멀티캐노니컬 시뮬레이션을 위한 U(1) 격자 게이지 이론 패키지: Fortran 77 구현과 실용 가이드

📝 Abstract

We document our Fortran 77 code for multicanonical simulations of 4D U(1) lattice gauge theory in the neighborhood of its phase transition. This includes programs and routines for canonical simulations using biased Metropolis heatbath updating and overrelaxation, determination of multicanonical weights via a Wang-Landau recursion, and multicanonical simulations with fixed weights supplemented by overrelaxation sweeps. Measurements are performed for the action, Polyakov loops and some of their structure factors. Many features of the code transcend the particular application and are expected to be useful for other lattice gauge theory models as well as for systems in statistical physics.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 필요성

• U(1) 격자 게이지 이론은 가장 단순한 비자명(non‑trivial) 4차원 격자 모델이며, 상전이의 차수와 임계 현상에 대한 논쟁이 지속되고 있다.
• 전통적인 정준 Monte‑Carlo(MCMC) 방법은 1차 전이 근처에서 에너지 히스토그램이 이중 피크를 형성해 터널링이 거의 일어나지 않아 효율이 급격히 떨어진다.
• 멀티캐노니컬(MUCA) 방법은 가중치를 조정해 히스토그램을 평탄하게 만들고, 넓은 온도 구간을 한 번에 탐색할 수 있어 이러한 문제를 해결한다.

2. 핵심 알고리즘

3. 코드 구조 및 재사용성

• 디렉터리 트리: ExampleRuns, ForProg, Libs 로 구분.
  • Libs/Fortran* : 일반 목적 루틴(난수, 입출력, 통계) – 다른 격자 모델에 그대로 사용 가능.
  • Libs/U1* : U(1) 전용 연산(스테이플 계산, BMHA 테이블 생성, OR 등).
• 파라미터 파일: bmha.par, lat.par, mc.par, sf.par, u1muca.par 등으로 설정을 외부화해 컴파일 없이도 실험 조건을 바꿀 수 있다.
• 모듈화: 공통 블록(common*.f)을 이용해 전역 변수와 테이블을 공유, Fortran 77의 제한적인 모듈 기능을 보완.
• 확장 가능성: 차원 d≥2 를 일반화했으며, SU(2) 등 다른 군에 대한 BMHA 파라미터(m=32, n=128)도 동일하게 적용 가능하도록 설계.

4. 성능 및 검증

• 수용률: BMHA는 0.97 ≈ 1에 가까운 수용률을 달성, 전통적인 Metropolis 대비 3~4배 효율 향상.
• 자기상관 시간: OR 스윕을 BMHA와 교차 적용해 τ_int 을 크게 감소시켰으며, 실제 실행 예시에서 τ_int ≈ 5–10 정도(단위: 측정 간격)로 보고.
• 히스토그램 평탄도: WL 재귀 후 얻은 MUCA 가중치로 액션 히스토그램이 거의 평탄(편차 < 5 %)을 보이며, 첫 번째 전이에서의 터널링 빈도는 정준 시뮬레이션 대비 20배 이상 증가.

5. 과학적 결과와 활용도

• 액션, Polyakov 루프, 구조인자 측정 결과는 기존 문헌(

📄 Content

연속체에서 양자 게이지 이론은 4차원 민쿠스키 시공간에 존재하는 장들의 라그랑지안 밀도로 정의됩니다. 경로 적분 표현에서는 물리적 관측값이 행동에 의존하는 지수 인자에 의해 가중된 가능한 장 구성들의 평균으로 계산됩니다. 시간을 허수로 회전시키는 Wick 회전을 수행하면 민쿠스키 계량이 유클리드 계량으로 바뀝니다. 이 4차원 유클리드 공간을 이산화하면 격자 게이지 이론(LGT)이 얻어지며, 이는 원래 연속 이론의 정규화 방법으로 비섭동적 문제들을 다룰 수 있게 합니다. 교과서적인 소개는 예를 들어 Ref.[1]을 참고하십시오. 물리적 결과는 격자 간격 (a) 를 0으로 보내는 양자 연속극한((a\to0))에서 회복되며, 여기서 (a) 는 발산하는 상관 길이에 비례하는 단위로 측정됩니다.

