젠 퍼즐 가든의 복잡성: NP 완전성 증명

젠 퍼즐 가든(ZPG)은 2차원 격자 상에서 진행되는 단축 플레이어 퍼즐 게임으로, 모래, 바위 또는 통행 가능한 사각형들로 구성된 정사각형 그리드인 ‘가든’ 위에서 움직이는 수도승 캐릭터를 중심으로 합니다 [5]. 게임의 목표는 수도승 캐릭터를 통해 모든 모래 사각형을 통과시키는 것입니다. 통행 가능한 사각형에서는 자유롭게 이동할 수 있으며, 모래 사각형에 있는 동안에는 폰 노이만 이웃(대각선 이동은 허용되지 않음) 내에서만 움직일 수 있습니다. 모래 사각형을 한 번 통과하면 수도승은 직선을 유지하며 다른 모래 사각형, 통행 가능한 사각형 또는 바위에 부딪힐 때까지 계속 이동합니다. 또한, 모래 사각형에서 움직일 때 회전은 불가능합니다.

실험적으로 연구된 바 있지만 [1], ZPG의 복잡성에 대한 공식적인 증명은 지금까지 존재하지 않았습니다. 본 논문에서는 ZPG의 솔브 가능성 결정이 NP-완전하다는 것을 증명합니다.

정리 1: 젠 퍼즐 가든 인스턴스의 솔브 가능성 결정은 NP-완전입니다.

[2]를 참조하여, 다음과 같은 NP-완전한 문제에서 감소를 수행합니다 [4]; 주어진 입방형 그래프에 하밀턴 회로가 존재하는지 여부입니다. 즉, 우리는 ZPG 가든을 설계하여 임의의 입방형 그래프를 대응시키는 방식으로, 해당 그래프가 하밀턴 회로를 포함하는지 여부에 따라 가든의 솔브 가능성을 결정할 수 있음을 보여줍니다.

엘스비어(Elsevier)에 2018년 9월 3일 사전 제출.

입방형 그래프 G를 격자에 그리는 과정은 항상 그래프의 크기에 제곱한 면적을 가진 격자로 수행될 수 있습니다 [3]. 그 후, 다음과 같이 격자를 ZPG 가든으로 변환합니다. 격자의 각 사각형은 7x7 타일로 변환되며, 이 타일은 바위, 모래 또는 통행 가능한 사각형들로 구성됩니다. 각 타일은 직선, 모서리 또는 그래프의 노드(3개의 인접한 가장자리) 중 하나입니다. 그림 2는 첫 두 타일의 예시이며, 필요에 따라 회전할 수 있습니다.

노드 타일은 다음과 같이 설계되어 있습니다. 처음 덮히는 모래 사각형은 항상 나머지 모래 사각형들을 덮고 시작 노드로 다시 나올 수 있는 위치로 연결됩니다 (그림 3 참조).

그림 4는 입방형 그래프와 해당 ZPG 표현의 예시입니다. 시작 노드는 빨간색으로 표시되며, 하밀턴 회로는 굵은 선으로 표시되었습니다.

ZPG 표현에서 시작 노드는 두 개의 타일로 구성됩니다; (3,6)과 (3,5) 위치에 있는 타일이며, 상단 타일은 통행 가능한 사각형들로 이루어져 있으며 수도승이 초기 위치에 배치됩니다. 하단 타일은 “게이트웨이” 타일로, 그림 4 하단에 표시된 것처럼 노드 타일을 수정하여 두 개의 상단 바위를 모래로 변경한 것입니다. 첫 번째 덮히는 모래 사각형은 이 두 중 하나여야 하며, 마지막 방문 모래 사각형은 다른 하나가 되어야 합니다. 이를 통해 시작 노드로의 출구와 재입구가 가능해집니다. 모든 다른 노드는 한 번씩만 통과해야 하므로, 가든의 솔브는 그래프의 하밀턴 회로를 제공합니다.

[3]에 따르면, n개의 노드를 가진 평면 그래프는 O(n^2) 크기의 격자로 표현될 수 있으며, 이 격자 실현은 O(n log n) 시간 내에 계산될 수 있습니다. 따라서 그래프에서 ZPG 가든으로의 매핑은 다항 시간입니다. 솔브가 주어지면, 이는 다항 시간 내에 쉽게 확인할 수 있습니다. 왜냐하면 솔브는 해당 가든보다 크지 않기 때문입니다. 이를 통해 ZPG가 NP-완전하다는 것이 증명됩니다.