📝 Abstract

We consider principal pivot transform (pivot) on graphs. We define a natural variant of this operation, called dual pivot, and show that both the kernel and the set of maximally applicable pivots of a graph are invariant under this operation. The result is motivated by and applicable to the theory of gene assembly in ciliates.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 피벗 연산은 Tucker가 제시한 행렬의 부분적 역전 연산으로, 선형대수·수치해석·수학 최적화 등 다양한 분야에서 활용된다.
• 그래프 이론에서는 F₂(두 원소 체) 위의 대칭 행렬(인접 행렬)로 그래프를 표현함으로써 피벗을 그래프 변환으로 해석할 수 있다.
• 섬모충(ciliate) 유전자 조립은 DNA 서열이 복잡한 재배열 과정을 겪으며, 이를 그래프·문자열 모델로 기술하는 연구가 활발히 진행되고 있다. 기존 모델에서는 피벗이 핵심 연산으로 등장하지만, “최대 피벗”의 구조적 불변성은 아직 밝혀지지 않았다.

2. 핵심 개념 정의

📄 Content

arXiv:0909.3789v3 [math.CO] 2010년 10월 14일
그래프상의 최대 피벗과 유전자를 조립하는 응용
Robert Brijder∗, Hendrik Jan Hoogeboom
네덜란드 레이든 대학교 고등 컴퓨터 과학 연구소

초록

우리는 그래프에 대한 주축 피벗 변환(Principal Pivot Transform, 이하 피벗)을 다룬다. 이 연산의 자연스러운 변형인 듀얼 피벗을 정의하고, 그래프의 커널과 최대 적용 가능한 피벗 집합이 이 연산에 대해 불변임을 보인다. 이 결과는 섬모충( ciliates)에서의 유전자 조립 이론에 동기를 부여하고 적용 가능하다.

키워드: 주축 피벗 변환, 대수 그래프 이론, 오버랩 그래프, 섬모충의 유전자 조립

1. 서론

튜커[Tucker]가 제안한 피벗 연산은 주어진 행렬을 부분적으로(성분별로) 역전한다. 이 연산은 수학적 최적화, 수치 해석 등 다양한 분야에 자연스럽게 나타나며, 이에 대한 종합적인 조사와 설문은 [17]을 참고한다.
특히 F₂(두 원소 체) 위에서 그래프를 다룰 때 피벗 연산은 행렬·그래프 해석[11]뿐 아니라 델타 매트로이드[1]와도 연결된다.

본 논문에서는 듀얼 피벗을 정의한다. 듀얼 피벗은 일반 피벗과 그래프에 미치는 효과는 동일하지만 적용 가능 조건이 다르다. 주요 결과는 동일한 듀얼 피벗 궤도에 있는 두 그래프는 같은 최대 피벗 군을 가진다(정리 16)이다. 이는 행렬·그래프·델타 매트로이드 각각의 관점을 결합하여 얻은 결과이다.

이 연구는 섬모충에서의 유전자 조립 이론[9]에 의해 동기가 부여되었다(섹션 7). 유전자 조립 맥락 없이 보면 정리 16은 기존 피벗 문헌에 거의 언급되지 않은 놀라운 사실이다. 그러나 문자열 기반 유전자 조립 모델[4]의 직관과 일치한다. 여기서는 전혀 다른 대수적 기법을 사용해 이를 증명한다.

2. 표기법 및 용어 정의

• F₂ : 두 원소를 갖는 체(0, 1). 여기서 덧셈은 XOR(⊕), 곱셈은 AND(∧)와 동일하게 동작한다.

• 집합 시스템 : 튜플 M = (V, D), 여기서 V는 유한 집합, D⊆2^V는 V의 부분집합들의 모임이다.

  • min(D), max(D) : 각각 포함 관계에 대한 최소·최대 원소들의 집합.
  • min(M) = (V, min(D)), max(M) = (V, max(D)) 로 표기한다.

• V‑행렬 : V×V 차원의 행렬 A. 행·열의 인덱스는 V의 원소와 일대일 대응한다. 예를 들어 V = {p,q}일 때

  [ \begin{pmatrix} 1 & 1\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{와}\quad \begin{pmatrix} 1 & 0\ 1 & 1 \end{pmatrix} ]

  은 같은 행렬이다(행·열 순서를 바꾸었을 뿐).

• 주축 부분행렬 A[X] : X⊆V에 대해 A의 행·열을 X에 제한한 X×X 행렬.

• A\X : A[V\X] 를 의미한다.

• 행렬식(det), 역행렬(A⁻¹) 등은 V×V 행렬에 대해 정의된다. 관례적으로 det(A[∅]) = 1 로 둔다.

• 의존 집합 : X⊆V가 A의 열들 중 선형적으로 의존하면 X를 의존 집합이라 한다.

• PA = (I, D) : 2^V 를 독립 집합 I와 의존 집합 D 로 분할한 쌍. ∅∈I이며, max(I) 를 A의 기저(basis) 라고 부른다.

• 그래프 : 무방향 그래프이며, 평행(다중) 간선은 허용하지 않지만 루프는 허용한다.

  • G = (V, E) 라고 하면 V(G)=V, E(G)=E 로 표기한다.
  • x∈V에 대해 {x}∈E이면 x는 루프를 가진다.
  • X⊆V에 대해 유도 서브그래프 G[X] 를 정의한다.

• 인접 행렬 A(G) : V×V 행렬로, a_{u,v}=1 ⇔ {u,v}∈E. 루프는 대각 원소가 1인 경우와 대응한다.

• 커널(ker) : 행렬 A의 영공간. F₂ 위에서는 커널의 원소를 V의 부분집합으로 본다.

