보렐 집합의 시그마 동질성: 새로운 이해

arXiv:1102.3252v1 [math.LO] 2011년 2월 16일

요약: 본 논문은 보렐 집합의 특정 성질에 대한 긍정적인 답변을 제공합니다. 즉, 칸토어 집합 C의 어떤 보렐 부분 집합도 계수 가능한 수의 쌍집으로 분리될 수 있는 h-동질 부분 공간들의 합으로 표현될 수 있는가 하는 질문에 답합니다. 이 결과는 모든 보렐 집합 X ⊂ ℝ^n이 Gδ 집합인 계수 가능한 수의 h-동질 부분 공간들로 분할될 수 있음을 함의합니다.

본 논문에서는 실수, 이산적 수, 합리적 수, 칸토어 집합을 각각 R, P, Q, C로 표기합니다. 0차원 토폴로지 공간 X가 h-동질이라고 정의됩니다. 즉, 모든 비공허 클로프 열분 X의 U에 대해 U와 X가 홈모르프인 경우입니다. 더 자세한 h-동질 공간의 토폴로지적 성질은 [5], [6], [7], [12]를 참조하십시오.

메트릭 공간 X가 계수 가능한 수의 h-동질 부분 공간들의 합으로 표현될 때, 이를 시그마 동질(σ-homogeneous)이라고 정의합니다. 각 Xi \ Xj는 Xj 내의 열분이며, 이는 Xi 내에서 클로프 집합입니다. 따라서 공간 X ⊂ C는 시그마 동질과 동등하게 계수 가능한 수의 쌍집으로 분리될 수 있는 h-동질 부분 공간들로 분할될 수 있습니다.

칸토어-벤디크스 정리에 따르면, C의 모든 닫힌 부분 집합 F는 시그마 동질입니다. C의 보렐 부분 집합에 대한 이 주장의 유효성을 묻는 질문은 [8, p.228]에서 제기되었습니다. 다음 정리는 이러한 질문에 긍정적인 답변을 제공합니다.

정리 1: 모든 보렐 집합 X ⊂ C는 시그마 동질 공간입니다.

증명: [9, 정리 7]에서 증명했듯이, C의 모든 π₀² 집합(그리고 모든 σ₀² 집합)은 다음과 같은 열분으로 표현될 수 있습니다:

(a) 단말 집합 (b) 칸토어 집합 C (c) 이산적 수 집합 P

C와 P의 토폴로지적 성질에 따르면, 이들은(그리고 단말 집합) h-동질입니다.

2000년 수학 분류: 주제 54H05, 03E15. 보조 주제 03E60, 28A05.

키워드 및 구문: 보렐 집합, h-동질 공간, 와지 분류.

σ-동질성(σ-Homogeneity)의 보렐 집합(Borel Set)

따라서, 우리는 Xγ₀에서 닫힌(clopen) 부분집합 T1을 포함하는 첫 번째 범주의 집합 Y1 = Y \ T1를 갖습니다. 만약 Y1가 특정 클래스 Γα₁의 일부이고, α₁ < β라면, 우리는 1.1과 같은 과정을 반복할 수 있습니다. 명백히, 이 방법을 통해 우리는 모든 곳에서 첫 번째 범주에 속하고, 어디서나 γβ ∩ ˇγβ인 부분공간 T를 얻게 됩니다. 이는 Keldysh, Harrington 및 Steel의 정리에 따라 h-동질(h-homogeneous)입니다.

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…