링크 편향 전략을 통한 네트워크 형성 게임: 임의의 차수 분포를 갖는 안정 그래프 구축

📝 Abstract

We show a simple method for constructing an infinite family of graph formation games with link bias so that the resulting games admits, as a \textit{pairwise stable} solution, a graph with an arbitrarily specified degree distribution. Pairwise stability is used as the equilibrium condition over the more commonly used Nash equilibrium to prevent the occurrence of ill-behaved equilibrium strategies that do not occur in ordinary play. We construct this family of games by solving an integer programming problem whose constraints enforce the terminal pairwise stability property we desire.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 네트워크 과학에서는 실제 시스템에서 관찰되는 스케일프리, 소규모 세계 등 다양한 토폴로지를 설명하려고 한다.
• 기존 모델들은 플레이어들의 목표 함수가 차수(k_i)를 직접 최소화/최대화하도록 가정했으며, 이는 현실적인 “정확히 k_i개의 링크를 원한다”는 전제와는 거리가 있다.
• 링크 편향(특정 파트너와의 연결을 선호하거나 회피하는 성향)을 도입하면, 플레이어가 링크 자체보다는 상대방과의 비용/이익 관계에 따라 행동하게 할 수 있다. 이는 실제 소셜 네트워크(예: Facebook 친구 요청)와 더 잘 맞는다.

2. 핵심 모델

• 제약식 (3) 은 대칭성(x_{ij}=x_{ji})와 안정성(ψ와 x의 관계)을 동시에 만족하도록 만든다.
• 제약식 (5) 에는 목표 차수 시퀀스 k 를 추가하여, 원하는 차수 분포를 정확히 구현한다.

3. 정수계획을 통한 비용 행렬 설계

1. 가능한 ψ 찾기: 제약식 (5)를 만족하는 ψ가 존재하면, 바로 비용 행렬 C를 (4)와 같이 정의할 수 있다 (c_{ij} = -1 if ψ_{ij}=1, else +1).
2. ψ가 존재하지 않을 경우: 차수 제약을 완화하고 ℓ₁ 거리 최소화(Manhattan norm) 목표로 하는 정수선형계획 (8)을 풀어 가장 근접한 그래프를 찾는다.
3. 해석: 최적해 x*는 주어진 차수 시퀀스 k와 ℓ₁ 거리에서 최소 차이를 보이며, 동시에 (3)의 안정성 제약을 만족한다.

4. 실험 및 결과

• 예시: 35개의 노드에 대해 파워‑라 법칙 형태의 차수 분포를 목표로 설정.
• 정수계획 해결 후 얻은 그래프(그림 2)는 목표 차수와 매우 근접한 실제 차수 분포(그림 3)를 보여준다.
• 표 I 은 실제 비용 행렬 C에서 c_{ij}=1인 (비이익) 쌍을 나열해, 어떤 링크가 비용을 발생시키는지 명시한다.

5. 주요 기여

• 링크 편향을 통한 일반화: 차수 목표를 직접 코딩하지 않아도, 비용 행렬만 적절히 설계하면 임의의 차수 분포를 구현할 수 있다.
• 쌍별 안정 사용: Nash 균형이 초래할 수 있는 비현실적인 전략을 배제하고, 실제 네트워크 형성에서 관찰되는 “상호 동의” 메커니즘을 모델링한다.
• 정수선형계획 기반 설계 프레임워크: 차수 제약과 안정성 제약을 동시에 만족시키는 비용 행렬을 체계적으로 찾을 수 있는 알고리즘을 제공한다.

6. 한계 및 향후 연구 방향

7. 결론 요약

• 링크 편향을 도입한 네트워크 형성 게임은 임의의 차수 분포를 안정적으로 구현할 수 있는 강력한 설계 도구이다.
• 쌍별 안정이라는 현실적인 균형 개념을 사용함으로써, 기존 Nash 기반 모델이 갖는 비현실성을 극복한다.
• 정수선형계획을 통한 비용 행렬 설계는 이론적 타당성뿐 아니라 실제 구현 가능성을 보여준다.
• 향후 연구에서는 비대칭 비용, 리소스 제약, 동적 진화 등을 포함한 확장 모델과 대규모 실증 검증이 필요하다.

