“무한을 다시 쓰다: 칸토어와 괴델을 부정한다는 주장에 대한 비판적 고찰”

📝 Abstract

This article critically reappraises arguments in support of Cantor’s theory of transfinite numbers. The following results are reported: i) Cantor’s proofs of nondenumerability are refuted by analyzing the logical inconsistencies in implementation of the reductio method of proof and by identifying errors. Particular attention is given to the diagonalization argument and to the interpretation of the axiom of infinity. ii) Three constructive proofs have been designed that support the denumerability of the power set of the natural numbers, P(N), thus implying the denumerability of the set of the real numbers R. These results lead to a Theorem of the Continuum that supersedes Cantor’s Continuum Hypothesis and establishes the countable nature of the real number line, suggesting that all infinite sets are denumerable. Some immediate implications of denumerability are discussed: i) Valid proofs should not include inconceivable statements, defined as statements that can be found to be false and always lead to contradiction. This is formalized in a Principle of Conceivable Proof. ii) Substantial simplification of the axiomatic principles of set theory can be achieved by excluding transfinite numbers. To facilitate the comparison of sets, infinite as well as finite, the concept of relative cardinality is introduced. iii) Proofs of incompleteness that use diagonal arguments (e.g. those used in Godel’s Theorems) are refuted. A constructive proof, based on the denumerability of P(N), is presented to demonstrate the existence of a theory of first-order arithmetic that is consistent, sound, negation-complete, decidable and (assumed p.r. adequate) able to prove its own consistency. Such a result reinstates Hilbert’s Programme and brings arithmetic completeness to the forefront of mathematics.

💡 Analysis

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1. 논문의 전반적 구조와 목표

• 목표: 기존 집합론(특히 ZFC)과 괴델 정리의 근간을 뒤흔들어, ‘모든 무한 집합은 가산이다’는 새로운 수학적 체계를 제시하고자 함.
• 전략: 칸토어와 괴델의 핵심 증명(대각선 논법, 불완전성 정리)을 ‘귀류법의 잘못된 적용’이라고 비판하고, 대신 구성적(constructive) 증명을 통해 가산성을 입증한다.

2. 주요 주장에 대한 논리적·수학적 검토

2.1. 구체적인 증명 결함

• 대각선 논법에 대한 비판: 논문은 “귀류법이 잘못 구현되었다”는 일반적 서술만 제공한다. 실제 대각선 논법은 구성적이며, 귀류법이 아니라 함수의 비전사성을 직접 보여준다. 따라서 ‘귀류법 오류’라는 비판은 논리적 근거가 부족하다.
• 𝒫(ℕ) 가산성 증명: 논문이 제시한 ‘세 가지 구성적 증명’은 구체적인 함수 정의나 전사성을 입증하지 않는다. 예를 들어, “각 실수를 유한한 이진 문자열의 무한 연속으로 매핑한다”는 시도는 무한 문자열을 유한 문자열의 집합에 포함시키려는 시도와 동일하며, 이는 이미 알려진 비가산성을 회피하려는 오류이다.
• 괴델 정리 부정: 괴델의 증명은 자기언급 공식을 구성하고, 그 공식이 참이면서 증명 불가능함을 보인다. 논문은 대각선 논법 자체를 부정함으로써 괴델 정리를 무효화하려 하지만, 괴델 정리의 핵심은 대각선 논법이 아니라 형식 체계 내에서의 자기참조이다.

2.2. 메타수학적 관점

• ZFC와의 충돌: 논문은 ZFC의 일관성을 ‘Goodstein 정리의 1차 산술 증명’을 근거로 부정한다. 그러나 Goodstein 정리 자체는 **초한수학(ordinal analysis)**을 이용해 증명되며, 이는 ZFC와 PA 사이의 관계를 명확히 보여준다. 논문이 제시한 ‘Goodstein 정리의 1차 산술 증명’은 기존 증명과 동등한 메타수학적 힘을 갖지 못한다.
• Hilbert 프로그램 재현: Hilbert 프로그램은 완전하고 결정가능한 형식 체계를 목표로 했지만, Gödel’s Incompleteness Theorems에 의해 불가능함이 증명되었다. 논문이 제시한 ‘완전한 1차 산술 체계’는 전통적인 형식 체계와 동일한 언어를 사용하면서도 자기 일관성을 증명한다는 점에서 Gödel의 제2정리를 직접 위배한다. 이는 메타수학적 불가능성을 무시한 주장이다.

