“왜곡된 변동성 모델 속에서 찾아낸 통계적 차익거래 전략”

📝 Abstract

There is vast empirical evidence that given a set of assumptions on the real-world dynamics of an asset, the European options on this asset are not efficiently priced in options markets, giving rise to arbitrage opportunities. We study these opportunities in a generic stochastic volatility model and exhibit the strategies which maximize the arbitrage profit. In the case when the misspecified dynamics is a classical Black-Scholes one, we give a new interpretation of the classical butterfly and risk reversal contracts in terms of their (near) optimality for arbitrage strategies. Our results are illustrated by a numerical example including transaction costs.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 실제와 시장 가격 사이의 괴리: VIX와 S&P 500 실제 변동성의 지속적인 차이, 그리고 히스토리컬·옵션 기반 스큐·커투시스 차이 등은 옵션 시장이 모델 오차(model misspecification)로 인해 비효율적으로 가격이 매겨지고 있음을 시사한다.
• 통계적 차익거래 vs. 모델 독립 차익거래: 전자는 특정 확률 모델(실제 세계 측정)과 시장이 사용하는 위험중립 측정(Q) 사이의 불일치에 기반한다. 반면, 콜‑풋 패리티 위반 등은 모델에 무관하게 존재한다.

2. 모델 설정

• 실제 세계 측정(P):
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📄 Content

번역 (한국어, 최소 2000자)

여러 저자[1,3,12]에 의해 관찰된 바와 같이, 기초 자산의 실제 세계 동역학에 대한 일련의 가정이 주어졌을 때, 유럽형 옵션 시장에서는 기초 자산이 효율적으로 가격이 매겨지지 않는 경우가 존재한다. 그림 1은 S&P 500 지수 옵션(만기 1~2개월, 행사가를 평균한 암시적 변동성)과 S&P 500 지수 자체의 역사적 변동성을 비교한 것으로, 암시적 변동성이 역사적 변동성보다 수 퍼센트 포인트 정도 지속적으로 높게 나타난다. 이러한 현상은 가격이 잘못 매겨졌을 가능성을 시사한다. 그림 1에서 볼 수 있듯이, 암시적 변동성과 역사적 변동성 수준 사이에 중요한 차이가 존재하고, 또한 역사적 척도와 옵션 기반 척도 간의 왜도와 첨도 차이[3]도 크게 나타난다. 이러한 차이는 옵션 시장에서의 체계적인 오가격(모델 오규격)으로 설명될 수 있으며, 이는 잠재적인 차익거래(arbitrage) 기회를 제공한다¹. 본 논문의 목적은 이러한 기회를 일반적인 확률적 변동성(stochastic volatility) 프레임워크 내에서 정량화하고, 이익을 극대화하는 전략을 구축하는 데 있다. 본 논문에서 분석되는 차익거래 기회는 통계적 차익거래(statistical arbitrage) 라고 부를 수 있다. 왜냐하면 그 존재 여부가 기초 자산 동역학에 대한 통계적 모델에 의존하기 때문이다. 콜‑풋 패리티 위반과 같은 모델 독립적 차익거래와는 달리, 통계적 차익거래는 특정 가격 모델과 연관될 때만 존재한다.

1. 오가격 모델 하에서의 이익·손실 정량화

오가격 모델에 대한 이익·손실 정량화 문제는 지금까지 주로 블랙‑숄즈 모델에서 변동성 자체가 오가격인 경우에만 연구되었다[13,25]. 본 논문은 한 걸음 더 나아가, 변동성 자체의 오가격, 변동성의 변동성(volatility‑of‑volatility) 오가격, 그리고 기초 자산과 변동성 사이의 상관관계 오가격을 포함하는 확률적 변동성 모델을 다룬다. 이러한 파라미터들은 단일 경로(single trajectory)로부터 거의 확실하게(거의 확실히) 관측될 수 있기 때문에, 그 오가격은 원칙적으로 차익거래 기회를 만든다. 중요한 질문은 (i) 이 기회를 실현 가능한 전략으로 구현할 수 있는가, (ii) 적절한 최적화 문제의 정당성을 보장하는 조건 하에서 차익을 최대화하는 전략을 어떻게 구성할 것인가이다.

