, 이는 섹션 4에서 다룬다.
3. 섹션 4에서는 두 상태가 공유하는 인터페이스를 갖는 경우, 두 라벨 전이를 어떻게 동기화된 하나의 전이로 결합할 수 있는지를 살펴본다. 여기서는 **행동의 상보성(complementarity of actions)**이라는 충분조건을 제시한다. 이러한 조건을 만족하는 시스템은 LTS 내에서 자연스럽게 “행동의 상보성”이라는 개념을 갖는다.

3. 사전 지식

3.1 하이퍼그래프와 하이퍼그래프 사상

집합 Λ와 연관된 arity 함수 ar : Λ → ℕ가 주어지면, (Λ‑라벨) 하이퍼그래프는 튜플 G = (E, V, ℓ, cnct) 로 정의된다. 여기서

• E는 (하이퍼)‑엣지들의 집합,
• V는 정점(노드)들의 집합,
• ℓ : E → Λ는 라벨링 함수,
• cnct는 각 엣지 e ∈ E에 대해 incident vertices의 문자열(유한 시퀀스) cnct(e) = v₁·…·vₙ을 반환한다.

엣지 e의 라벨 ℓ(e) 의 arity는 ar(ℓ(e)) = n 이며, 이는 cnct(e) 의 길이와 일치한다. 정점 v ∈ V의 차수 deg(v)는 v에 incident한 엣지의 개수이다.

두 하이퍼그래프 G₁, G₂에 대해 사상 f : G₁ → G₂는 함수쌍 f = (f_E, f_V) 로 정의되며, 라벨 보존 ℓ₂ ∘ f_E = ℓ₁와 연결 보존 cnct₂(f_E(e)) = f_V(v₁)·…·f_V(vₙ ) 을 만족한다. 사상이 단사, 전단사, 혹은 포함인지 여부는 f_E와 f_V의 성질에 따라 결정된다.

3.2 교차와 합집합(풀백·푸시아웃)

다음 정의들은 하이퍼그래프의 **교차(intersection)**와 **합집합(union)**을 형식화한다.

• 교차는 두 포함 G₁ → G₃ ← G₂에 대해 pullback을 구성하여 얻는다.
• 합집합은 겹치지 않는(non‑overlapping) 포함 G₁ ← G₀ → G₂에 대해 pushout을 이용한다.

이러한 연산은 이후 이중 푸시아웃(DPO) 기반 그래프 변환과 Borrowed Context 기법을 정의하는 데 필수적이다.

3.3 그래프 변환 규칙과 시스템

규칙(스킴) ρ = (L ← I → R) 은 겹치지 않는 두 포함으로 이루어진다. 그래프 A 가 L 의 부분그래프라면, 규칙 ρ 는 A를 **삭제(D)**하고, 빈 공간을 R 로 채워 B 로 변환한다. 중간 그래프 I 는 L과 R 사이의 연결 정보를 기억한다.

그래프 변환 시스템(GTS) 은 라벨 집합 Λ와 규칙 집합 R 의 쌍 S = (Λ, R) 로 정의된다.

3.4 Borrowed Context(BC) 라벨 전이 의미론

BC 기법은 DPOBC 라는 라벨 전이 시스템을 만든다. 상태는 인터페이스 J → G (포함)이며, 라벨은 두 개의 포함 J → F ← K 으로 표현된다. 전이는 다음과 같은 BC‑다이어그램이 존재할 때 정의된다.

   D ──► L ──► I ──► R
   │      │      │      │
   ▼      ▼      ▼      ▼
   G ──► Gc ──► C ──► H
   J ──► F ──► K

이 다이어그램은

1. 최소 컨텍스트 J → F 가 L의 일부를 완성하도록 하고,
2. 실제 반응이 일어나면 (위쪽 두 사각형) 그래프가 변형되며,
3. pullback을 통해 새로운 인터페이스 K 가 결정된다.

BC 라벨은 “새로운” 반응을 가능하게 하는 최소한의 컨텍스트를 캡처한다는 점에서 중요한 의미를 가진다.

4. 삼층 구조 SOS 의미론

4.1 기본 행동 공리

표 1에 제시된 Basic Action 공리들은 각 변환 규칙 L ← I → R 에 대해 가능한 부분 그래프 D ⊆ L 를 “행동”으로 본다. D와 그 보완 b_D L (= L \ D) 가 각각 전제와 공동 행동을 제공한다. 예를 들어, 규칙 α/β 에서는 엣지 α와 β 가 각각 기본 행동을 만든다.

4.2 컨텍스트와 제한(Narrowing)

컨텍스트 C = J → E ← J′ 은 두 포함으로 이루어지며, 상태 J → G 에 적용하면 pushout을 통해 새로운 상태 J′ → G′ 을 만든다.

제한(Narrowing) 은 형태가 J → J ← J′ 인 특수 컨텍스트이다. 라벨 J → F ← K 에 대해 pushout complement가 존재하면, 라벨을 C‑narrowed 라벨 J′ → F′ ← K′ 으로 변환한다. 이는 CCS에서의 (ν a) 제한 연산과 대응된다.

4.3 호환 컨텍스트와 병렬 합성

호환 컨텍스트 C = J → E ← J 는 단조(monotone)(J → J)이며, 라벨 J → F ← K 에 대해 비억제(non‑inhibiting) 조건을 만족하면 pushout 두 개를 이용해 다이어그램을 구성할 수 있다.

이러한 컨텍스트와 라벨을 cospan combination 으로

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