양자 코히어런스가 만든 ‘레트랙트’ – 구동된 보스 아인슈타인 응축체에서의 방향성 전류

📝 Abstract

We study the response of a Bose-Einstein condensate to an unbiased periodic driving potential. By controlling the space and time symmetries of the driving we show how a directed current can be induced, producing a coherent quantum ratchet. Weak driving induces a regular behavior that is strongly governed by the interparticle interaction. Breaking both space and time symmetries is required to produce current flow. For strong driving the behavior becomes chaotic. The resulting effective irreversibility renders the space asymmetry sufficient to produce the ratchet effect, although the system is completely coherent.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 의의

• 레트랙트(Ratchet) 현상은 외부 편향 없이도 비대칭적인 구동을 통해 물질을 한쪽 방향으로 이동시키는 메커니즘으로, 고전적인 ‘플래싱’·‘로킹’ 레트랙트와 달리 양자·코히어런트 시스템에서도 가능함을 보여준다.
• 기존 연구(예: 양자 킬드 로터, 양자 공명 레트랙트)는 주로 펄스형(킥) 구동에 의존했으며, 이는 히팅(열 발생)과 비축축축을 초래한다. 본 논문은 연속적인 사인형 구동을 사용해 히팅을 최소화하고, BEC의 거시적 코히어런스를 유지하면서 레트랙트를 구현한다는 점에서 혁신적이다.

2. 모델 및 수학적 구조

• 1차원 Gross‑Pitaevskii 방정식 (GPE)
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📄 Content

arXiv:0908.0692v2 [cond-mat.quant-gas] 2009년 11월 3일
구동된 Bose‑Einstein 응축체에서의 일관된 래칫
C.E. Creffield 및 F. Sols
스페인 마드리드, Universidad Complutense de Madrid, Dpto de Física de Materiales, E‑28040, 마드리드

(작성일: 2018년 10월 31일)

요약

우리는 무편향 주기 구동 퍼텐셜에 대한 Bose‑Einstein 응축체(BEC)의 반응을 연구한다. 구동의 공간·시간 대칭을 제어함으로써, 방향성 전류를 유도하여 일관된 양자 래칫을 만들 수 있음을 보인다. 약한 구동에서는 규칙적인 거동이 나타나며, 전류를 만들기 위해서는 공간 대칭과 시간 대칭이 모두 깨져야 한다. 구동이 강해지면 거동이 혼돈적으로 변하고, 효과적인 비가역성이 나타나 시간 대칭을 명시적으로 깨뜨릴 필요가 없어진다. 이 경우, 상호작용이 없어도 공간 비대칭성만으로도 래칫 효과를 얻을 수 있으며, 시스템은 여전히 완전한 코히런스를 유지한다.

PACS 번호: 03.75.Kk, 67.85.Hj, 05.60.Gg, 05.45.-a

서론

외부 편향 없이도 방향성 운동을 보이는 시스템, 즉 래칫의 물리학은 최근 몇 년 사이에 매우 빠르게 발전하였다[1,2]. 이 개념은 매우 일반적이며, 나노스케일 물질을 조작·이동시키는 새로운 기술적 형태부터, 생물학적 분자 모터와 같은 자연계 시스템의 작동 원리를 이해하는 데까지 확장된다. 근본적으로 래칫은 두 가지 필수 조건을 만족해야 한다. 첫째, 외부 힘에 의해 시스템이 평형 상태에서 벗어나야 하고, 둘째, 방향성 전류 생성을 금지하는 공간·시간 대칭이 깨져야 한다.

가장 잘 알려진 예는 주기 퍼텐셜에 놓인 브라운 입자이다. 퍼텐셜을 펄싱(‘플래싱 래칫’)하거나 기울이는(‘록킹 래칫’) 방식으로 구동하면, 구동 힘의 공간·시간 대칭이 깨졌을 때 전류가 발생한다. 일반적으로 과감하게 감쇠된(over‑damped) 영역에서 래칫 전류는 무작위 요동의 정류(rectification)에서 비롯되며, 따라서 잡음과 소산이 필수적인 요소가 된다. 그러나 이것이 일반적인 경우는 아니며, 최근 연구[3‑9]에 따르면 완전히 코히런트한 시스템에서도 래칫 효과가 나타날 수 있음을 보여준다.

양자 킥드 로터를 고려함으로써 이 방향의 연구가 크게 진전되었다. 실험적으로는 펄스 광격자에 가두어진 초저온 원자 구름에서 이 시스템을 매우 잘 구현할 수 있다. 초기에는 래칫 효과가 고전적 혼합 위상공간을 가진 시스템에서만 나타날 것이라고 생각했지만[3], 최근 연구에서는 전역적으로 혼돈인 위상공간에서도 발생할 수 있음을 밝혀냈다. Ref.[4]에서는 플뢰케 상태의 비대칭화에 의해 모멘텀 분포에 비대칭이 생겨 전류가 발생하는 양자 해밀토니안 래칫을 이론·실험적으로 조사하였다. 또 다른 스킴[5]은 양자 지도(quantum maps)에서 간섭 효과를 이용해 위상공간 분포의 불균형을 만들었다. 양자 공명(quantum resonances)에서는 킥 주기가 광격자의 역반동 속도와 일치할 때 래칫 가속기를 구현할 수 있다[6,7].

