뇌 신호의 희소 연결성을 모델링한다 – EEG/MEG을 위한 새로운 SCSA 기법

📝 Abstract

We propose a novel technique to assess functional brain connectivity in EEG/MEG signals. Our method, called Sparsely-Connected Sources Analysis (SCSA), can overcome the problem of volume conduction by modeling neural data innovatively with the following ingredients: (a) the EEG is assumed to be a linear mixture of correlated sources following a multivariate autoregressive (MVAR) model, (b) the demixing is estimated jointly with the source MVAR parameters, (c) overfitting is avoided by using the Group Lasso penalty. This approach allows to extract the appropriate level cross-talk between the extracted sources and in this manner we obtain a sparse data-driven model of functional connectivity. We demonstrate the usefulness of SCSA with simulated data, and compare to a number of existing algorithms with excellent results.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 필요성

• 볼륨 전도 문제: EEG/MEG 센서는 두개골 외부에 위치해, 각 센서가 뇌 전체의 신호를 선형적으로 혼합한다. 이 즉시적인 혼합은 전통적인 상관·인과 분석에서 거짓 연결성을 유발한다.
• 기존 접근법의 한계
  • Imaginary‑part 기반 방법은 실수 성분을 무시하지만, 실제 신호의 복잡한 동시성(coupling)을 충분히 포착하지 못한다.
  • 소스 로컬라이제이션 + 전통적 MVAR은 역문제(inverse problem) 해결에 큰 불확실성을 내포한다.
  • ICA 기반 방법은 소스 독립성을 전제로 하는데, 뇌 네트워크는 본질적으로 상관된 활동을 보인다.

따라서 볼륨 전도와 상관된 소스 간 인과관계를 동시에 모델링하면서 희소성을 가정하는 새로운 프레임워크가 요구된다.

2. 핵심 아이디어와 모델 구조

📄 Content

모델링 희소 연결성: 뇌 내부 소스 간의 연결을 EEG/MEG에 적용하기
Stefan Haufe, Ryota Tomioka, Guido Nolte, Klaus‑Robert Müller, Motoaki Kawanabe

초록

우리는 EEG/MEG 신호에서 기능적 뇌 연결성을 평가하기 위한 새로운 기법을 제안한다. Sparsely‑Connected Sources Analysis (SCSA) 라는 이름의 이 방법은 다음과 같은 요소들을 결합함으로써 부피 전도(volume conduction) 문제를 극복한다.

1. EEG는 다변량 자기회귀(MVAR) 모델을 따르는 상관된 소스들의 선형 혼합이라고 가정한다.
2. 혼합 해제(demixing)와 소스 MVAR 파라미터를 동시에 추정한다.
3. Group Lasso 페널티를 사용해 과적합을 방지한다.

이 접근법은 추출된 소스들 사이의 적절한 수준의 교차-talk을 추출하고, 이를 통해 기능적 연결성의 희소하고 데이터‑구동적인 모델을 얻는다. 시뮬레이션 데이터를 이용해 SCSA의 유용성을 입증하고, 기존 여러 알고리즘과 비교하여 우수한 성능을 보였다.

I. 서론

A. 기능적 뇌 연결성

신경 연결성 분석은 뇌의 전반적인 작동 원리를 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다. 지난 20년간 신경영상(neuroimaging)과 수학적 모델링 분야의 비약적인 발전 덕분에 이러한 분석이 가능해졌다. 현재는 다양한 영상 기법이 존재하여, 서로 다른 공간·시간 스케일에서 뇌 역학을 모니터링할 수 있다.

동시다발적으로 기록된 여러 시계열이 각각 다른 뇌 영역의 신경 활동을 반영한다면, 두 영역 사이에 시간 지연된(time‑lagged) 유의미한 영향이 발견될 때 기능적(과제‑관련) 연결, 혹은 본 논문에서는 정보 흐름(information flow) 혹은 **(인과) 상호작용(causal interaction)**이라고 부른다. 이러한 영향을 정량화하기 위해 다양한 지표가 제안되었으며, 대부분은 교차 스펙트럼(예: coherence, phase slope index[1])이나 자기회귀 모델(예: Granger causality[2], directed transfer function[3], partial directed coherence[4,5]) 형태로 표현된다.

