무작위 스케줄링으로 풀어낸 무선·광회선 네트워크의 안정성: 저복잡도 분산 알고리즘

📝 Abstract

There has recently been considerable interest in design of low-complexity, myopic, distributed and stable scheduling policies for constrained queueing network models that arise in the context of emerging communication networks. Here, we consider two representative models. One, a model for the collection of wireless nodes communicating through a shared medium, that represents randomly varying number of packets in the queues at the nodes of networks. Two, a buffered circuit switched network model for an optical core of future Internet, to capture the randomness in calls or flows present in the network. The maximum weight scheduling policy proposed by Tassiulas and Ephremide in 1992 leads to a myopic and stable policy for the packet-level wireless network model. But computationally it is very expensive (NP-hard) and centralized. It is not applicable to the buffered circuit switched network due to the requirement of non-premption of the calls in the service. As the main contribution of this paper, we present a stable scheduling algorithm for both of these models. The algorithm is myopic, distributed and performs few logical operations at each node per unit time.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 문제 정의

• 무선 네트워크 모델: n개의 단일 홉 큐가 간섭 그래프 (G=(V,E)) 로 연결돼 동시에 전송이 불가능한 노드 쌍이 존재한다. 각 큐는 Bernoulli 도착 과정을 갖고, 전송은 단위 속도로 진행한다.
• 버퍼드 회선 교환 네트워크 모델: 용량이 정수인 링크들로 구성된 그래프 위에 n개의 경로가 정의되고, 각 경로에 도착하는 플로우는 지수분포(평균 1)의 서비스 시간을 요구한다. 경로별 활성 플로우 수는 링크 용량 제약을 만족해야 한다.

두 모델 모두 스케줄링(어떤 큐가 전송/활성화될지 결정)이 핵심이며, 목표는 분산·저복잡도·myopic(현 상태만 이용) 로 구현하면서 네트워크가 과부하되지 않도록(큐가 유한히 유지) 하는 것이다.

2. 기존 접근법과 한계

• Maximum‑Weight 스케줄링 (Tassiulas‑Ephremides, 1992): 큐 길이를 가중치로 하여 현재 가능한 스케줄 중 가중치 합이 최대인 것을 선택한다. 이론적으로 용량 영역 전부에서 안정하지만, 매 슬롯마다 Maximum‑Weight Independent Set 문제를 풀어야 하며 이는 일반적으로 NP‑hard이며 중앙집중식 구현이 필요하다.
• 무선 네트워크에서는 다양한 근사·분산 알고리즘(예: CSMA‑based, Glauber dynamics 기반) 연구가 진행됐지만, 버퍼드 회선 교환 네트워크에서는 비선점(non‑preemptive) 특성 때문에 동일한 접근이 적용되지 못했다.

3. 제안 알고리즘의 핵심 아이디어

4. 안정성(Throughput‑Optimality) 증명 전략

1. 제품 형태 정역분포

   • 제안된 마르코프 체인의 정역분포는 (\pi(\sigma) \propto \exp\big(\sum_i w_i \sigma_i\big)) 와 같은 형태이며, 이는 독립 집합(무선) 혹은 손실 네트워크(회선 교환)에서 알려진 Gibbs 분포와 동일하다.

2. Lyapunov 함수 구성

   • 전체 큐 길이의 제곱합 (V(Q)=\sum_i Q_i^2) 를 사용하고, 기대 드리프트 (\Delta V) 를 분석.
   • 가중치가 log‑log 형태이므로, 스케줄링 체인이 큐 길이에 비해 빠르게 혼합(mixing)한다는 사실을 이용해, 충분히 큰 큐에 대해서는 서비스율이 도착율을 초과함을 보인다.

3. 시간 규모 분리

   • 스케줄링 체인의 mixing time이 큐 길이 증가에 따라 (O(\log\log Q)) 이하임을 증명, 이는 큐 동역학(시간 단위 1)보다 훨씬 빠른 속도다.

