“창의적 기계와 비공식적 개념: 튜링 한계 너머의 자기‑발전 절차”

📝 Abstract

This paper constructively proves the existence of an effective procedure generating a computable (total) function that is not contained in any given effectively enumerable set of such functions. The proof implies the existence of machines that process informal concepts such as computable (total) functions beyond the limits of any given Turing machine or formal system, that is, these machines can, in a certain sense, “compute” function values beyond these limits. We call these machines creative. We argue that any “intelligent” machine should be capable of processing informal concepts such as computable (total) functions, that is, it should be creative. Finally, we introduce hypotheses on creative machines which were developed on the basis of theoretical investigations and experiments with computer programs. The hypotheses say that machine intelligence is the execution of a self-developing procedure starting from any universal programming language and any input.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• Hilbert 프로그램과 튜링의 Entscheidungsproblem을 출발점으로, 형식 체계가 수학 전반을 포괄할 수 있는가에 대한 고전적 질문을 재조명한다.
• 튜링은 “기계가 단순히 명령을 수행하는 것에 머물러야 하는가?”라는 의문을 제기했으며, 이 논문은 그 의문을 **‘이니셔티브(initiative)’**라는 비공식적 개념으로 구체화한다.
• 기존 연구(예: Gödel, Hopcroft & Ullman, Ammon 등)에서는 형식적 절차와 실제 프로그램 개발 사이의 격차를 언급했지만, 이를 **‘창의적 기계’**라는 새로운 메타‑레벨의 모델로 통합한다는 점이 독창적이다.

2. 핵심 정리와 증명 구조

평가: 정리 1‑4는 모두 대각선 논법을 변형한 형태이며, 증명 자체는 논리적으로 타당하다. 다만, “효과적 절차”가 실제 구현 가능한 프로그램인지, 혹은 메타‑수학적 존재론에 머무는지에 대한 구체적 구현 예시가 부족하다.

3. ‘창의적 기계(Creative Machine)’ 정의와 가설

1. 가설 1 (Experience)

   • 자기‑발전 절차는 “보편적 프로그래밍 언어 + 임의 입력”에서 시작해 형식적으로 환원 불가능한 경험을 축적한다.
   • 비판: “형식적으로 환원 불가능”이라는 표현이 모호하다. 경험을 수학적으로 모델링하거나, 정보 이론적 복잡도와 연결짓는 구체적 정의가 필요하다.

2. 가설 2 (Structure)

   • 창의적 기계는 비공식적 개념(예: 전산 함수 전체)을 포함하고, 이는 어떤 튜링 기계·형식 체계도 초월한다.
   • 비판: 비공식적 개념을 ‘포함한다’는 것이 메타‑레벨(인식)인지, 실제 연산 능력인지 명확히 구분되지 않는다.

3. 가설 3 (Induction)

   • 지식 구축은 비공식적 귀납에 의존한다. 즉, 관찰·실험·추론을 통해 새로운 함수를 생성한다.
   • 평가: 실제 프로그램 설계에서 귀납적 학습(예: 머신러닝)과 연결시킬 수 있는 흥미로운 관점이다. 그러나 논문은 구체적인 학습 알고리즘을 제시하지 않는다.

4. 가설 4 (Revision) & 가설 5 (Generality)

   • 모든 지식은 수정 가능하고, 자기‑참조적으로 모든 지식을 검증·구축할 수 있다.
   • 비판: 무한 회귀(self‑reference) 문제와 Gödel의 불완전성을 동시에 다루려면, ‘수정 가능성’이 실제로는 제한된 메타‑연산에 머물 수 있음을 인정해야 한다.

4. 기존 연구와의 연계

5. 강점

• 개념적 혁신: “비공식적 개념”을 기계가 다룰 수 있다는 메타‑수학적 아이디어를 제시.
• 정리의 명료성: 대각선 논법을 전산 함수 열거에 적용한 증명은 직관적이며 교육적 가치가 높다.
• 다학제적 접근: 형식 논리, 계산 이론, 인공지능(귀납·경험) 등을 통합하려는 시도가 돋보인다.

6. 약점 및 개선점

1. 구현 가능성 부족

   • 정리 1‑4는 메타‑수학적 존재를 보이지만, 실제 알고리즘이나 시뮬레이션을 제시하지 않는다.
   • “효과적 절차”를 구체적인 프로그램(예: 파이썬 코드)으로 구현하고, 실험을 통해 새로운 함수를 생성한 사례가 있으면 설득력이 크게 증가한다.

2. 용어 정의의 모호성

   • “비공식적 개념”, “형식적으로 환원 불가능한 경험”, “자기‑발전 절차” 등 핵심 용어가 정량적·형식적 정의 없이 사용된다.
   • 정보 이론(복잡도), 통계학(베이지안 추론) 등과 연결해 정의를 구체화하면 가설 검증이 가능해진다.