3. 학술적·철학적 함의

1. 수학적 객관성 위협: ‘가능한 증명 원칙’은 주관적 판단에 기반한 공리 선택을 의미한다. 이는 수학이 추구하는 보편적 진리와 상충한다.
2. 연속체 가설(Continuum Hypothesis)과 독립성: 현재 CH는 ZFC와 독립적이며, 이는 모델 이론과 강제법을 통해 증명된다. 논문은 CH 자체를 ‘잘못된 귀류법’이라 치부하지만, 독립성 결과는 공리 체계 내에서의 논리적 한계를 보여준다.
3. 연구 윤리와 검증: 논문은 **광범위한 기존 문헌(수백 편)**을 인용하면서도, 핵심적인 증명(𝒫(ℕ) 가산성, 실수 가산성 등)을 구체적 형식화 없이 주장한다. 이는 학술적 검증 가능성을 크게 저해한다.

4. 결론 및 권고

• 주장 자체는 혁신적이지만, 증명적 기반이 현저히 부족하다. 특히 Cantor’s Theorem과 Gödel’s Incompleteness Theorems는 수십 년간 다양한 독립적 방법(모델 이론, 강제법, 형식적 메타수학)으로 검증된 결과이며, 단순히 ‘귀류법 오류’라는 일반적 비판만으로는 부정될 수 없다.
• 구성적 증명을 제시하려면, 구체적인 함수 정의, 전사성/단사성 증명, 메타수학적 인코딩 등을 명시해야 한다. 현재 논문은 이러한 구체성을 제공하지 않는다.
• 학술적 검증을 위해서는 **동료 평가(peer review)**와 **형식 검증(Proof assistants)**를 활용한 재현 가능성 검토가 필요하다.
• 추천: 현재 상태에서는 논문의 주장을 수용하기 어렵다. 향후 구체적 형식화와 메타수학적 검증이 동반된다면, 일부 제한된 영역(예: 특정 구성적 체계 내에서의 가산성)에서 흥미로운 논의가 될 수 있다.

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📄 Content

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그것은 칸토어의 연속 가설을 대체하고 실수선이 가산임을 확립하며, 모든 무한 집합이 가산이라고 제안한다. 가산성의 몇 가지 즉각적인 함의가 논의된다.

• 타당한 증명은 불가능한 명제를 포함해서는 안 된다. 여기서 ‘불가능한 명제’는 거짓으로 판명될 수 있고 항상 모순을 초래하는 명제로 정의된다. 이는 ‘가능한 증명의 원칙(Principle of Conceivable Proof)’ 으로 형식화된다.

• 초월수(transfinite numbers)를 배제함으로써 집합론의 공리 체계를 크게 단순화할 수 있다. 유한 집합과 무한 집합을 비교하기 위해 ‘상대적 기수(relative cardinality)’ 개념을 도입한다.

• 대각 논법을 이용한 불완전성 증명(예: 괴델 정리)은 반박된다.  (P(\mathbb N)) 의 가산성을 기반으로 한 구성적 증명을 제시하여, 일차 논리 산술 이론이 일관성, 건전성, 부정 완전성, 결정 가능성을 갖고(또한 p.r. 충분성을 가정하면) 자체 일관성을 증명할 수 있음을 보인다. 이러한 결과는 힐베르트 프로그램을 부활시키고 산술 완전성을 수학의 최전선에 올려놓는다.

2000 수학 주제 분류: 1차 03B0, 03E30, 03E50; 2차 03F07, 03F40.

ZFC의 모순성

고전 집합론, 정확히는 Zermelo‑Fraenkel 공리와 선택 공리(ZFC)[35,39,56]의 일관성이 최근 일차 산술에서의 굿스틴 정리 증명[55]에 의해 도전받았다. 굿스틴 정리는 기본 산술 수열에 관한 명제로, 순수히 수론적 성격을 가진다[36,56,59]. 원래는 초월 순서수의 잘 정렬된 성질을 이용해 증명되었으며[36,56], 일차 산술만으로는 증명되지 않았다[arXiv:1002.4433v1, 2010년 2월 25일].