4. 양성 Harris 재발성

   • 위 드리프트와 petit set(작은 큐 집합) 존재성을 결합해 Markov process가 positive Harris recurrent임을 보인다. 즉, 모든 과부하되지 않은 도착 벡터 (\lambda \in \text{int}(\Lambda)) 에 대해 큐가 안정된다.

5. 주요 기여 및 의의

• 통합 알고리즘: 무선·회선 교환 두 모델에 동일한 프레임워크(무작위 스케줄링 + log‑log 가중치) 적용, 기존에 회선 교환 모델에선 존재하지 않던 myopic·분산·안정 알고리즘을 최초로 제시.
• 실용성: 각 노드가 수행하는 연산이 상수 시간이며, 전송/활성화 시도는 랜덤 비트와 로컬 센싱만 필요해 실제 무선 라우터나 광스위치에 바로 적용 가능.
• 이론적 기여: 시간 규모 분리와 mixing time 분석을 통해, “가중치가 너무 급격히 커지면 스케줄링 체인이 느려진다”는 직관을 정량화. 이는 다른 무작위 기반 스케줄링 연구에도 활용될 수 있다.

6. 한계 및 향후 연구 방향

7. 결론

Shah와 Shin은 무작위 기반, 저복잡도, 분산형 스케줄링이라는 세 가지 핵심 요구사항을 동시에 만족시키는 알고리즘을 제시함으로써, 무선 및 광회선 교환 네트워크 모두에서 용량 영역 전부를 커버하는 안정성을 이론적으로 보장하였다. 특히 log‑log 가중치와 시간 규모 분리라는 혁신적 설계는 향후 다양한 제약 큐잉 시스템(데이터센터 스위치, IoT 무선 메쉬 등)에서 무작위 스케줄링을 적용하는 데 중요한 설계 원칙이 될 것으로 기대된다.

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📄 Content

arXiv:0908.3670v2 [cs.IT] 2010년 4월 4일
무작위 스케줄링 알고리즘 for Queueing Networks
저자: D. Shah, J. Shin∗
매사추세츠 공과대학교 (MIT)

최근에 새로운 통신 네트워크가 등장함에 따라, 제약이 있는 큐잉 네트워크 모델에 대해 저복잡도, 근시안적, 분산형, 안정적인 스케줄링 정책을 설계하려는 연구가 활발히 진행되고 있다. 본 논문에서는 두 가지 대표적인 모델을 다룬다.

1. 공유 매체를 통해 통신하는 무선 노드들의 집합을 모델링한 것으로, 네트워크 내 각 노드의 큐에 존재하는 패킷 수가 무작위로 변한다.
2. 미래 인터넷의 광코어를 위한 버퍼가 있는 회로 전환 네트워크 모델로, 네트워크에 존재하는 호출(또는 흐름)의 무작위성을 포착한다.

Tassiulas와 Ephremides가 제안한 Maximum‑Weight Scheduling (MW) 정책[32]은 패킷‑레벨 무선 네트워크 모델에 대해 근시안적이면서도 안정적인 정책을 제공한다. 그러나 이 정책은 계산 비용이 매우 높고(NP‑hard), 중앙집중식이며, 서비스 중인 호출을 선점(preempt)할 수 없는 버퍼가 있는 회로 전환 네트워크에는 적용할 수 없다.

본 논문의 주요 공헌은 두 모델 모두에 대해 안정적인 스케줄링 알고리즘을 제시하는 것이다. 제안된 알고리즘은 근시안적이며, 분산형이고, 각 노드가 단위 시간당 몇 개의 논리 연산만 수행하면 된다.

1. 서론

통신 네트워크 설계자의 가장 기본적인 임무는 네트워크 자원을 효율적으로 할당하고 활용하여 사용자의 요구를 만족시키는 것이다. 알고리즘적 핵심 문제는 패킷, 흐름 등 자원을 두고 경쟁하는 여러 엔터티에 대해 자원을 어떻게 할당(스케줄링)할 것인가이다. 최근 몇 년간 **단순하고, 근시안적이며, 분산형이고, 고성능(=안정적)**인 스케줄링 알고리즘을 설계하려는 연구가 급증하고 있다. 본 논문에서 다루는 두 모델은 무선 네트워크와 버퍼가 있는 회로 전환 네트워크이다.

