확률적 우주: A.M. 마타이 교수의 75번째 생일

A.M. 마타이 교수는 1970년대에 물리학을 위한 확률 및 통계 연구 프로그램을 시작했습니다. 그는 정보 이론과 엔트로피 함수(제이니스, 샤논, 볼츠만-기브스), 통계와 물리학에서 발생하는 정규 분포(가우스, 맥스웰-볼츠만), 일반화된 하이퍼지수 함수를 이용한 무작위 변수의 통계적 특성화 등 세 권의 연구 단행본을 출판했습니다 (아래 그림 참조).

과거 수세기 동안 수학 및 물리학 간의 놀라운 연관성이 존재했습니다 (Manin, 1981; Rompe & Treder, 1979). 수학은 이론 물리학의 발전이나 물리학에서 발생하는 문제에 영향을 주었고, 반대로 물리학의 이론과 실험은 수학과 통계학의 발전을 촉진했습니다. 특수 함수에 대한 물리학의 역사는 이러한 발전을 보여주는 증거입니다.

고전적인 수학의 분과는 기하학, 대수학, 분석으로 나뉩니다. 기하학은 다양한 구조로 구성된 점들의 공간을 연구합니다. 분석은 시간에 따라 변화하는 물리적 양을 설명할 수 있는 함수와 그 도함수를 다룹니다. 대수학은 구성 법칙을 따르는 일련의 물체들을 처리합니다. 아직 수학 논리 내에서 논쟁의 대상이 되는 제4의 분과가 있습니다: 확률 이론과 통계 추론, 이는 과학 모델의 기초로 자주 사용됩니다 (Uffink, 2007). 카를 프리드리히 폰 웨이즈아커 (2006)는 그의 획기적인 연구 물리의 구조에서 물리학은 적어도 네 가지 수학의 분과로부터 일반 자연 법칙을 도출한다고 설명합니다: (i) 함수 군, (ii) 미분 방정식, (iii) 극한 원리, (iv) 대칭군. 이러한 일반 법칙은 특수 및 일반 상대성이론 (Greene, 2000)과 양자 (장) 이론 (Veltman, 2003)에서 발견되고 공식화되었습니다. 그러나 통계 물리학은 아직 일반적으로 받아들여지는 형식적 공리계를 개발하지 못했습니다, 특히 통계 열역학과 비평형 시스템의 확률 이론에 관해서는 더욱 그렇습니다 (Ebeling & Sokolov, 2005). 마타이 교수의 연구 프로그램은 이러한 맥락에서 다음과 같은 기여를 합니다: (i) 표준 및 분산 미분 방정식, 반응, 확산, 반응-확산, (ii) 엔트로피, 분포, 베타-1, 베타-2, 감마 가족의 분포로 가는 경로, (iii) 분산 이론과 확률 계산 사이의 연결.

물리와 수학의 상호작용에 관해서는 20세기의 예로 일반 상대성이론의 리만 기하학 및 양자 역학의 함수 분석에 미치는 영향이 있습니다. 아인슈타인은 1915년에 일반 상대성을 완성했습니다. 반면, 양자 장 이론은 디랙에 의해 1927년에 기초를 닦은 이후 오랜 기간 동안 개방된 전선으로 남아있었습니다 (Heisenberg 및 Schrödinger의 양자 역학에 대한 근본적인 발견에 기반). 이는 약 80-85년 전의 일입니다. 다음 50년 동안 이론 물리학 및 수학 사이에 거의 상호작용이 없었습니다. 수학은 더욱 추상적인 성취를 추구했고, 양자 장 이론은 상당히 형식적으로 공식화되었습니다. 그러나 1970년대 중반에 비아블한 게이지 이론이 양자 장 이론으로 등장하면서 상황이 바뀌었습니다 (Greene, 2000).

일반적으로 인정받는 바에 따르면, 20세기 물리학의 두 가지 근본 이론은 일반 상대성이론과 양자 장 이론입니다. 일반 상대성이론은 거시 우주 규모의 중력력을 설명합니다 (Greene, 2000), 반면 양자 장 이론은 원자 수준에서 기본 입자의 상호작용, 전자기력, 강한 힘, 약한 힘을 설명합니다 (Veltman, 2003). 두 이론 사이에는 여전히 일관성 문제가 존재합니다. 공식적 양립화…

일반 상대성 이론의 결과는 무한한 수학적 공식으로 이어진다. 아인슈타인은 특수 상대성과 뉴턴의 중력 사이의 불일치를 해결하기 위해 일반 상대성 이론을 고안했다(Pais, 1982). 양자장 이론은 맥스웰의 전자기학과 특수 상대성을 비양자 역학 메커니즘과 조화시키려는 시도로 발명되었다(Hoffmann, 2010). 그러나 접근 방식에는 두 가지 뚜렷한 차이가 있었다. 아인슈타인의 ‘사고 실험’은 일반 상대성 이론의 발견으로 이어졌는데, 여기서는 논리적 틀이 먼저 구축되었다. 이후 리만 기하학에서 일반 상대성 이론의 올바른 수학적 틀이 발견되었다. 반면 양자장 이론 개발 과정에서는 사전에 개념적 기반이 없었고, 실험적 단서가 중요한 역할을 했지만, 수학적 모델은 존재하지 않았다. 현재까지도 문자 그대로의 양자화(formal quantization)를 추구하는 중이며, 성공한다면 21세기 물리학에서 혁명을 일으킬 수 있을 것이다.

또 다른 21세기 혁명은 맥스웰, 볼츠만, 지브스의 통계역학을 넘어서는 새로운 통계역학의 발전일 수 있다. 비평형 시스템의 확률 이론을 위한 물리적 이론의 필요성을 고려할 때(Prigogine, 1980; Ebeling & Sokolov, 2005), 프랙탈 미분방정식의 해답에 H-함수가 핵심적인 역할을 하는 등 리우빌, 마스터, 포크너-플랑크, 반응-확산과 같은 유형의 확률적 프랙탈 미분방정식을 해결하는 수학적 도구가 제공된다(Mandelbrot, 1981; Klages 외, 2008; Honerkamp, 1994; Tsallis, 2009). 이 맥락에서 마타이(Mathai)는 그의 연구 프로그램에서 중요한 기여를 했다. 그러나 프랙탈 시간과 공간 미분 및 적분 개념의 물리적 해석은 아직 발견되지 않았고, ‘열역학에 대한 슈뢰딩거 방정식’이라는 프리고진의 언급에서 알 수 있듯이, 엔트로피 함수들을 완전히 포괄하는 마스터 방정식의 형태라면, 기반이 될 수 있는 잠재적인 물리 이론도 아직 발견되지 않았다. H-함수와 프랙탈 미분은 이미 알려진 공간-시간 패턴 형성 방정식에 잘 맞는 것으로 보이며, 이는 비평형 시스템에 대한 완전한 수학 및 물리학 이론의 핵심 요소이다.

마타이의 오랜 교수법과 연구 경력에서 도출된 많은 구체적인 결과들은 최근 그의 지도하에 출판된 두 권의 책에 자세히 소개되어 있다.