📄 Content

링크 편향 전략을 이용한 네트워크 형성 게임

저자
샤운 리히터·테리 프리즈
산업·제조공학부, 펜실베니아 주립대학
이메일: {tlf13, sml310}@psu.edu

크리스토퍼 그리핀
응용연구실, 펜실베니아 주립대학
이메일: griffinch@ieee.org

초록

우리는 **링크 편향(link bias)**을 갖는 무한히 많은 그래프 형성 게임을 구성하는 간단한 방법을 제시한다. 이 게임들은 임의로 지정한 **정도 분포(degree distribution)**를 갖는 그래프를 쌍별 안정(pairwise stable) 해로 허용한다. 일반적으로 많이 사용되는 내시 균형(Nash equilibrium) 대신 쌍별 안정을 균형 조건으로 채택한 이유는, 일반적인 플레이에서는 나타나지 않는 비정상적인 균형 전략들의 발생을 방지하기 위함이다. 우리는 원하는 터미널 쌍별 안정성을 보장하도록 제약을 두고, 이를 정수 계획법(integer programming) 으로 풀어 해당 게임군을 구성한다.

I. 서론

네트워크 과학(Network Science) 분야는 주로 실제 세계 네트워크에서 관찰되는 **위상적 특성(예: 스케일 프리성)**의 설명과 분석에 전념해 왔다[1]–[4]. 최근에는 이러한 위상적 특성이 불변의 물리 법칙이 아니라 최적화 과정의 결과일 수 있다는 주장에 관심이 모아지고 있다[5]. Doyle 등은 통신망이나 인터넷과 같은 네트워크가 엔지니어에 의해 목표와 제약을 가지고 설계된다고 지적한다[5]. 물론 전체 네트워크를 한 사람이 완전히 통제하는 경우는 드물지만, 설계자의 영향 없이 네트워크가 자연스럽게 진화한다는 가정도 현실과는 거리가 있다.

각 응용 분야마다 네트워크 구조는 **물리적 제약(장비의 허용 오차·사양)**을 만족해야 한다. 예를 들어, 월드 와이드 웹에서는 하나의 웹 페이지가 수십억 개의 연결을 가질 수 있지만, 협업 네트워크나 도로망에서는 그런 높은 차수가 현실적으로 불가능하다. 네트워크 구조는 기능, 진화, 견고성에 큰 영향을 미치며, 실제 네트워크는 단일 혹은 다수의 경쟁·협력 에이전트가 네트워크 구조와 기능을 제약·목표의 일부분으로 고려하면서 국소적으로 최적화한 결과로 나타난다.

최근에는 게임 이론적 관점에서 네트워크 형성을 모델링한 연구가 활발히 진행되고 있다[6]–[9]. 특히 [10]에서는 임의의 차수열 (k=(k_1,\dots ,k_n)) 을 갖는 안정적인 그래프를 생성하는 게임이 존재함을 보였다. 그러나 그 모델은 플레이어가 목표 차수 (k_i) 근처에서 최소값을 갖는 볼록 목적함수를 가진다는 가정을 필요로 한다. 실제 상황에서는 플레이어가 정확히 원하는 연결 수를 미리 알지 못하고, 목표 차수는 다른 요인에 의해 내생적으로 결정되는 경우가 많다.

본 논문에서는 플레이어의 링크 편향(link bias), 즉 특정 연결을 다른 연결보다 선호하는 정도를 모델에 도입한다. 링크 편향을 포함하면 정도 분포를 정확히 코딩하지 않아도 임의의 차수 분포를 갖는 안정적인 그래프를 얻을 수 있다.

II. 모델

노드 집합을 (N={1,2,\dots ,n}) 로 두고, 여기서 (n) 은 고정된 정수라고 가정한다. 두 노드 사이의 **링크(link)**는 (N) 의 크기 2인 부분집합이다. 그래프 (g) 는 임의의 링크 집합이며, 완전 그래프 (g^c) 는 (N) 의 모든 2-원소 부분집합을 포함한다. 모든 가능한 그래프들의 집합을

[ G={g\mid g\subseteq g^c} ]

라 정의한다.

네트워크 형성 게임에서 각 노드가 하나의 플레이어가 된다. 링크 편향은 플레이어 (i) 가 비용 함수

[ f_i(g)=\sum_{j}c_{ij}x_{ij} \tag{1} ]

을 가진다고 가정함으로써 도입한다. 여기서

[ x_{ij}= \begin{cases} 1 & \text{if there is a link between } i \text{ and } j \text{ in } g,\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \tag{2} ]

이다.

플레이어의 전략은 비용을 최소화(또는 이익을 최대화) 하기 위해 어느 노드와 연결할지를 결정하는 것이다. [7]에 따라 두 플레이어 i와 j 사이에 링크가 존재하려면 양쪽 모두 연결을 원해야 한다. 즉, 한 플레이어는 일방적으로 링크를 거부할 수 있다. 이는 페이스북의 친구 추가 정책이나 링크드인에서의 연결 정책과 일맥상통한다.