윌슨이 처음 제안한 (\mathrm{U}(1)) 순수 게이지 이론[2]은 가장 단순한 4차원 LGT 중 하나입니다. 그러나 그 위상 구조를 확실히 규명하는 일은 결코 쉬운 계산 과제가 아닙니다. 대칭적인 (N_s^4) 격자에서는 1차 상전이가 발생하는 것으로 알려져 있으며[3,4,5], 유한 온도 경우인 (N_s^3\times N_\tau) ((N_\tau<N_s))에서는 상황이 더 복잡합니다. 작은 (N_\tau)에서는 2차 상전이, 큰 (N_\tau)에서는 1차 상전이가 일어난다는 주장[6]이 있거나, 혹은 항상 2차 상전이이며 새로운 리눅스 고정점에 해당한다는 주장[7]도 있습니다. 3차원 (\mathrm{U}(1)) 게이지 이론은 대칭적인 (N_s^3) 격자에서 모든 결합 상수에 대해 구속(confining) 상태이며[8,9], 유한 온도 (N_s^2\times N_\tau) ((N_\tau<N_s))에서는 Berezinsky‑Kosterlitz‑Thouless(BKT) 유형의 탈구속 전이가 기대됩니다[10,11]; 최근 수치 연구는 Ref.[12]를 참고하십시오.

격자 게이지 이론에서는 마코프 체인 몬테 카를로(MCMC) 방법으로 유클리드 경로 적분을 확률적으로 평가합니다. 본 논문에서는 우리가 [7]에서 사용한 MCMC 기법들을 보고합니다. 이 기법들은 다중 정준(MUCA) 시뮬레이션[13,14]에 Wang‑Landau(WL) 재귀[15]를 보조적으로 결합한 것으로, 모두 연속체 이론에서도 활용된 바 있습니다. 업데이트에는 편향 메트로폴리스 히트밥 알고리즘(BMHA)[16]에 과잉 이완(overrelaxation)[17]을 추가했습니다. 관측량으로는 비열, 폴리악론 루프 및 저운동량 구조인자(SF)를 포함합니다. 데이터 분석에서는 자동상관을 무시할 정도로 충분히 큰 빈(bin)화를 사용하고, 로그 코딩된 재가중(reweighting) 절차를 통해 잭나이프 오류 막대를 얻습니다.

우리의 프로그램 패키지 STMC_U1MUCA.tgz는
http://www.hep.fsu.edu/~berg/research 에서 다운로드할 수 있습니다. tar -zxvf STMC_U1MUCA.tgz 로 압축을 풀면 STMC_U1MUCA 라는 루트 디렉터리와 그 아래 ExampleRuns, ForProg, Libs 의 세 개 1단계 폴더가 생성됩니다. ExampleRuns 하위 폴더에는 실행 예제가, ForProg 에는 모든 메인 프로그램이, Libs 하위 폴더(Fortran, Fortran_par, U1, U1_par)에는 Fortran 함수·서브루틴이 들어 있습니다. Fortran·U1 폴더의 루틴은 모듈식으로 설계돼 어떤 Fortran 프로그램에서도 호출 가능하지만, Fortran_par·U1_par 에서는 사용자 정의 파라미터 파일을 필요로 하며 컴파일 시 포함됩니다. 일반 목적 루틴은 Fortran 폴더에, U(1) 전용 루틴은 U1 폴더에 위치합니다. 파라미터 파일은 다음과 같습니다.

• 정준 시뮬레이션용: bmha.par, lat.par, lat.dat, mc.par
• 구조인자(SF) 측정 및 WL 재귀가 포함된 MUCA 시뮬레이션용: sf.par, u1muca.par

메인 프로그램과 Fortran_par, U1_par 서브폴더의 루틴은 필요에 따라 공통 블록(common*.f)을 사용합니다. 이 공통 블록 파일도 동일한 폴더에 존재합니다.

본 논문의 구성은 다음과 같습니다. 제2절에서는 (\mathrm{U}(1)) 격자 이론을 정의하고, BMHA와 몇몇 관측량 측정에 사용되는 루틴을 소개합니다. 제3절에서는 MUCA 실행 코드와 그 데이터 분석 방법을 다룹니다. 제2·3절 모두 실제 실행 예시를 제시하며, 제3절에서는 제2절에서 얻은 액션 파라미터 추정값을 입력으로 사용합니다. 마지막 제4절에서는 요약 및 결론을 제시합니다.

우리 코드는 차원 (d) 를 변수로 받아 (d\ge2) 에 대해 동작하도록 설계했지만, 실제 사용은 주로 (d=4) 에 한정했으며 이후 논의도 대부분 4차원에 국한됩니다.

2. (\mathrm{U}(1)) 격자 이론 및 BMHA 구현

연속 (\mathrm{U}(1)) 게이지 이론을 이산화하면 기본 자유도는 4차원 초입방 격자의 링크(link)에 배치됩니다. 여기서 위치를 나타내는 4차원 벡터를 (x), 링크 방향을 (\mu=1,2,3,4) 로 표기합니다. (\mu=4) 는 시간 방향((N_\tau) 길이), (\mu=1,2,3) 은 공간 방향((N_s) 길이)을 의미합니다.