칸토어와 무한성

칸토어가 집합론의 기초를 확립할 때, 그의 주된 목표는 **‘무한’**이라는 회피적이고 역설적인 개념을 엄밀히 다룰 수 있는 도구를 제공하는 것이었다[5,23]. 그는 데데킨드의 작업을 바탕으로, 갈릴레오와 볼차노가 무한 체계에 대해 관찰한 바를 확장하였다[5]. 데데킨드는 어떤 집합 (S) 가 **‘무한’**이라고 정의했는데, 이는 (S) 의 원소들을 적어도 하나의 진부분집합과 일대일 대응시킬 수 있을 때이다; 즉, 집합과 그 진부분집합이 같은 기수를 가진다[5,26,27]. 이 성질은 유한 집합에서는 성립하지 않으며, 파리와 커비에에 의해 페아노 산술(PA)에서 증명 불가능함이 밝혀졌다[46,59]. 그 증명은 초월 귀납법과 괴델의 제2불완전성 정리를 필요로 한다[46,59].

PA가 굿스틴 정리를 증명할 수 있다면, PA는 자체 일관성도 증명하게 되며 이는 괴델 제2정리를 위배한다[46]. 따라서 전통적으로 “PA는 굿스틴 정리를 증명할 수 없다”는 주장이 받아들여졌지만, 최근 연구[55]가 이를 반증함에 따라 ZFC의 모순 원인을 규명할 필요가 있다.

문제의 근원

문제는 ZFC 공리 자체의 서술에 있을 수도, 혹은 파리·커비에가 사용한 기본 개념(초월수 이론·수학적 불완전성) 중 하나에 있을 수도 있다. 본 논문은 이러한 핵심 개념들을 체계적으로 재검토한다.

1. 칸토어 수학 검토(제2절)
2. 칸토어의 비가산성 증명(제3절) – 논리적 모순과 오류를 지적하며 모든 주요 논거를 반박한다.
3. (P(\mathbb N)) 의 가산성을 증명하는 구성적 논증(제4절) – 이를 통해 실수 집합 (\mathbb R) 도 가산임을 보인다.

칸토어 증명의 반박과 가산성 입증은 수학 전반에 걸쳐 깊은 함의를 가진다.

• 제5절에서는 ‘잘못된 귀류법(redutio ad absurdum)’ 사용을 방지하기 위한 실용적 원칙을 제시한다.
• 제6절에서는 공리 체계 단순화와 무한 집합의 크기 비교를 위한 새로운 정의·원칙·추측들을 소개한다.

칸토어의 대각 논법은 논리학에서 널리 채택된 증명 기법이며, 괴델·코헨 등은 이를 불완전성 증명의 핵심으로 활용했다[3,59]. 본 논문은 대각 논법을 반박하고, 이를 바탕으로 한 산술 불완전성 증명들을 모두 무효화한다.

가산성에 기반한 산술 완전성

(P(\mathbb N)) 가 가산임을 이용해 일차 논리 산술의 완전성을 구성적으로 증명한다. 이는 앞서 제시된 반박들을 확인하고 힐베르트 프로그램을 복원한다[4,59].

또한, 굿스틴 정리에 대한 기존 증명[55]과 결합하면, 칸토어 수학이 제공하지 못했던 일관성을 확보한다.

무한성에 대한 칸토어의 핵심 아이디어

칸토어가 무한성을 다룰 때 가장 중요한 문제는 두 무한 집합 사이에 일대일 대응(bijection) 을 찾을 수 있는가 여부이다[2,5,35]. 그는 처음에 유리수 집합 (\mathbb Q) 와 자연수 집합 (\mathbb N) 이 같은 기수를 가진다는 사실을 증명했으며(밀도가 훨씬 높음에도 불구하고), 대수적 실수 집합에도 동일한 결론을 적용했다[2,6,44].

칸토어는 이러한 무한 집합을 **‘가산(denumerable)’**이라고 명명하였다.

그는 데데킨드와의 서신[28]에서, 실수 전체 집합 (\mathbb R) (대수적·초월적 모두)의 가산성을 입증하려는 반복 시도가 실패하면서, ‘(\mathbb R)’ 의 기수 (c) 가 (\mathbb N) 의 기수 (\aleph_0) 보다 클 수 있다는 가능성을 고민하게 되었다. 874년, 그는 중첩된 닫힌 구간을 이용한 귀류법으로 (c > \aleph_0) 를 주장하였다[6].

