“최적의 압축·정밀도: 2n 비트만으로 상수 시간 RMQ 구현”

📝 Abstract

For a static array A of n ordered objects, a range minimum query asks for the position of the minimum between two specified array indices. We show how to preprocess A into a scheme of size 2n+o(n) bits that allows to answer range minimum queries on A in constant time. This space is asymptotically optimal in the important setting where access to A is not permitted after the preprocessing step. Our scheme can be computed in linear time, using only n + o(n) additional bits at construction time. In interesting by-product is that we also improve on LCA-computation in BPS- or DFUDS-encoded trees.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 문제 정의

• RMQ는 텍스트 인덱싱, 압축, 문서 검색 등 다양한 분야에서 핵심적인 서브루틴이다.
• 입력 배열이 정적이고 사전 처리 후 상수 시간 질의를 목표로 한다면, 두 가지 설계 방향이 있다.
  1. 시스템식(syst​ematic) – 배열 A 를 그대로 저장하고 추가 구조를 덧붙인다.
  2. 비시스템식(non‑systematic) – A 를 전혀 보관하지 않고 질의만으로 최소값 위치를 반환한다.

비시스템식은 특히 LCP‑배열처럼 접근 비용이 높은 경우와, 최소값 위치만 필요한 응용(문서 검색, 제한된 패턴 매칭)에서 메모리 절감 효과가 크다.

2. 기존 접근법과 한계

주요 문제점

1. 공간 하한 미달 – 비시스템식이라면 최소 2n − Θ(log n) 비트가 필요함에도 4n 비트가 사용됨.
2. 구축 메모리 – 기존 비시스템식은 포인터 기반 트리를 만든 뒤 BPS 로 변환해야 하므로 O(n log n) 비트가 필요, 대규모 데이터에 비현실적.

3. 논문의 핵심 기여

3.1 새로운 비시스템식 스킴 (2n + o(n) 비트)

• 새 트리 구조: 전위 번호(preorder)와 배열 인덱스를 1:1 매핑하도록 설계. 이를 통해 “가짜” 리프를 도입할 필요가 사라짐.
• LCA ↔ RMQ 변환: 기존 Cartesian Tree 기반 변환을 그대로 유지하되, 트리 인코딩을 BPS 혹은 DFUDS 로 압축하면서도 전위 번호 매핑을 보존.
• 정보‑이론적 최적: 비시스템식 하한 2n − Θ(log n) 비트를 거의 달성, 차이는 o(n) 수준.

3.2 선형 시간·선형 공간 구축 알고리즘

• 단일 패스 스캔: 배열을 한 번 순회하면서 새 트리의 구조와 필요한 비트 스트림을 동시에 생성.
• 추가 메모리: 기존 O(n log n) 비트 대신 n + o(n) 비트만 사용, 이는 입력 배열 A 가 이미 압축된 경우에도 크게 절감.

3.3 LCA‑계산을 위한 2차 항 개선

• 기존 LCA 지원 구조는 O(n log log n log n) 비트를 필요로 했으나, 논문은 O(n log log n log n) 로 동일하면서도 실제 상수 인자를 절반으로 감소시킨 구현을 제시.
• 이는 전체 스킴의 o(2n) → o(n) 로의 전환을 가능하게 함.

4. 이론적·실용적 의미

1. 공간 효율성: 인간 게놈(≈2³²) 같은 초대형 데이터에 대해 2 배 이상의 메모리 절감이 가능.
2. 구축 가능성: O(n) 메모리만으로도 구축 가능하므로, 제한된 RAM 환경(예: 모바일, 임베디드)에서도 적용 가능.
3. 다른 구조와의 호환성: 압축된 LCP‑배열, 압축 suffix‑tree 등과 결합 시 전체 인덱스 크기를 크게 줄인다.
4. 알고리즘 설계 패러다임: “전위 번호와 배열 인덱스의 동기화”라는 아이디어는 다른 순서‑민감 구조(예: RMQ‑기반 range‑sum, range‑max)에도 확장 가능성을 시사한다.

5. 한계 및 향후 연구 방향

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📄 Content

배열 A[1, n]에 대한 범위 최소 질의(RMQ)와 그 효율적인 전처리 스킴에 관한 한국어 번역 (2000자 이상)

배열 (A[1,n])이 (n)개의 자연수(또는 전순서가 정의된 다른 객체)로 이루어져 있다고 하자.
(i\le j)인 경우에 범위 최소 질의 ( \operatorname{rmq}_A(i,j) )는 부분배열 (A[i,j]) 안에서 최소 원소가 나타나는 위치를 반환한다; 즉

[ \operatorname{rmq}A(i,j)=\operatorname*{arg,min}{i\le k\le j}{A[k]}. ]

이 기본적인 알고리즘 문제는 텍스트 인덱싱[1,15,36], 텍스트 압축[7], 문서 검색[31,37,42], 흐름 그래프[19], 범위 질의[40], 위치 제한 패턴 매칭[8] 등 다양한 분야에서 활용된다(몇 가지만 예시로 든 것이다).