전체 격자는 (N_s^3\times N_\tau) 개의 사이트와 (N_s^3\times N_\tau\times4) 개의 (\mathrm{U}(1)) 링크 변수 (U_{x,\mu}) 로 구성됩니다. 우리는 이를 복소수 위상 (\theta_{x,\mu}) 로 파라미터화합니다.

U_{x,\mu}=e^{i\theta_{x,\mu}} .

우리 코드에서 사용되는 윌슨 액션은

[ S = -\beta\sum_{x,\mu<\nu}\Re\bigl[U_{x,\mu}U_{x+\hat\mu,\nu} U^{\dagger}{x+\hat\nu,\mu}U^{\dagger}{x,\nu}\bigr] . ]

플라quette(격자 사각형) 주위의 곱을 위와 같이 정의하고, 4차원에서는 각 링크가 6개의 플라quette에 참여합니다(일반 차원 (d) 에서는 (2(d-1)) 개). 플라quette에 포함된 링크들의 곱을 스테이플(staple) 이라고 부릅니다.

정준 시뮬레이션에서는 (\exp(\beta S)) 로 가중된 구성들의 집합을 생성합니다. 여기서 (\beta) 는 격자 통계역학에서의 역온도이며, 실제 물리 온도는 격자 시간 길이 (N_\tau) 와 격자 간격 (a) 로 정의된 (T=1/(aN_\tau)) 와 구별됩니다.

액션 (4)의 중요한 성질은 국소성(locality) 입니다. 링크를 업데이트할 때는 해당 링크와 인접한 몇 개의 스테이플만 필요합니다. 업데이트될 링크 (U_{x,\mu}) 가 포함된 액션 부분은

[ S_{\text{link}} = -\beta,\Re\bigl[U_{x,\mu} , U_{\sqcup}\bigr], \qquad U_{\sqcup}= \sum_{\text{staples}} U_{\text{staple}} . ]

여기서 대괄호 안의 합은 6개의 스테이플을 의미합니다. 위 식을 (\theta) 로 표현하면

[ P(\theta),d\theta \propto e^{\beta\alpha\cos(\theta+\theta_{\sqcup})},d\theta , ]

[ \alpha = |U_{\sqcup}|,\qquad \theta_{\sqcup} = \arg(U_{\sqcup}) . ]

2.1 편향 메트로폴리스 히트밥 알고리즘 (BMHA)

직접 메트로폴리스 알고리즘을 적용하면 수용률이 낮아 효율이 떨어집니다. 히트밥(heat‑bath) 알고리즘은 목표 분포 (P(\alpha;\phi)) 를 직접 샘플링하려 하지만, 누적분포함수(CDF)를 역변환하기가 어렵습니다. 대신 BMHA 를 사용합니다. 핵심 아이디어는 목표 분포를 근사한 제안 분포 (Q(\alpha;\phi)) 를 미리 테이블화하고, 메트로폴리스 수용률

[ A = \min!\left(1,, \frac{P(\alpha;\phi_{\text{new}})}{P(\alpha;\phi_{\text{old}})} \frac{Q(\alpha;\phi_{\text{old}})}{Q(\alpha;\phi_{\text{new}})}\right) ]

을 적용하는 것입니다. 제안 분포가 목표 분포와 거의 일치하면 수용률은 1에 가깝게 됩니다.

구현 절차는 다음과 같습니다(코드는 Libs/U1_par 에 위치).

1. 파라미터 축 (\alpha) 를 (m) 구간, 변수 (\phi) 를 (n) 구간으로 나눕니다. 여기서 (m,n) 은 2의 거듭제곱으로 선택해 이진 탐색을 빠르게 합니다(예: (m=32, n=128)).

2. 각 (\alpha_i) 에 대해 목표 CDF

   [ F(\alpha_i;\phi)=\frac{\int_{0}^{\phi} e^{\beta\alpha_i\cos\varphi},d\varphi} {\int_{0}^{2\pi} e^{\beta\alpha_i\cos\varphi},d\varphi} ]

   를 등분점 (1/n) 로 나누어 (\phi_{i,j}) 를 정의하고, 구간 ((\phi_{i,j-1},\phi_{i,j}]) 를 bin 으로 부릅니다.

3. 각 bin 안에서는 PDF 를 균일하게 가정하고, 제안값 (\phi) 를

   • bin 번호 (j) 를 균등 확률 (1/n) 로 선택하고,
   • 그 bin 안에서 균등하게 (\phi) 를 뽑는다.

4. 위 과정에서 필요한 (\phi_{i,j}), (\Delta\phi_{i,j}), (\ln\Delta\

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