희소 스프레딩 CDMA: 통계역학으로 밝힌 최대우도 디코딩의 새로운 지평

📝 Abstract

Sparse Code Division Multiple Access (CDMA), a variation on the standard CDMA method in which the spreading (signature) matrix contains only a relatively small number of non-zero elements, is presented and analysed using methods of statistical physics. The analysis provides results on the performance of maximum likelihood decoding for sparse spreading codes in the large system limit. We present results for both cases of regular and irregular spreading matrices for the binary additive white Gaussian noise channel (BIAWGN) with a comparison to the canonical (dense) random spreading code.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 멀티유저 통신에서 CDMA는 사용자마다 고유한 시그니처 코드를 부여해 동일 대역폭을 공유하도록 설계된 핵심 기술이다. 전통적인 CDMA는 밀집 스프레딩(모든 칩에 비제로 값) 방식을 사용해 왔으며, 이는 복잡한 디코딩과 높은 전력 소모를 초래한다.
• 희소 CDMA는 이러한 문제를 완화하고, 특히 주파수·시간 호핑(FH/TH‑CDMA) 환경에서 전송 충돌을 감소시키는 장점이 있다. 하지만, 사용자 간 동기화와 전력 제어가 어려워 실제 적용에 제약이 있다.

2. 이론적 접근법

• **복제법(replica analysis)**을 기반으로 한 통계역학 모델을 채택한다. 이는 무작위 밀집 CDMA에 대한 Tanaka(2002)의 분석을 확장한 것으로, 희박(disordered dilute) 시스템 이론을 적용한다.
• 시스템은 **열역학적 극한(N→∞, K/N=α 고정)**에서 분석되며, 해밀토니안과 분배함수를 정의해 MAP 디코더의 성능 지표(비트 오류율, 상호 정보 등)를 도출한다.

3. 코드 집합(Ensemble) 설계

• Irregular는 일부 사용자가 전혀 연결되지 않아 전송 실패가 발생한다.
• Partly‑regular는 사용자 연결을 보장하지만, 칩 중 일부는 비어 있어 대역폭 활용도가 낮다.
• Regular는 양쪽 모두 연결을 보장해 효율 최적화를 달성한다.

4. 주요 결과 및 해석

4.1. 성능 비교

• BER: 정규 희소 코드는 고잡음(σ² 큰) 구간에서 밀집 코드보다 약 1~2 dB 이득을 보인다. 이는 칩당 연결 수 L가 작아도 충분한 정보가 전달되기 때문이다.
• 해의 공존 현상: Tanaka가 제시한 두 개의 안정 해(고성능·저성능) 사이 전이 현상이 희소 코드에서는 덜 빈번하고, 전이 구간이 좁아진다. 이는 디코딩 알고리즘이 지역 최소점에 빠질 위험이 감소함을 의미한다.

4.2. 베일리프 전파(BP) 적용

• 희소 구조는 인접 행렬이 매우 희박하므로, BP 메시지 전달이 O(K·C) 연산으로 가능해진다(밀집 경우 O(K·N)).
• 실험 시 수렴 속도가 5~10 회 반복으로 충분했으며, 이는 전력 소모와 실시간 구현에 큰 장점을 제공한다.

4.3. 실용적 고려사항

• 동기화 문제: 실제 uplink에서는 사용자 간 전송 타이밍을 맞추기 어려워, FH‑CDMA·TH‑CDMA와 같은 프리‑디지털 환경에서 희소 CDMA가 더 적합하다.
• 전력 제어: 정규 코드에서는 모든 사용자·칩이 동일한 연결 수를 갖기 때문에 전력 균등화가 용이하지만, 구현 시 채널 페이딩을 고려한 추가 보정이 필요하다.

5. 강점 및 한계

6. 향후 연구 방향

1. 비동기·비정상 전력 환경에서의 희소 CDMA 모델링 및 복원 알고리즘 개발.
2. 비가우시안 잡음(예: 레이리·임펄시브 잡음) 하에서의 성능 분석 및 강인 디코더 설계.
3. 분산형 정규 코드 생성을 위한 프로토콜(예: 블록 체인 기반 협의) 연구, 실시간 네트워크 적용 가능성 탐색.
4. 복제법 대안으로 수학적 엄밀성을 갖춘 스펙트럼 방법(예: Guerra’s interpolation) 적용 검증.
5. 하드웨어 구현: FPGA/ASIC 기반 BP 디코더의 전력·지연 특성 측정 및 최적화.

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📄 Content

다중 사용자 통신 분야는 이론적·공학적 관점 모두에서 큰 관심을 받고 있습니다[1].
코드 분할 다중 접속(Code Division Multiple Access, CDMA)은 여러 사용자가 채널 자원을 효율적이고 견고하게 이용하도록 하는 대표적인 방법이며, 현재 무선 통신에서 채널 자원을 할당하는 주요 표준에 중요한 역할을 하고 있습니다. CDMA는 각 사용자가 고유한 서명 코드를 이용해 신호를 인코딩함으로써, 대부분의 대역폭을 동시에 여러 사용자가 전송할 수 있게 함으로써 채널 자원을 매우 효율적으로 활용합니다. 이러한 코드들의 특성을 이용하면 채널 안의 정보를 해석할 수 있으며, CDMA 연구의 많은 부분은 효율적인 코드와 복호화 방법을 개발하는 데 초점을 맞추고 있습니다.