B. EEG·MEG에서의 부피 전도 문제

EEG와 MEG에서는 센서가 두개골 밖에 배치되므로 부피 전도(volume conduction) 문제가 발생한다. 즉, 각 센서는 하나의 뇌 부위만을 측정하는 것이 아니라, 뇌 전체에서 발생한 신호들의 **선형 중첩(linear superposition)**을 포착한다. 이러한 혼합은 데이터에 순간적인 상관관계를 도입하여, 전통적인 분석 방법이 **거짓 연결성(spurious connectivity)**을 검출하게 만든다[6].

저자 소속

• S. Haufe, K‑R. Müller: 베를린 공과대학교, 독일
• R. Tomioka: 도쿄대학, 일본
• G. Nolte, M. Kawanabe: 프라운호퍼 FIRST 연구소, 베를린, 독일

C. 기존 소스 연결성 분석 방법들

최근에야 부피 전도 효과를 고려한 EEG/MEG 연결성 분석 방법들이 제시되었다. 이들 방법은 크게 다음과 같이 구분된다.

1. 센서 간 연결성 추정

   • 교차 스펙트럼의 실수부는 순간 효과에 영향을 받지만, **허수부(imaginary part)**는 그렇지 않다. 따라서 허수부만을 이용하면 부피 전도에 강인한 전통적 결합 지표들을 만들 수 있다[1,6].

2. 혼합 과정 역전

   • 혼합을 역전시켜 얻은 소스 추정값에 표준 연결성 지표를 적용한다. 이 범주는 다시
     (i) 소스 로컬라이제이션 접근법(EEG/MEG 역문제 해법)
     (ii) 통계적 가정에 기반한 방법
     (iii) 두 접근을 결합한 방법
     으로 나뉜다.

   • (i)‑type 방법은 예를 들어 [7,8]에서 다루어진다.

   • (ii)‑type 방법은 물리적 전방 모델을 명시적으로 역전할 필요가 없으므로 매력적이다. 대신 소스와 (de‑)mixing 변환을 동시에 추정한다. 이때 **가정(assumption)**을 어떻게 설정하느냐가 핵심이며, 이는 쉽지 않은 선택이다.

1) 선형 분해 기법: PCA와 ICA

다변량 데이터에 대한 가장 대표적인 선형 분해 기법은 **주성분 분석(PCA)**과 **독립 성분 분석(ICA)**이다. 그러나 이 두 방법은 각각 EEG/MEG 연결성 분석 목표(ICA의 독립성 가정) 혹은 **EEG/MEG 물리학(PC의 직교성 가정)**과 상충한다. 그럼에도 불구하고, 보다 정교한 형태로 활용되어 의미 있는 EEG/MEG 분해가 이루어졌다.

예를 들어, [10]에서는 **MVAR 모델의 잔차(residual)**가 순간적인 상관이 없을 경우 비가우시안이라는 가정 하에 ICA를 적용한다. 이때 MVAR‑ICA 접근법은 센서 공간 MVAR 모델을 먼저 적합하고, 그 잔차에 즉시 ICA를 수행한다.

2) 본 연구의 차별점

본 논문에서는 **시간 영역 컨볼루션 ICA(temporal‑domain convolutive ICA)**를 이용해 MVAR 소스 모델의 혼합 행렬과 MVAR 계수를 한 번에 추정한다. 또한 Group Lasso 페널티를 도입해 **뇌 연결성의 희소성(sparsity)**을 사전 정보(prior)로 반영한다.

• **희소성(prior)**은 실제 뇌 네트워크가 제한된 수의 영역만이 강하게 상호작용한다는 신경생리학적 가정에 기반한다.
• 기존 MVAR‑ICA에서는 볼륨 전도 때문에 MVAR 계수가 희소하다고 가정하기 어렵다.