* 두 저자는 모두 MIT 정보·결정 시스템 연구소(Lab for Information and Decision Systems) 소속이며, 각각 전기·컴퓨터공학부와 수학부에 소속되어 있다. 이메일 주소는 {devavrat, jinwoos}@mit.edu 이다.

AMS 2000 분류: 1차 60K20, 68M12; 2차 68M20
키워드: 무선 매체 접근, 버퍼가 있는 회로 전환 네트워크, Aloha, 안정성, 스케줄링, 혼합 시간, 느리게 변하는 마코프 체인

2. 네트워크 모델

2.1 무선 네트워크

n개의 큐를 가진 단일 홉 무선 네트워크를 고려한다. 각 큐는 외부에서 패킷 형태의 작업을 받아들이고, 서비스가 이루어지면 작업이 떠난다.

• (Q_i(t)\in\mathbb{R}_+) : 시간 (t)에 i번째 큐에 존재하는 작업량(패킷 수)
• (A_i(s,t)) : 구간 ([s,t]) 동안 i번째 큐에 도착한 작업량. 간단히 하기 위해 각 (A_i(\cdot))는 파라미터 (\lambda_i)를 갖는 독립 베르누이 과정이라고 가정한다(시간 단위당 0 또는 1개의 패킷이 도착).

각 큐는 공유 무선 매체를 통해 전송한다. 전송 간섭을 나타내는 그래프를 (G=(V,E))라 하자. 정점 (V={1,\dots,n})는 큐를, 간선 ((i,j)\in E)는 i와 j가 동시에 전송할 수 없음을 의미한다.

스케줄링 변수 (\sigma_i(t)\in{0,1})는 시간 (t)에 i번째 큐가 전송 중인지 나타낸다. 전체 스케줄 (\sigma(t)=[\sigma_i(t)])는 독립 집합 조건을 만족해야 하므로
[ \sigma(t)\in\mathcal I(G)\triangleq{\rho\in{0,1}^n:\rho_i+\rho_j\le 1;\forall (i,j)\in E}. ]

큐 i가 구간 ([s,t]) 동안 실제로 서비스받은 작업량은
[ D_i(s,t)=\int_s^t \sigma_i(y)\mathbf 1_{{Q_i(y)>0}},dy . ]

따라서 큐 동역학은
[ Q_i(t)=Q_i(s)-\int_s^t \sigma_i(y)\mathbf 1_{{Q_i(y)>0}},dy+A_i(s,t),\qquad 0\le s<t. ]

2.2 버퍼가 있는 회로 전환 네트워크

다음은 용량이 정해진 그래프 (G=(V,E)) 위에 정의된 회로 전환 네트워크이다. 각 링크 (e\in E)는 정수 용량 (C_e\in\mathbb N)를 가진다. 고정된 (n)개의 경로 (R_1,\dots,R_n)가 존재하며, 각 경로는 여러 링크의 집합이다.

각 경로 (R_i)의 입구(ingress)에서는 외부 흐름이 포아송 과정(율 (\lambda_i))에 따라 도착한다. 도착한 흐름은 해당 경로의 버퍼에 적재되고, 버퍼에 있는 흐름 수를 (Q_i(t))라 한다(초기값 (Q_i(0)=0)).

흐름은 모든 링크를 동시에 단위 용량만큼 사용하면서 **지수분포(평균 1)**인 서비스 시간을 요구한다. 시간 (t)에 경로 (R_i)를 실제로 이용하고 있는 흐름 수를 (z_i(t))라 하면, 용량 제약으로
[ z(t)=[z_i(t)]\in\mathcal X\triangleq\Bigl{z\in\mathbb Z_+^n:\sum_{i:e\in R_i}z_i\le C_e,;\forall e\in E\Bigr} ]
을 만족해야 한다. 이는 무선 네트워크의 간섭 제약과 동일한 형태의 스케줄링 제약이다.