실제 세계 측정법(real‑world)과 위험 중립 측정법(risk‑neutral) 사이의 일관성 문제는 여러 논문[1,3,12]에서 엄밀히 다루어졌지만, 해당 차익거래 전략은 보통 임시(ad‑hoc) 방식으로 제시되었다[1,17,18]. 예를 들어, 위험 중립 왜도가 역사적 왜도보다 클 때(확률적 변동성 모델에서 상관관계 오가격에 해당) [1]은 “모든 OTM 풋을 매수하고 모든 OTM 콜을 매도”하는 전략을 제안한다. 마찬가지로 위험 중립 첨도가 역사적 첨도보다 클 경우, “멀리 떨어진 OTM·ATM 옵션을 매도하고, 가까운 OTM 옵션을 매수”하는 전략이 제시된다. 본 논문에서는 모델 파라미터에 따라 정확히 어떤 옵션을 매수·매도해야 차익을 최대로 할 수 있는지를 수학적으로 규정한다.

2. 전통적인 옵션 전략에 대한 새로운 해석

두 번째 목표는 버터플라이(butterfly)와 리스크 리버설(risk reversal) 같은 전통적인 옵션 스프레드 전략을 분석하고, 이를 변동성 차익거래 관점에서 새롭게 해석하는 것이다.

• 버터플라이(BF) : 동일한 절대 델타 값을 갖는 OTM 콜과 OTM 풋을 각각 매수하고, 동일한 행사가의 ATM 콜·풋을 일정 비율만큼 매도하는 전략이다. 외환(FX) 옵션 거래에서 흔히 사용된다.
• 리스크 리버설(RR) : 동일 절대 델타를 갖는 OTM 콜을 매수하고, 동일 절대 델타를 갖는 OTM 풋을 매도하는 전략이다.

금융공학 분야에서는 “버터플라이는 변동성의 변동성(Vol‑of‑Vol) 오가격을 차익거래하는 데 쓰이고, 리스크 리버설은 상관관계 오가격을 차익거래하는 데 쓰인다”는 속설이 있다. 제 4절에서는 이 두 전략을 최적성(optimality) 측면에서 검토하고, 변동성 거래에 얼마나 적합한지를 논한다.

3. 시장 현실과 유동성

지난 10년간 변동성·상관관계 스와프, 변동성 선물 등 새로운 파생상품이 등장했지만, 대부분의 시장에서는 유럽형 옵션이 여전히 가장 유동성이 높고, 변동성 차익거래에 가장 널리 사용되는 도구이다. 따라서 본 논문은 기초 자산과 유동성이 충분한 유럽형 옵션만을 이용한 차익거래 전략에 초점을 맞춘다.

4. 논문의 구성

• 제 2절에서는 일반적인 오가격 확률적 변동성 모델을 소개한다.
• 제 3절에서는 허용 가능한 거래 전략을 정의하고, 최적 차익포트폴리오의 형태를 도출한다.
• 제 4절에서는 오가격 모델이 상수 변동성 블랙‑숄즈 모델인 특수 경우를 다루며, 버터플라이와 리스크 리버설에 대한 새로운 해석을 제공한다.
• 제 5절에서는 SABR 모델[16]을 기반으로 최적 차익전략의 시뮬레이션 연구를 수행한다. 이 절의 목적은 실제 시장에서 전략의 효율성을 입증하기보다, 시뮬레이션 데이터를 통한 예시를 제시하는 데 있다. 실제 시장 데이터를 이용한 포괄적인 실증 연구는 향후 과제로 남긴다.

5. 수학적 모델 설정

우리는 필터링된 확률공간 ((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},(\mathcal{F}t){t\ge0})) 를 시작점으로 삼고, 위험자산 (S), 무위험 자산, 그리고 (S)에 대한 여러 유럽형 옵션이 존재하는 금융시장을 고려한다. 금리는 0이라고 가정한다. 위험자산 (S)는 다음 확률미분방정식(SDE)을 만족한다.