A. 안정성

그래프 (g) 의 가치(value) 를 (v:G\to\mathbb{R}) 로 두고, 모든 가능한 가치 함수들의 집합을 (\mathcal{V}) 라 한다. 배분 규칙 (Y:\mathcal{V}\times G\to\mathbb{R}^n) 은 그래프 (g) 에서 발생한 전체 가치 (v(g)) 를 각 에이전트에게 나눠준다. 에이전트 (i) 가 받는 배분을 (Y_i(v,g)) 로 표기한다. 배분 규칙은 균형(balanced) 이어야 하므로

[ \sum_i Y_i(v,g)=v(g)\qquad\forall (v,g)\in\mathcal{V}\times G ]

를 만족한다. 본 논문에서는

[ Y_i(v,g)=-f_i(g) ]

로 정의하고, 가치 함수 (v) 를 균형을 보장하도록 암묵적으로 설정한다.

Jackson·Wolinsky[7]는 내시 균형 대신 쌍별 안정(pairwise stability) 을 사용해 네트워크의 안정성을 정의한다.

정의 1. 그래프 (g) 와 가치 함수 (v), 배분 규칙 (Y) 가 주어졌을 때, 쌍별 안정이란 다음 두 조건을 동시에 만족하는 경우이다.

1. 모든 존재하는 링크 (ij\in g) 에 대해 (Y_i(v,g)\ge Y_i(v,g-ij)).
2. 존재하지 않는 링크 (ij\notin g) 에 대해, 만약 (Y_i(v,g+ij)>Y_i(v,g)) 이면 (Y_j(v,g+ij)<Y_j(v,g)).

위 정의에 (Y_i(v,g)=-f_i(g)) 를 대입하면, 플레이어 i 가 j 와 연결했을 때 비용이 감소((c_{ij}<0))하면 이익을 얻고, 비용이 증가((c_{ij}>0))하면 손해를 본다는 의미가 된다. (c_{ij}=c_{ji}=0) 인 경우는 연결이 양쪽 모두에 영향을 주지 않는다는 의미이며, 이를 방지하기 위해 링크 절약(link parsimony) 을 가정한다. 즉, 양쪽 모두 이익을 얻을 때만 링크가 형성된다고 본다.

정의 2. 비용 행렬 (C=(c_{ij})) 에 대해, 그래프 (g) 가 쌍별 안정이려면 다음을 만족해야 한다.

1. 모든 존재하는 링크 (ij\in g) 에 대해 (c_{ij}<0) 그리고 (c_{ji}<0).
2. 존재하지 않는 링크 (ij\notin g) 에 대해, 만약 (c_{ij}\ge0) 이면 반드시 (c_{ji}\le0).

비용 행렬의 구성

우리는 정수 계획법을 이용해 임의의 차수열 (k=(k_1,\dots ,k_n)) 을 갖는 쌍별 안정 그래프를 만들 수 있는 비용 행렬 (C) 를 찾는다.

정의 3. (\psi) 를 0·1 행렬이라 하고,

[ \psi_{ij}= \begin{cases} 1 & \text{if player } i \text{ benefits from link } ij;(c_{ij}<0),\ 0 & \text{otherwise } (c_{ij}\ge0). \end{cases} \tag{3} ]

(\psi) 는 비용 행렬 (C) 의 불리언 매핑이다.

정리 5 (Lemma 5). 그래프를 나타내는 이진 변수 집합 (x=\langle x_{ij}\rangle) 가 대칭적이며 쌍별 안정이 되려면 다음 제약을 만족해야 한다.

[ \begin{aligned} &x_{ij}=x_{ji} &&\forall i,j\ &\psi_{ij}+\psi_{ji}-1\le x_{ij} &&\forall i,j\ &x_{ij}\le\psi_{ij} &&\forall i,j\ &x_{ij}\le\psi_{ji} &&\forall i,j\ &x_{ij},\psi_{ij}\in{0,1} &&\forall i,j \end{aligned} \tag{4} ]

위 제약은 대칭성과 안정성을 각각 보장한다.

위 제약이 실현 가능(feasible) 하면, (\psi) 로부터 비용 행렬을 다음과 같이 간단히 만들 수 있다.

[ c_{ij}= \begin{cases} -1 & \psi_{ij}=1\ ;1 & \psi_{ij}=0 \end{cases} \tag{5} ]

B. 차수 제약을 만족하는 비용 행렬 찾기

(\psi) 가 존재하지 않을 경우, (\ell_1) 거리(Manhattan norm)에서 차수열과 가장 가까운 그래프를 찾기 위해 다음 정수 선형 계획을 푼다.

[ \begin{aligned} \min;&\sum_i e_i\ \text{s.t. } &\Bigl|\sum_{j\neq i}x_{ij}-k_i\Bigr|\le e_i &&\forall i\ &x_{ij}=x_{ji} &&\forall i<j\ &\psi_{ij}+\psi_{ji}-1\le x_{ij} &&\forall i,j\ &x_{ij}\le\psi_{ij},;x_{ij}\le\psi_{j

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