본 논문에서는 원래 방법의 변형인 희소 CDMA(sparse CDMA) 를 연구합니다. 여기서는 전파 행렬에 비제로 원소가 상대적으로 적은 경우를 다루며, 이는 [2]에서 처음 연구·동기화되었습니다. 희소 CDMA 기법을 직접적으로 업링크 다중 접속 통신에 적용하는 것은 전송을 동기화하기 어려워 제한적이지만, 주파수 호핑(Frequency Hopping) 및 시간 호핑(Time Hopping) 에서는 매우 유용합니다.

• **주파수 호핑 CDMA(FH‑CDMA)**에서는 전송 중에 주파수를 반복적으로 전환하여 도청이나 전파 방해(jamming)의 효과를 최소화합니다. 어느 순간이든 각 사용자는 무한히 많은 M‑ary 주파수 변조(MFSK) 칩/반송파 쌍 중에서 제한된(유한한) 수만 차지합니다(증폭도 G가 주어지면 전체 칩‑주파수 쌍 수는 MG). 호핑은 무작위이거나 사전에 계획될 수 있으며, 좁은 주파수 대역에서 데이터 전송이 끝난 뒤에 이루어집니다.

• **시간 호핑 CDMA(TH‑CDMA)**에서는 의사 잡음(pseudo‑noise) 시퀀스가 각 사용자의 전송 시점을 정의합니다. 초광대역 임펄스 통신 시스템에서 사용될 경우, 이는 희소 CDMA로 볼 수 있으며, 희소 시간 호핑 시퀀스는 전송 간 충돌을 감소시킵니다.

본 연구는 Tanaka의 기념비적 논문[3]과 최근 확장 연구[4]를 따라 무작위 전파 CDMA에 대한 복제(replica) 분석을 활용합니다. 이 분석은 이산 입력을 갖는 경우에 대해 최대 사후 확률(Maximum A Posteriori, MAP), 주변 사후 최대화(Marginal Posterior Maximiser, MPM), 최소 평균 제곱오차(MMSE) 등 여러 탐지기(detector)의 특성을 규명했습니다.

희소 전파 CDMA는 전통적인 밀집 전파(dense spreading) CDMA와 달리, 각 사용자가 전체 칩이 아니라 소수의 칩에만 전송한다는 점에서 차별됩니다. 이러한 희소성은 희박(disordered) 시스템의 통계 물리학[5,6]을 적용해 전형적인 경우의 특성을 연구하는 데 유리합니다.

기존 연구와 한계

• 실제(가우시안) 입력 심볼에 대해 **가우시안 유효 매질 근사(Gaussian Effective Medium Approximation)**를 사용해 희소 CDMA의 전송 가능성을 입증한 바 있습니다[2].
• 별도 연구에서는 신념 전파(belief propagation, BP) 알고리즘과 이진 입력 사전분포를 이용해 희소 CDMA가 밀집 CDMA 결과를 증명하는 경로로 제시되었습니다[7]. 이때 **워터폴 현상(waterfall phenomenon)**이 관찰되었는데, 이는 잡음 파라미터가 변함에 따라 두 개의 통계적으로 구별되는 해 사이에 동적 전이가 발생하는 현상입니다.
• 신념 전파를 MPM 복호화 방법으로 활용한 연구[8‑11]와 LDPC와 CDMA를 결합한 연구[12]도 존재하지만, 대부분 극단적인 희석(dilution) 영역—칩 기여 수는 크지만 O(N) 수준은 아닌 경우—에 초점을 맞추고 있습니다.

본 연구의 동기

희소 전파 CDMA에 대한 이론적 연구는 아직 몇 가지 중요한 점에서 부족합니다.

1. 포아송 분포를 따르는 비제로 원소 수를 가진 전파 코드는 사용자가 어떤 칩에도 기여하지 않을 확률이 존재해, “전송하지 않는 사용자”가 발생합니다[2].
2. “부분적으로 정규(partly regular)” 코드[7]에서도 칩 연결성이 포아송 분포이기 때문에 일부 칩에 기여자가 없으며, 이는 대역폭 활용 효율을 저하시킵니다.

이에 우리는 정규(regular) 서명 코드를 도입합니다. 정규 코드는 칩당 사용자 수와 사용자당 칩 수가 모두 고정된 정수값을 갖도록 제약함으로써 위 문제를 회피합니다. 또한 가우시안 근사 없이 분석·수치 계산을 수행하여, 통계역학의 최신 도구를 이용해 이진 사전 전송 과정의 본질을 보다 명확히 밝힙니다. 특히 다음 두 가지 질문에 초점을 맞춥니다.

• 디코딩 상태 공간은 어떻게 구성되는가?
• 희소와 밀집 코드가 다양한 잡음 수준에서 상대적으로 어떤 성능을 보이는가?