그 후, 초월수 이론(순서수·기수) 발전은 점점 더 큰 무한 집합이 존재한다는 가정에 전적으로 의존했다. 그는 처음에 실수선 → 2차원 평면 → 고차원 순으로 갈수록 더 큰 무한이 나타날 것이라 예상했지만[7,28], 실제로는 그렇지 않음을 발견하고(877년 “Je le vois, mais je ne le crois pas”) 놀라움을 표했다.

이러한 실패를 극복하기 위해 878년 대각 논법을 발표하였다[8,28]. 이 논법은 멱집합(power set) 의 기수가 원래 집합보다 크다는 칸토어 정리를 이용한다. 즉, 임의의 집합 (A) 에 대해 (|A| < |P(A)|) 이다. (\mathbb N) 에 적용하면 (|\mathbb N| < |P(\mathbb N)|) 즉 (\aleph_0 < 2^{\aleph_0}) 가 된다. (|\mathbb R| = |P(\mathbb N)|) 임을 증명함으로써 (c = 2^{\aleph_0} > \aleph_0) 를 다시 확인한다[35,49].

칸토어 정리는 멱집합을 반복 적용하면 무한히 큰 기수들의 연쇄를 만든다((|P(P(\mathbb N))| > |P(\mathbb N)|) 등). 이는 초월수 개념이 집합론 공리(ZF) 안에 필수적으로 자리 잡게 만든다[35,56].

연속 가설과 일반화 연속 가설

칸토어는 연속 가설(CH) 을 878년에 처음 제시하고, 평생 이를 증명하려 애썼다[7,23]. 선택 공리(AC)를 받아들일 경우, 모든 가능한 무한 집합의 기수는 알레프(ℵ) 체계로 완전히 기술된다[35,39]. 따라서 (c = \aleph_1), 즉 (\aleph_0) 다음의 가장 작은 무한 기수라고 가정하는 것이 자연스러웠다. 이는 일반화 연속 가설(GCH) 로 확장되어, 모든 알레프 (\aleph_\lambda) 에 대해 (2^{\aleph_\lambda} = \aleph_{\lambda+1}) 가 된다는 주장이다[35,56].

1930년 힐베르트는 CH와 잘 정렬 정리(WOT) 를 23대 문제 중 첫 번째로 선정하였다[5,40]. 그는 초월수 이론을 강력히 지지했으며, CH와 WOT의 해결이 집합론을 수학 이론의 근간으로 삼는 데 핵심이라고 보았다[39,40].

그러나 1936년 괴델은 AC와 GCH 가 ZF와 모순되지 않음을 증명했으며[32,33,35], 1963년 코헨은 AC의 부정 혹은 CH의 부정을 추가해도 ZF의 일관성이 유지된다는 결과를 얻었다[7,8,35]. 이로써 CH는 거짓이며, 연속체의 기수 (c) 가 (\aleph_2) 보다 클 가능성이 높다고 보는 현대 집합론자들이 다수이다[9,34,39].

복잡성의 근원과 대안

현재 집합론의 복잡성은 초월수를 수학 구조에 끌어들여야 하는 필요성에서 비롯된다. 만약 초월수 이론을 지지하는 논증이 결함이 있다면, 이러한 복잡성은 사라질 수 있다. 칸토어의 초월 체계는 크게 세 가지 핵심 결과에 의존한다.

1. 실수 집합 (\mathbb R) 의 비가산성 증명(874)
2. 대각 논법(878)
3. 칸토어 정리(멱집합 기수 증가)

이들 모두 귀류법에 기반하고 있으며, 현재까지 이를 대체할 결과는 제시되지 않았다.

귀류법 자체는 복잡하지 않다; 증명은 보통 몇 줄의 논리식으로 끝난다. 특히 대각 논법은 매우 짧다[8,28]. 이러한 단순함과 직관에 반하는 결론 때문에, 대각 논법은 지속적으로 의문을 받아왔지만 아직까지 성공적인 반박은 없었다[43].

본 논문은 새로운 접근법을 제시하여 칸토어의 비가산성 증명을 전면적으로 반박한다. 먼저 귀류법의 형식화를 논의하고, 그 한계를 명확히 한다.

3. 귀류법과 수학적 일관성

고대 그리스인들이 사용하고, 라이프니츠가 체계화한 **귀류법(reductio ad absurd

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