3. 가설 검증 부재

   • 제시된 다섯 가지 가설은 논리적 일관성만을 논하고, 실증적 검증(시뮬레이션, 사례 연구)이나 반증 가능성을 제시하지 않는다.
   • 예를 들어, 가설 3(귀납)과 관련해 자동 정리 증명기나 프로그램 자동 생성 시스템을 실험적으로 적용해 보는 것이 필요하다.

4. 교수‑학습 관점 부재

   • “경험”과 “귀납”을 인간 학습과 연결짓는 논의가 부족하다. 인간이 어떻게 비공식적 개념을 습득하고 확장하는지에 대한 인지과학적 근거를 추가하면, 인공지능 연구와의 연계가 강화된다.

7. 향후 연구 방향

1. 구현 및 실험

   • 정리 1의 절차를 실제 프로그래밍 언어(예: Haskell, Python)로 구현하고, 동적 열거를 통해 새로운 함수를 생성하는 과정을 시연한다.
   • 생성된 함수가 기존 열거에 포함되지 않음을 자동 검증하는 메커니즘을 개발한다.

2. 형식적 모델링

   • “경험”을 상태 전이 시스템이나 마코프 결정 과정으로 모델링하고, 복잡도 측정(Kolmogorov 복잡도)과 연결한다.
   • “비공식적 개념”을 형식 언어의 메타‑레벨(예: 고차 논리)로 정의하고, 해당 메타‑언어가 생성할 함수 집합을 분석한다.

3. 인공지능과의 통합

   • 메타‑러닝(learning to learn) 프레임워크와 가설 1·3을 연결, 자기‑발전 절차를 강화학습 에이전트가 수행하도록 설계한다.
   • 자동 정리 증명기와 같은 기존 시스템에 정리 1‑4의 절차를 삽입해, 기존 시스템이 “창의적”으로 전환되는지를 평가한다.

4. 철학·논리적 검토

   • Gödel의 불완전성 정리와의 관계를 보다 엄밀히 분석하고, 자기‑참조와 무한 회귀 문제에 대한 형식적 해결책(예: 유형 이론)을 탐색한다.

8. 결론

이 논문은 전산 함수의 비공식적 전체를 다루는 창의적 기계라는 새로운 개념을 제시함으로써, 튜링·골델 한계에 대한 메타‑수학적 재해석을 시도한다. 정리 자체는 대각선 논법을 기반으로 논리적으로 타당하지만, 구현 가능성, 용어 정의, 가설 검증 측면에서 아직 충분히 구체화되지 않았다. 향후 연구에서는 제시된 절차를 실제 프로그램으로 구현하고, 경험·귀납 메커니즘을 정량화·시뮬레이션함으로써, “창의적 기계”가 실제 인공지능 시스템에 적용될 수 있는지를 검증하는 것이 핵심 과제가 될 것이다.

위 분석은 제공된 논문 초록·본문을 기반으로 작성되었으며, 저자·출판 연도 등 메타데이터가 누락된 점 양해 바랍니다.

📄 Content

힐베르트 프로그램은 수학을 형식 체계로 환원시켜 수학 내의 모순을 피하려는 목적을 가지고 있었다. 특히, 힐베르트의 Entscheidungsproblem(결정 문제)은 “주어진 논리식의 타당성 혹은 만족 가능성을 유한한 연산 횟수만으로 판정할 수 있는 절차”를 찾는 것이 목표였다. 힐베르트의 Entscheidungsproblem이 풀 수 없음을 증명하기 위해, 튜링[1936]은 “계산 기계”(computing machines) 를 도입했으며, 이는 힐베르트 의미에서 절차를 형식화한 것이다. 괴델[1965, p. 72]은 다음과 같이 적는다.

튜링의 작업은 “기계적 절차”(또는 “알고리즘”) 개념에 대한 분석을 제공한다… 이 개념은 “튜링 기계”와 동등함이 보인다. 형식 체계는 단순히 증명 가능한 공식이라 불리는 공식을 생성하는 모든 기계적 절차로 정의될 수 있다.

홉크롭과 울만[1979, p. 147]은 “튜링 기계는 오늘날 우리가 알고 있는 디지털 컴퓨터와 계산 능력 면에서 동등하다”고 적으며, 여기서 컴퓨터는 사람이 수동으로 만든 절차나 프로그램을 실행하는 도구라고 암시한다. 튜링[1986]은 컴퓨터가 다른 방식으로 사용될 수 있는지를 묻는다.