II. 희소성을 포함한 연결된 소스 분석(Connected Sources Analysis with Sparsity Prior)

A. 인과적 상호작용을 위한 MVAR

자기회귀(AR) 모델은 시계열 간의 Granger‑causal 관계를 정의하는 데 널리 사용된다. Granger는 두 모델을 비교한다. 하나는 zi와 zj의 과거값을 모두 사용하고, 다른 하나는 zi만 사용하는 모델이다. 만약 zj의 포함이 예측 오차를 감소시키면 zj → zi 방향의 인과적 정보 흐름이 존재한다고 판단한다[2].

하지만 **공통 교란 변수(z*)**에 의해 두 시계열이 동시에 영향을 받는 경우, 잘못된 인과관계가 검출될 수 있다. 따라서 **전체 시계열 집합 {z1,…,zM}**을 모두 모델에 포함시키는 것이 바람직하다.

다변량 자기회귀(MVAR) 모델을 전체 데이터에 한 번에 적합하면 pairwise 분석보다 효율적이며, Granger‑causal 추정은 MVAR 계수를 통해 수행된다[5,12].

B. 상관된 소스 모델

본 논문에서는 EEG/MEG 신호를 인과적으로 상호작용하는 소스로 분해하는 방법을 제안한다. 모델은 [10]과 동일하게 설정한다.

[ \begin{aligned} \mathbf{x}(t) &= \mathbf{M},\mathbf{s}(t) \quad\text{(1)}\ \mathbf{s}(t) &= \sum_{p=1}^{P}\mathbf{H}(p),\mathbf{s}(t-p) + \boldsymbol{\varepsilon}(t) \quad\text{(2)} \end{aligned} ]

• (\mathbf{x}(t)) : 시점 (t)에서 측정된 EEG/MEG 신호 (D 차원)
• (\mathbf{M}) : 볼륨 전도를 나타내는 혼합 행렬 (D×D, 가역)
• (\mathbf{s}(t)) : 분리된 소스 신호 (D 차원)
• (\mathbf{H}(p)) : (p) 시점 지연에 대한 MVAR 계수 행렬
• (\boldsymbol{\varepsilon}(t)) : 혁신(innovation) 혹은 잔차

혁신 (\boldsymbol{\varepsilon}(t))는 **시간적으로 i.i.d.**이며 비가우시안이라고 가정한다. 이는 고차 통계량에 기반한 Blind Source Separation (BSS) 기법을 적용할 수 있게 한다.

위 모델에서 센서와 소스의 수가 동일하고 (\mathbf{M})이 가역이라고 가정한다. 센서가 소스보다 많을 경우, 사전 PCA를 통해 차원을 축소한 뒤 동일한 형태로 적용한다.

혁신은 관측 (\mathbf{x}(t))에 유한 임펄스 응답(FIR) 필터를 적용함으로써 얻어진다.

[ \boldsymbol{\varepsilon}(t)=\mathbf{M}^{-1}\mathbf{x}(t)-\sum_{p=1}^{P}\mathbf{H}(p),\mathbf{M}^{-1}\mathbf{x}(t-p) = \sum_{p=0}^{P}\mathbf{W}^{(p)}\mathbf{x}(t-p) \quad\text{(3–4)} ]

여기서 (\mathbf{W}^{(p)})는 (\mathbf{M})과 ({\mathbf{H}(p)})에 의해 결정된다.

C. 컨볼루티브 ICA에 의한 식별

시간 영역 컨볼루티브 ICA를 이용해 부피 전도와 소스 간 인과적 상호작용을 동시에 추정한다. 핵심 가정은 혁신이 비가우시안이며 공간·시간적으로 독립이라는 점이다. EEG/MEG에서는 초가우시안(super‑Gaussian) 분포가 적합하다고 판단한다(뇌 네트워크의 급성 발화가 초가우시안 특성을 띤다고 가정).

초가우시안 sech 분포를 사용하면, 데이터의 **우도(likelihood)**는 다음과 같이 표현된다.

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