[ dS_t = \mu_t S_t,dt + \sigma_t S_t,dW_t^{(1)}, ]

여기서 (\mu,\sigma,\rho\in[-1,1]) 은 (\mathcal{F}_t)-적응 과정이며, ((W^{(1)},W^{(2)}))는 표준 2차원 브라운 운동이다. 위 적분가능성 조건은 특히 주가가 0에 도달하지 않음을 보장한다((\mathbb{P})-a.s.).

5.1 오가격 즉시 변동성 과정

옵션 시장이 사용하는 즉시 변동성을 (\sigma_t)라 두고, 이는 매우 단기 ATM 옵션의 암시적 변동성에 해당한다. 우리는 (\sigma_t = \sigma(Y_t)) 로 가정한다. 여기서 (Y)는

[ dY_t = a_t,dt + b_t,dW_t^{(2)}, ]

와 같은 동역학을 갖는 확률 과정이며, (a_t)와 (b_t>0)는 (\mathcal{F}_t)-적응 과정이다. 또한 (\sigma:\mathbb{R}\to(0,\infty))는 연속적으로 미분 가능하고 Lipschitz 연속이며, (0<\underline{\sigma}\le\sigma(y)\le\overline{\sigma}<\infty) 및 (\sigma’(y)>0) 를 만족한다.

5.2 시장(가격) 측정법 ( \mathbb{Q} )

옵션 가격이 시장(또는 가격) 측정법 (\mathbb{Q}) 하에서 마팅게일이라면, (\mathbb{Q})는 반드시 (\mathbb{P})와 동등(equivalent)할 필요는 없다. 즉, (\mathbb{Q})는 실제 세계 동역학과 불일치할 수 있다. (\mathbb{Q}) 하에서 기초 자산과 변동성은 다음 2차원 마코프 확산을 이룬다.

[ \begin{aligned} dS_t &= \tilde{\mu}_t S_t,dt + \sigma(Y_t) S_t,d\widetilde{W}^{(1)}_t,\ dY_t &= \tilde{a}(Y_t,t),dt + b(Y_t,t),d\widetilde{W}^{(2)}_t, \end{aligned} ]

여기서 (\tilde{a},b,\rho)는 결정론적 함수이며 ((\widetilde{W}^{(1)},\widetilde{W}^{(2)}))는 (\mathbb{Q})‑하의 표준 2차원 브라운 운동이다. (\sigma)가 유계이므로, (\mathbb{Q})‑a.s.로도 주가가 0에 도달하지 않는다.

가정

1. (\tilde{a}(y,t), b(y,t), \rho(y,t))는 (y)에 대해 두 번 미분 가능하고, 일차·이차 도함수 모두 유계이며 Hölder 연속이다.
2. (\sigma(y)) 역시 두 번 미분 가능하고, 그 도함수 역시 유계·Hölder 연속이다.

6. 옵션 가격 함수와 PDE

시장에 연속적인 행사가와 최소 하나의 만기가 존재하는 유럽형 옵션이 무한히 존재한다고 가정한다. 행사가 (K)와 만기 (T)를 갖는 옵션의 가격은 결정론적 함수

[ P(t,S_t,Y_t) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\bigl[ H(S_T)\mid \mathcal{F}_t \bigr] ]

으로 표현된다. 표준 방법[15]에 따라, 위 가정 하에서 모든 옵션 가격 함수 (P)는 클래스 (C^{2,2,1}\bigl((0,\infty)\times\mathbb{R}\times[0,T)\bigr)) 에 속하고 다음 편미분 방정식(PDE)을 만족한다.

[ \partial_t P + \frac12 \sigma(Y_t)^2 S_t^2 \partial_{SS} P + \tilde{a}(Y_t,t)\partial_Y P + \frac12 b(Y_t,t)^2 \partial_{YY} P + \rho(Y_t,t) b(Y_t,t) \sigma(Y_t) S_t \partial_{SY} P = 0, ]

여기서 (\mathcal{L}) 연산자를 위와 같이 정의한다. 또한 모든 유럽형 옵션은

[ \lim_{K\to0} P(t,S_t,K) = S_t,\qquad \lim_{K\to\infty} P(t,S_t,K) =

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