“계산 기계는 명령받은 과정만을 수행할 수 있다고 알려져 있다… 지금까지는 그런 방식으로만 사용되어 왔다. 그러나 반드시 그렇게만 사용해야 하는가?”

튜링[1969]은 인간과 기계의 지능 발달을 논하며 다음과 같이 말한다.

“훈련받지 않은 영아의 마음이 지능을 갖추려면 훈련과 주도성을 모두 획득해야 한다. 지금까지 우리는 훈련만을 고려했다. 뇌나 기계를 보편 기계로 전환하는 것은 훈련의 극단적 형태이다. 그러나 훈련만으로는 지능을 만들기에 충분하지 않다. 추가로 필요한 것을 우리는 주도성이라 부른다… 우리의 과제는 인간에게서 나타나는 이 잔여물의 본질을 발견하고 이를 기계에 복제하는 것이다.”

우리는 **“주도성”(initiative)**이라 불리는 이 잔여물의 본질을 조사한다(see Sieg, 1994, Section 5, Final remarks).

2. 효과적인 절차의 존재 증명

섹션 2에서는 주어진 효과적인 열거에 포함되지 않는 계산 가능한(전역) 함수를 생성하는 효과적인 절차의 존재를 증명한다. 이 절차는 비공식적인 계산 가능한 함수 개념, 즉 튜링이 말한 **“계산 불가능한 잔여물”(uncomputable residue)**에 대한 다리 역할을 한다. 이 절차를 기반으로 섹션 3에서는 창조적 기계(creative machines) 를 정의한다. 창조적 기계는 어떤 의미에서든 주어진 튜링 기계가 도달할 수 없는 함수값을 “계산”할 수 있다. 섹션 4에서는 창조적 기계에 대한 가설을 제시한다. 이 가설은 튜링의 계산 불가능한 잔여물이 보편 프로그래밍 언어와 임의의 입력으로부터 시작되는 자기‑발전 절차(self‑developing procedure) 의 실행이라는 점을 강조한다. 이 과정은 형식적으로 환원될 수 없는 경험을 생성하며, 이는 컴퓨터의 새로운 활용법으로 볼 수 있다. 이후 섹션에서는 증명, 창조적 기계, 관련 연구들을 논의한다.

본 논문과 이후 섹션에서는 **“계산 가능한 함수”**를 자연수 전체에 대해 정의된 효과적으로 계산 가능한 전역 함수라고 간단히 부른다.

정리 1

효과적인 절차가 존재하여, 주어진 효과적인 열거에 포함되지 않는 계산 가능한 함수를 생성한다.

증명.
(f_{1},f_{2},\dots) 를 계산 가능한 함수들의 효과적인 열거라 하자. 새로운 함수 (g) 를 다음과 같이 정의한다.

[ g(n)=f_{n}(n)+1\qquad\text{(모든 자연수 }n\text{에 대하여)} \tag{1} ]

(f_{i}(n)) 은 모든 (i,n) 에 대해 정의되어 있으므로 (g(n)) 역시 모든 자연수 (n) 에 대해 정의된다. 또한 (f_{1},f_{2},\dots) 가 효과적으로 열거된다는 가정에 의해 (g) 역시 계산 가능하다. 식 (1)의 표현 (f_{n}(n)+1) 은 함수형 의사코드—즉, 모든 (n) 에 대해 (g) 를 계산하는 프로그램 (R)—로 볼 수 있다.

효과적인 열거 (f_{1},f_{2},\dots) 를 입력으로 받아 프로그램 (R) 을 생성하는 효과적인 절차가 존재한다. 이를 프로그램 (E) 로 표기하면, (E) 가 (f_{1},f_{2},\dots) 를 생성하고, 그 출력이 바로 (R) 이다.

프로그램 (R) 은 임의의 자연수 (n) 에 대해 먼저 (E) 를 이용해 (f_{n}) 을 얻고, 그 결과에 1을 더한다. 정의 (1) 에 의해 (g(n)\neq f_{n}(n)) 이므로, 모든 (n) 에 대해 (g) 는 열거에 포함된 어느 함수와도 다르다. 따라서 주어진 효과적인 열거에 포함되지 않는 계산 가능한 함수 (g) 를 생성하는 효과적인 절차가 존재한다는 것이 증명된다.

정리 2

효과적인 절차가 존재하여, 주어진 형식 체계(그 안에 계산 가능한 함수를 가리키는 술어가 포함된) 에 포함되지 않는 계산 가능한 함수를 생성한다.