시간 구간 ([s,t]) 동안 서비스(즉, 네트워크를 떠나는)된 흐름 수를 (D_i(s,t))라 하면, 큐 동역학은
[ Q_i(t)=Q_i(s)-D_i(s,t)+A_i(s,t). ]

2.3 스케줄링 알고리즘 및 성능 지표

두 모델 모두 스케줄링이 핵심이다.

• 무선 네트워크에서는 각 큐가 어떤 순간에 전송할지를 결정해야 하며, 이는 간섭 그래프 (\mathcal I(G)) 안에서 독립 집합을 선택하는 문제이다.
• 회로 전환 네트워크에서는 각 경로의 활성 흐름 수 (z_i(t))를 결정해야 하며, 이는 (\mathcal X) 안의 점을 선택하는 문제이다.

우리는 분산형 스케줄링을 원한다. 즉, 큐 i는 자신의 로컬 정보(예: 현재 큐 길이 (Q_i(t)))만을 이용해 (\sigma_i(t)) 혹은 (z_i(t))를 결정한다. 또한 즉시 감지(carrier sensing) 가정하에, 한 노드가 전송을 시작하면 인접 노드들은 즉시 이를 알 수 있다.

성능 측면에서는 가능한 한 넓은 도착률 영역에서 큐 길이가 작게 유지되기를 바란다. 이를 정량화하기 위해 **용량 영역(capacity region)**을 정의한다.

• 무선 네트워크의 용량 영역
  [ \Lambda_w=\operatorname{Conv}(\mathcal I(G)) =\Bigl{y\in\mathbb R_+^n:; y\le\sum_{\sigma\in\mathcal I(G)}\alpha_\sigma\sigma,; \alpha_\sigma\ge0,;\sum_{\sigma}\alpha_\sigma\le1\Bigr}. ]

• 회로 전환 네트워크의 용량 영역
  [ \Lambda_{cs}=\operatorname{Conv}(\mathcal X) =\Bigl{y\in\mathbb R_+^n:; y\le\sum_{z\in\mathcal X}\alpha_z z,; \alpha_z\ge0,;\sum_{z}\alpha_z\le1\Bigr}. ]

어떤 도착률 벡터 (\lambda)가 **허용 가능(admissible)**하다는 것은 (\lambda\in\Lambda) (여기서 (\Lambda)는 (\Lambda_w) 혹은 (\Lambda_{cs}) 중 해당 모델)임을 의미한다. **엄격히 허용 가능(strictly admissible)**하다는 것은 (\lambda)가 (\Lambda)의 내부 (\Lambda^\circ)에 속한다는 뜻이며, 이는 네트워크가 과부하되지 않은(under‑loaded) 상태임을 나타낸다.

정의 1 (Throughput optimal)
스케줄링 알고리즘이 **throughput optimal(또는 stable, 100 % throughput)**하다고 부른다. 이는 모든 (\lambda\in\Lambda^\circ)에 대해 기저가 되는 네트워크 마코프 과정이 **양의 Harris 재발(positive Harris recurrent)**을 만족한다는 의미이다.

2.4 Maximum‑Weight (MW) 알고리즘

Tassiulas와 Ephremides가 제안한 Maximum‑Weight (MW) 알고리즘[32]은 많은 네트워크 모델에서 throughput optimal함을 보였다. 무선 네트워크에서는 매 정수 시간 (\tau)마다
[ \sigma(\tau)\in\arg\max_{\rho\in\mathcal I(G)} Q(\tau)\cdot\rho ]
를 선택한다. 여기서 (Q(\tau)\cdot\rho=\sum_i Q_i(\tau)\rho_i)는 큐 길이를 가중치로 한 총 가중치이다.

MW 알고리즘은 근시안적이므로 Lyapunov drift 기법을 이용해 양의 재발성을 증명할 수 있다. 그러나 매 순간마다 Maximum‑Weight Independent Set을 풀어야 하는데, 이는 NP‑hard이며 근사조차 어려운 문제이다. 따라서 실

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