위의 모든 응용에서 RMQ가 수행되는 배열 (A)는 사전에 고정되어 있으며 미리 알려져 있다. 본 논문에서도 바로 이 상황을 가정한다. 따라서 (A)를 미리 전처리하여 이후에 들어오는 RMQ를 상수 시간에 답할 수 있는(가능하면 작은) 자료구조, 즉 전처리 스킴(scheme) 을 구축하는 것이 의미가 있다. 이를 다음과 같이 정리할 수 있다.

입력 : 전순서가 정의된 객체들로 이루어진 정적 배열 (A[1,n])
출력 : (A)에 대해 상수 시간으로 RMQ를 답할 수 있는(가능하면 작은) 자료구조(스킴)

역사적으로 최초의 전처리 스킴은 Gabow 등[16]에 의해 제시되었으며, 그 핵심 아이디어는 RMQ 인스턴스를 카르테시안 트리(Cartesian Tree)[43]의 최소 공통 조상(LCA) 문제로 변환할 수 있다는 점이다. 따라서 O(1) LCA를 위한 선형 시간 전처리 기법[3,5,23,41]을 그대로 이용하면 RMQ를 상수 시간에 해결할 수 있다.

하지만 이 변환 과정에는 두 가지 난관이 있다.

1. 카르테시안 트리를 라벨과 포인터를 포함한 형태로 명시적으로 저장하면 (O(n\log n)) 비트가 필요하다.
2. 트리를 **압축 형태(2n+o(n) 비트)[4,30]**로 저장하면 배열 인덱스와 트리 노드 사이의 매핑을 수행하기가 어렵다(섹션 1.1에서 자세히 다룸).

1. 압축 자료구조와 본 논문의 기여

압축(또는 succinct) 자료구조는 정보 이론적 하한에 근접한 공간을 사용한다. 즉, 원소 개수가 (L)인 우주에서 객체를 ((1+o(1))\log L) 비트 안에 저장한다는 의미다. 최근 트리[4,9,18,26,30,39], 사전[33,34], 문자열[10,11,21,22,35,38] 분야에서 활발히 연구되고 있다. 본 논문은 표준 워드‑RAM 모델(모든 인용 논문이 사용한 모델)에서 O(1) RMQ를 지원하는 최초의 압축 자료구조를 제시한다.

2. 체계적 스킴 vs. 비체계적 스킴

공통 용어[17]에 따라 O(1) RMQ 전처리 스킴은 체계적(systematic) 과 비체계적(non‑systematic) 두 종류로 구분된다.

비체계적 스킴이 중요한 이유는 두 가지이다.

1. 값이 필요 없는 경우 – 문서 검색[31,37]이나 위치 제한 서브스트링 매칭[8]에서는 최소값의 위치만 필요하고 실제 값은 무시한다. 이때 체계적 스킴은 불필요하게 (A)를 메모리에 유지하게 된다.
2. 접근 비용이 큰 경우 – LCP‑array[27]와 같이 (A)의 원소 접근이 (\omega(1))이라면, 체계적 스킴은 그 비용을 그대로 질의 시간에 전이시킨다. 압축된 LCP‑array을 2n+o(n) 비트로 저장하면 접근 시간은 최소 (\Omega(\log_{\varepsilon} n))가 된다(여기서 (\varepsilon>0)는 상수). 따라서 체계적 스킴으로는 LCP‑array에 대한 O(1) RMQ를 구현할 수 없으며, 이는 압축된 suffix‑tree[15]의 상수 시간 탐색에 필수적이다.

3. 기존 솔루션 개관

3‑1. 체계적 스킴

대부분의 기존 체계적 스킴은 카르테시안 트리에 기반한다(Alstrup 등[2]만 예외). 직접적인 스킴[2,3,13,36]은 질의 구간을 사전에 계산된 여러 서브‑쿼리로 분할하고, 그 결과를 조합해 최종 최소값을 반환한다.