증명.
(S) 를 계산 가능한 함수를 가리키는 술어 (Q) 를 가진 형식 체계라 하자. 형식 체계는 기계적 절차이므로, 증명 가능한 공식 (Q(f_{1}),Q(f_{2}),\dots) 을 효과적으로 열거한다. 이 열거는 곧 (S) 안에 존재하는 모든 계산 가능한 함수 (f_{1},f_{2},\dots) 를 포함한다. 정리 1에 의해, 이러한 열거에 포함되지 않는 계산 가능한 함수 (g) 를 생성하는 효과적인 절차가 존재한다. 따라서 주어진 형식 체계에 포함되지 않는 계산 가능한 함수가 존재한다는 것이 증명된다.

정리 2는 “계산 가능한 함수”라는 개념이 비공식적이며, 정리 1의 절차가 어떤 형식 체계의 한계 너머의 함수를 만들어낸다는 점을 보여준다.

정리 3

(C) 가 정리 1에 의해 존재하는 효과적인 절차 (P) 를 처리할 수 있는 기계라면, 어떠한 튜링 기계도 (C) 가 (P) 로 생성할 수 있는 모든 계산 가능한 함수를 모두 생성할 수 없다.

증명.
(C) 가 정리 1의 절차 (P) 를 수행할 수 있다고 가정하고, 임의의 튜링 기계 (T) 가 계산 가능한 함수들의 열거 (f_{1},f_{2},\dots) 를 만든다고 하자. (C) 는 (P) 를 적용해 열거 (f_{1},f_{2},\dots) 로부터 함수 (g) 를 만든다. 정리 1에 의해 (g) 는 열거에 포함되지 않는다. 따라서 (T) 가 생성할 수 있는 모든 함수 집합에 (g) 가 포함되지 않으므로, (C) 가 (P) 로 만들 수 있는 모든 함수를 한 튜링 기계가 포괄할 수 없다는 것이 증명된다.

정리 4

(C) 가 정리 1의 절차 (P) 를 처리할 수 있는 기계라면, 어떠한 형식 체계도 (C) 가 (P) 로 생성할 수 있는 모든 계산 가능한 함수를 모두 포함할 수 없다.

증명.
정리 3과 동일한 논리를 적용한다. 형식 체계 (S) 가 증명 가능한 공식 (Q(f_{1}),Q(f_{2}),\dots) 을 열거한다면, 이는 곧 모든 계산 가능한 함수 (f_{1},f_{2},\dots) 를 포함한다. (C) 가 (P) 를 적용해 얻은 함수 (g) 는 정리 1에 의해 이 열거에 포함되지 않는다. 따라서 (S) 는 (C) 가 (P) 로 만든 모든 함수를 포괄하지 못한다는 것이 증명된다.

창조적 기계와 튜링‑교리

정리 3·4에 의해 창조적 기계는 비공식적인 계산 가능한 함수 개념을 튜링 기계나 형식 체계의 한계 너머서도 처리할 수 있다. 여기서 절차 (P) 는 그 비공식적 개념, 즉 튜링이 말한 **“계산 불가능한 잔여물”**에 대한 다리 역할을 한다.

가설들

가설 1 (경험)

창조적 기계는 보편 프로그래밍 언어와 임의의 입력으로부터 시작되는 자기‑발전 절차의 실행이다. 이 과정은 형식적으로 환원될 수 없는 경험을 만든다. 즉, 절차 자체는 어떤 형식 체계로도 완전히 기술될 수 없으며, 시작점인 언어와 입력만이 절차를 규정한다. 이 과정을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[ L;\xrightarrow{;P_{0}= \varnothing;};P_{1};\xrightarrow{;E_{1};};P_{2};\xrightarrow{;E_{2};};\dots;\xrightarrow{;E_{t};};P_{t+1} ]

여기서

• (L) 은 보편 프로그래밍 언어이며, 언어 자체에 대한 메타 지식도 포함한다.
• (P_{t}) 는 시각 (t) 에서의 절차이며, (P_{0}) 은 빈 절차이다.
• (E) 는 경험을 의미한다(새로운 함수·지식의 획득).

가설 2 (구조)

가설 1에 따라 형성된 지식은 비공식적인 개념을 포함한다. 이러한 비공식적 개념은 어떠한 주어진 튜링 기계나 형식 체계의 한계도 초월한다.

가설 3 (귀납)

창조적 기계가 지식을 구축하는 실제 과정은 비공식적 귀납적 추론에 의해 이루어진다. 이 추론은 가설 2에서 언급된 비공식적 개념을 포함한 모든 가용 지식을 기반으로 한다.

가설 4 (수정)

창조적 기계는 시작점인 보편 프로그래밍 언어를 제외하고는 그가 가진 모든 지식을 수정할 수 있다. 즉, 모든 지식은 불완전하고 교정 가능하다.

가설 5 (일반성)

창조적 기계는 원칙적으로 자신에 관한 모든

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