파라콤팩트 공간에서의 비닝과 크라신키에비치 맵: 새로운 접근법

1. 도입 및 배경

본 논문에서는 파라콤팩트 공간에서 비닝(Bing) 및 크라신키에비치(Krasinkiewicz) 맵에 관한 결과를 증명하기 위한 새로운 접근법을 제시합니다. 이 접근법은 Pasynkov가 [10] 및 [11]에서 개발한 기법에 기반을 두고 있습니다.

비닝 맵과 크라신키에비치 맵은 최근 몇 년간 활발하게 연구되어 왔으며, 관련 문헌으로는 [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [13], [14] 등이 있습니다.

기억하실 필요가 있는 점으로, 컴팩트 공간 사이의 맵 f 가 모든 섬유가 비닝 공간인 경우 f 는 비닝 맵이라고 합니다. 여기서 컴팩트움은 각 부분 연속체가 불분해 가능한 경우 비닝 공간입니다. Krasinkiewicz의 정의에 따르면, 공간 M 은 자유 공간(free space)이 만약 어떤 컴팩트움 X 에 대해 함수 공간 C(X, M) 에 Bing 맵으로 구성된 밀집 부분 집합이 존재하면 됩니다. 자유 공간 클래스는 매우 크고, 모든 n차원 맨들(n ≥ 1), 단위 간격, 모든 국소 유한 다면체, Menger 큐브 M^2n+1 또는 Nöbeling 공간 N^2n+1을 모델링한 공간, 그리고 모든 1차원 국소 연결 연속체를 포함합니다.

2. 주요 결과

다음 정리는 [13, Theorem 1.2]의 증명에서 파생됩니다. 이 정리는 X와 Y가 메트릭 가능할 때의 특수한 경우를 다루었습니다.

정리 1.1: M 이 자유 ANR 공간이고, f: X → Y 가 완벽 맵(perfect map)이며, W(f) ≤ ℵ0인 경우, X 와 Y 가 파라콤팩트라면, 모든 g ∈ C(X, M) 에서 g|f-1(y), y ∈ Y 가 비닝 맵을 구성하는 밀집 부분 집합 B ⊂ C(X, M) 가 소스 제한 토폴로지에 대해 존재합니다. 또한, Y 가 첫 번째 수열 가능할 경우 B 는 Gδ입니다.

여기서 W(f) ≤ ℵ0 (Pasynkov [10] 참조)는 g: X → Iℵ0 와 같은 맵이 존재하여 f △ g: X → Y × Iℵ0 가 포함 함수임을 의미합니다. 예를 들어, [10, Proposition 9.1]에 따르면, X 가 메트릭 가능하고 모든 섬유 f-1(y), y ∈ Y 가 분해 가능하면 W(f) ≤ ℵ0 입니다.

비록 [13]의 논증이 완벽 맵 f 가 그렇지 않거나 M 이 ANR가 아닌 경우에도 적용되지 않지만, 다음 결과는 유효합니다:

정리 1.2: X 와 Y 가 파라콤팩트 공간이고, f: X → Y 가 섬유가 컴팩트한 맵이며, W(f) ≤ ℵ0인 경우, 모든 자유 컴팩트 공간 M 에 대해 함수 공간 C(X, M) (일치 수렴 토폴로지에 대해)는 비닝 맵으로 구성된 밀집 부분 집합 g 를 포함합니다.

3. 크라신키에비치 맵에 대한 결과

크라신키에비치 맵에 관한 결과도 제시됩니다. 공간 M 은 크라신키에비치 공간이라고 합니다. 만약 어떤 컴팩트움 X 에 대해 함수 공간 C(X, M) 에 크라신키에비치 맵으로 구성된 밀집 부분 집합이 존재한다면, M 을 크라신키에비치 공간이라고 합니다. 여기서 g: X → M 이 컴팩트한 X 에 대한 크라신키에비치 맵이라는 것은 X 의 모든 연속체가 g 의 섬유 내에 포함되거나 g 의 섬유 구성 요소에 포함되어야 한다는 것을 의미합니다. 크라신키에비치 공간 클래스는 유클리드 맨들, Menger 또는 Nöbeling 공간을 모델링한 맨들, 모든 다면체 (필요 없이 컴팩트), 그리고 컴팩트 기저를 가진 원통 등 다양한 공간을 포함합니다.

정리 1.3: f: X → Y 가 섬유가 컴팩트하고, W(f) ≤ ℵ0인 경우, 컴팩트 크라신키에비치 공간 M 에 대해 함수 공간 C(X, M) (일치 수렴 토폴로지에 대해)는 크라신키에비치 맵으로 구성된 밀집 부분 집합 g 를 포함합니다.

부록:

…(본문이 길어 생략되었습니다. 전체 내용은 원문 PDF를 참고하세요.)…