  • E₀(A) : 고유값 0에 대한 고유공간, 즉 ker(A).
  • E₁(A) : 고유값 1에 대한 고유공간, {v∈V | Av = v}.

• PG = (I, D) : 그래프 G에 대한 행렬(또는 매트로이드) 분할.

  • X∈D ⇔ ∃ S⊆X, S∈ker(G){∅}.
  • min(D)=min(ker(G){∅})이며, ker(G)는 ⊕-연산에 대해 min(D)의 폐포이다.

  Corollary 1 : 두 그래프 G₁, G₂에 대해 ker(G₁)=ker(G₂) ⇔ G₁과 G₂의 기저 집합이 동일하다.

3. 피벗(Pivot)

3‑1. 행렬적 정의

V×V 행렬 A와 X⊆V (A[X]가 비특이, 즉 det A[X]≠0) 에 대해 피벗 A∗X 를 다음과 같이 정의한다[18].

[ A= \begin{pmatrix} P & Q\ R & S \end{pmatrix}, \qquad P=A[X] ]

[ A∗X= \begin{pmatrix} P^{-1} & -P^{-1}Q\ RP^{-1} & S-RP^{-1}Q \end{pmatrix}. ]

여기서 S−RP^{-1}Q는 슈어 보완(Schur complement) 라고 불린다.

피벗은 부분 역전(partial inverse) 로 해석될 수 있다. 실제로 다음 특성 방정식이 성립한다.

[ \begin{pmatrix} x_{1}\ x_{2} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} y_{1}\ y_{2} \end{pmatrix} ;\Longleftrightarrow; A∗X \begin{pmatrix} y_{1}\ x_{2} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x_{1}\ y_{2} \end{pmatrix} \tag{1} ]

det A≠0이면 A∗V = A⁻¹ 가 된다. 식 (1) 로부터 피벗은 자기역(Involution) 임을 알 수 있다.

Proposition 2([18]) :
X⊆V, det A[X]≠0 일 때, 모든 Y⊆V에 대해

[ \det\bigl(A∗X\bigr)[Y]=\frac{\det A[X\oplus Y]}{\det A[X]}. ]

특히 Y = V\X이면 이는 슈어 행렬식 공식이며, 1917년 Issai Schur가 처음 제시하였다[16].

대칭 행렬에 대해서는 피벗 연산이 그래프를 다시 그래프로 만든다. 따라서 이후부터는 그래프에만 초점을 맞춘다.

3‑2. 델타 매트로이드 관점

집합 시스템 M = (V, D) 에 대해 X⊆V에 대해 트위스트 M∗X = (V, D∗X) 로 정의한다. 여기서

[ D∗X={,Y\oplus X\mid Y\in D,}. ]

그래프 G에 대해

[ M_G=(V(G),,D_G),\qquad D_G={,X\subseteq V(G)\mid \det G[X]=1,}. ]

이때 G는 M_G 로부터 복원 가능하다(루프와 일반 간선의 존재 여부는 D_G 에서 바로 판정된다).

Proposition 2 를 이용하면 F₂ 위에서

[ M_G∗X = M_{G∗X} ]

가 된다. 즉, 피벗 연산은 집합 시스템의 트위스트와 동일하게 동작한다.

델타 매트로이드는 교환성(exchange property) 를 갖는 특수한 매트로이드이며, 모든 델타 매트로이드가 그래프에 대응되는 것은 아니다[2].

3‑3. 그래프적 정의 (Elementary Pivots)

MG의 최소 원소(∅을 제외)들은 초기 피벗(elementary pivot) 으로 불리며, 이는 두 종류가 있다.

1. 루프 피벗 ∗{u} : 정점 u가 루프일 때 적용. 이는 지역 보완(local complementation) 으로, u의 이웃(N_G(u)) 내부의 모든 간선을 보완한다.

2. 간선 피벗 ∗{u,v} : u와 v가 모두 루프가 아닌 경우, {u,v}를 간선 보완(edge complementation) 으로 바꾼다. 구체적으로는

   • N′_G(u)=N_G(u)∪{u},  N′_G(v)=N_G(v)∪{v} 로 정의하고,
   • V₁=N′_G(u)\N′_G(v),  V₂=N′_G(v)\N′_G(u),  V₃=N′_G(u)∩N′_G(v) 로 구분한다.

   그 후 서로 다른 집합 V_i, V_j (i≠j) 사이의 모든 간선을 토글한다(존재하면 삭제, 없으면 추가).

이러한 초보 피벗들을 조합하면 임의의 피벗 G∗X 를 만들 수 있다.

4. 듀얼 피벗(Dual Pivot)

정의

그래프 G에 대해 G + I 를 인접 행렬에 단위 행렬 I 를 더한 그래프라 하자(즉, 루프와 비루프를 서로 바꾼다).

Definition 6 : X⊆V 가 det\bigl((G+I)[X]\bigr)=1 을 만족하면, 듀얼 피벗

[ \overline{G}!*X ;=; \bigl((G+I)!*X\bigr)+I ]

를 정의한다. 여기서 (G+I)∗X 는 일반 피벗이며, 마지막에 다시 I 를 더해 원래 형태로 되돌린다.

듀얼 피벗은 피벗을 I와의 합성(conjugation) 으로 보는 관점이며, 피벗과 마찬가지로 자기역이다.

핵심 성질

• Lemma 5 : A[X]가 비특이이면 A와 A∗X는 고유값 1에 대한 고유공간이 동일하다(E₁(A)=E₁(A∗X)).

• Lemma 7 : 위 Lemma을 이용하면,

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