특히 Tanaka가 제시한 해의 공존(coexistence) 현상이 희소 코드에서도 동일하게 나타나는지, 그리고 밀집 코드 대비 전이점(transition point) 근처에서 어떻게 달라지는지를 조사합니다.

주요 결과 요약

• 정규 희소 전파 CDMA 코드는 고잡음 영역에서 비트 오류율(bit error rate)이 개선되고, 해의 공존 현상이 덜 퍼지는 등 몇몇 면에서 밀집 코드보다 우수함을 보였습니다.
• 신념 전파(BP)를 적용하면 계산 속도와 메모리 요구량이 크게 감소[13]하므로 전력 소모 측면에서도 장점이 있습니다.
• 실제 구현 시 동기화 문제와 전력 제어(power control) 등 실용적인 과제가 남아 있어, 이러한 장점을 완전히 활용하려면 추가 연구가 필요합니다.

논문의 구성

1. 제2절 – 일반적인 프레임워크와 표기법 소개
2. 제3절 – 각 코드(불규칙, 부분 정규, 정규)별 방법론 제시
3. 제4절 – 주요 결과 제시
4. 제5절 – 결론 및 향후 과제

1. 서론에 대한 시각화 (Figure 1)

그림 1. 이중 그래프(bipartite graph)는 문제를 시각적으로 이해하는 데 유용합니다.

• 하단의 사용자 노드 i는 인접한 팩터 노드(∂i)와 연결되어 다른 변수와 상호작용합니다.
• 팩터 노드(µ)는 인접한 이득 계수 ξµ(=s의 비제로 성분)와 yµ(=노이즈 ωµ와 인접 비트 bµ, ξµ의 함수)로 조건화됩니다(비트에 대한 균일 사전 가정).
• 통계역학적 재구성 문제는 사용자 노드에 동적 변수 τ를 할당하고, 팩터를 통해 상호작용하도록 합니다.
• 이 시스템의 열역학적 평형 상태는 **최적 탐지기(optimal detector)**의 이론적 성능을 기술합니다.

2. 시스템 모델

표준 CDMA 모델을 고려합니다. 여기서는 K명의 사용자가 N개의 칩으로 구성된 한 비트 구간에 전송한다고 가정합니다. 전력 제어와 동기화가 완벽히 이루어졌으며, 단일 비트 구간만을 다룹니다. 수신 신호 y는 다음과 같이 표현됩니다.

[ \mathbf{y}= \sum_{k=1}^{K} \mathbf{s}_k b_k + \boldsymbol{\omega} ]

• (\mathbf{s}_k) : 사용자 k의 전파 코드 (벡터)
• (b_k = \pm 1) : 사용자 k가 전송한 비트 (이진 입력)
• (\boldsymbol{\omega}) : 잡음 벡터

전파 코드는 희소(sparse) 하므로, 평균적으로 각 (\mathbf{s}_k)의 비제로 원소는 C개입니다. 서명 행렬 s가 알려져 있다고 가정하고, 채널 잡음이 분산 (\sigma_0^2/\beta)인 백색 가우시안(white Gaussian) 잡음이라고 하면, 베이즈 정리를 이용해 전송 비트 (\boldsymbol{\tau})에 대한 사후 확률은

[ P(\boldsymbol{\tau}\mid \mathbf{y},\mathbf{s}) \propto \exp!\Big[-\frac{\beta}{2\sigma_0^2}\big|\mathbf{y}-\mathbf{s}\boldsymbol{\tau}\big|^2\Big], \prod_{k} P(\tau_k) ]

가 됩니다. 여기서 (P(\tau_k))는 비트에 대한 사전 분포이며, 모든 사용자가 동일한 편향 (h_k = H)을 가진다고 가정합니다(최대 전송률은 무편향 (H=0)일 때).

이 시스템은 팩터(타너) 그래프(그림 1)로도 표현될 수 있으며, 열역학적 극한인 (N\to\infty)이면서 부하 (\alpha = K/N)는 고정된 경우를 다룹니다. 여기서 (\alpha)는 많은 CDMA 논문에서 (\beta)로 표기되지만, 본 논문에서는 통계역학적 의미의 역온도(inverse temperature) (\beta)를 별도로 사용합니다.

모든 코드 집합에 대해 L을 각 칩에 기여하는 평균 사용자 수, C를 각 사용자가 기여하는 평균 칩 수라고 정의하면

[ \alpha = \frac{K}{N}= \frac{L}{C} ]

가 성립합니다. (\alpha>1)인 경우는 과포화(over‑saturated) 라고 부르며, 한 칩당 여러 비트가 전송되는 상황을 의미합니다.

3. 코드 집합(Ensembles)

우리는 불규칙(irregular), 부분 정규(partly regular), 정규(regular) 세 가지 코드 집합을 고려합니다. 각 집합은 서명 행렬 s의 팩터(칩) 차수와 변수(사용자) 차수에 대한 제약이 다릅니다.

[ P(\mathbf{s}) = \frac{1}{\mathcal{N}} , P(L),P(C),\prod_{\mu,k} P(s

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