• Bender 등[3]의 스킴은 이전보다 복잡도가 낮다.
• Alstrup 등[2]는 구현이 가장 간단하고 실용적이다.
• Fischer‑Heun[13]은 2n + o(n) 비트(입력 배열 제외)만을 사용한다. 이 스킴은 매우 작은 블록에 대해서만 카르테시안 트리를 “암묵적으로” 열거하고, 압축 가능한 입력에 대해 엔트로피 한계까지 확장 가능하다.
• ±1 RMQ(연속 차이가 ±1인 경우) 전용으로 Sadakane[36]이 제시한 n + o(n) 비트 솔루션도 있다(섹션 2.2에서 상세히 다룸).

3‑2. 비체계적 스킴

현재 알려진 비체계적 스킴은 Sadakane[37] 하나뿐이며, 4n + o(n) 비트를 사용한다. 이 방법은 카르테시안 트리 (T)를 균형 괄호(BPS) 로 인코딩하고, 그 위에 o(n)‑LCA 기법[36]을 적용한다. 하지만 두 가지 큰 단점이 있다.

1. 가짜 리프(fake leaf) 를 도입해 매핑을 만들었기 때문에 정보 이론적 하한인 (2n‑\Theta(\log n)) 비트에 못 미친다.
2. 구축 시 메모리 사용량이 (O(n\log n)) 비트에 달한다. 포인터 기반 트리를 만든 뒤 BPS로 변환해야 하므로, 각 노드당 (O(\log n)) 비트가 필요하다. 또한, 배열에 작은 변화를 주어도 트리 구조가 전역적으로 바뀔 수 있어 O(n) 시간에 직접 BPS를 만들 수 있는 알고리즘이 알려져 있지 않다.

4. 본 논문의 주요 결과

위 두 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 기여를 한다.

1. 새로운 비체계적 스킴을 제시한다. 이 스킴은 2n + o(n) 비트만을 차지하며, 비체계적 스킴에 대한 정보 이론적 하한을 처음으로 점근적으로 달성한다.
2. 직접적인 구축 알고리즘을 설계한다. 이 알고리즘은 최종 스킴 외에 n + o(n) 비트만을 추가로 사용한다. 따라서 기존 O(n log n) 비트 요구량을 O(n) 비트로 크게 낮춘다. 이는 입력 배열 (A)가 압축된 형태(예: 정수 범위가 ([1,\log^{O(1)} n])인 경우)일 때 특히 유용하다.

우리 스킴이 Sadakane[37]보다 우수한 이유는 노드의 전위 번호(preorder number)가 배열 인덱스와 일대일 대응하도록 설계된 새로운 트리, 즉 2d‑Min‑Heap에 기반하기 때문이다. 따라서 가짜 리프를 도입할 필요가 없으며, 전위 순서와 배열 인덱스가 자연스럽게 연결된다.

5. 정리된 정리(Theorem 1)

정리 1
전순서가 정의된 우주에서 온 (n)개의 객체로 이루어진 배열 (A)에 대해,

• 전처리 스킴은 2n + O(n log log n · log n) 비트만을 차지하고,
• 구축 후에는 배열 (A)에 접근할 필요가 없으며,
• RMQ를 상수 시간에 답할 수 있다.
  또한 이 스킴은 O(n) 시간에 구축 가능하고, 구축 과정에서 추가로 n + o(n) 비트만을 사용한다.

이 결과는 이론적으로는 물론 실용적으로도 큰 의미가 있다. 예를 들어 DNA 서열(알파벳 크기 (\sigma=4))을 비압축 형태로 저장하면 2n 비트가 필요하고, Sadakane[37]의 4n 비트보다 절반만 차지한다. 인간 게놈 규모((n\approx2^{32}))를 고려하면 O(n log n) 비트의 구축 공간은 DNA 자체를 저장하는 O(n log σ) 비트보다 훨씬 크다. 또한, 하위 항목(o(2n) vs. o(4n)) 역시 절반으로 줄어들어 실제 문제 크기에서 큰 이득을 제공한다. 구현 코드는 다음 URL에서 다운로드할 수 있다.

http://www-ab.informatik.uni-tuebingen.de/people/fischer/optimalRMQ.tgz

6. 기본 도구들 (섹션 2)

6‑1. Rank·Select 연산

길이 (n)인 비트 문자열 (S[1,n])에 대해

• rank(_1)(S,i) : 앞쪽 (i)개의 비트 중 ‘1’의 개수
• select(_1)(S,i) : 왼쪽부터 (i)번째 ‘1’이 나타나는 위치

‘0’에 대해서도 동일하게 정의한다. 이러한 연산을 O(1) 시간에 지원하는 자료구조는 **(O(n\

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