본 연구에서는 광학적으로 트랩된 Bose‑Einstein 응축체를 대상으로 한다. 매크로스코픽하게 보호된 코히런스와 뛰어난 제어 가능성 덕분에 양자 수송 현상을 탐구하기에 이상적인 시스템이다. 시스템을 ‘킥’하는 대신(예: [8,10]), 우리는 부드럽게 변하는 퍼텐셜을 사용한다. 따라서 가열 효과가 적을 것으로 기대하며, 실제로 비응축 원자 비율을 계산해 확인한다. 공간·시간 대칭을 각각 독립적으로 깨뜨릴 수 있는 구동 형태를 선택함으로써, 대칭적인 초기 상태에서 시작해도 방향성 전류를 유도할 수 있음을 발견한다. 이는 두 가지 뚜렷한 메커니즘에 의해 일어난다.

• 약한 구동: 시스템은 규칙적인 진동을 보이며, 전류를 만들기 위해서는 공간 대칭과 시간 대칭이 모두 깨져야 한다.
• 강한 구동: 시스템의 동역학이 혼돈적으로 변하고, 효과적인 비가역성이 나타나 시간 대칭을 명시적으로 깨뜨릴 필요가 없어지며, 공간 비대칭성만으로도 래칫 효과가 발생한다.

모델

우리는 반지형(toroidal) 트랩에 가두어진 BEC를 고려한다[11]. 트랩의 반경 (R)에 비해 횡단면이 매우 작으므로, 시스템은 효과적인 1차원 Gross‑Pitaevskii 방정식(GPE) 로 기술될 수 있다.

[ H(t)= -\frac12\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ g,|\psi(x,t)|^2 + K,V(x,t), \tag{1} ]

여기서 (x)는 트랩을 따라 측정되는 거리이며, 모든 에너지는 (\hbar^2/2mR^2) 단위로 측정한다. 원자 사이의 단거리 상호작용은 평균장(mean‑field) 항 (g) 로 나타내며, 외부 퍼텐셜 (V(x,t))는 평균이 0인 주기적인 구동을 통해 조절한다. 전형적인 래칫 퍼텐셜 형태는

[ V = \sin x + \alpha \sin(2x+\varphi), ]

이며 (\varphi=\pi/2)일 때 대칭, (\varphi=0,\pi)일 때 최대 비대칭을 가진다. 우리는 이 퍼텐셜을 공간 부분과 시간 부분으로 분리하는 독특한 선택을 한다.

[ V(x,t)=V(x),f(t), \tag{2} ] [ V(x)=\sin x + \alpha \sin(2x), \tag{3} ] [ f(t)=\sin(\omega t)+\beta \sin(2\omega t). \tag{4} ]

이 퍼텐셜은 순수한 ‘록킹’이나 ‘플래싱’ 래칫에 해당하지 않으며, 공간·시간 대칭을 독립적으로 제어할 수 있다는 장점을 가진다.

Fig. 1a의 삽입 그림에 (V(x)) 형태를 나타냈으며, (\alpha\neq0)이면 퍼텐셜이 비대칭(saw‑tooth) 형태가 되어 역전 대칭(inversion symmetry) 과 이동 대칭(shift symmetry) 가 모두 깨진다. 이러한 정적 공간 퍼텐셜은 최근 실험[12]에서도 연구된 바 있다.

결과

전류 측정

시스템의 전류를 측정하기 위해

[ I(t)=\langle\psi(x,t)|\hat p|\psi(x,t)\rangle ]

를 계산한다. 초기 상태는 전류가 없는 균일 상태

[ \psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, ]

를 사용한다. 이는 구동되지 않은 해밀토니안의 바닥 상태이며, 실험적으로 냉각을 통해 쉽게 준비할 수 있다. 파동함수는 분할 연산자(split‑operator) 방법으로 시간 적분한다. 구동 주파수는 (\omega=1) 로 고정한다.

Fig. 1a는 100개의 구동 주기 동안 평균 전류 (I) 를 나타낸다. 약한 구동((K\approx0.15))에서는 뾰족한 전류 피크가 나타난다. (K) 를 증가시키면 전류는 감소하고, 음의 피크가 (K\approx2.4) 에서 관측된다. 두 번째 피크는 비교적 넓은 구동 진폭 구간에서 음의 전류가 강화되는 현상과 연관된다.

약한 구동 ((K=0.15))

Fig. 1b는 전류의 시간 의존성을 보여준다. 전류 피크는 규칙적인 진동과 직접 연결된다. 상호작용이 없을 때((g=0)) 진동은 단순한 사인파이며, 주기는 (T=2\pi/\omega) 보다 훨씬 크다.

(g) 를 조금 증가시키면 진폭이 커지고 파형이 왜곡된다. 그러나 (g) 가 더 커지면 진동 진폭이 급격히 억제된다(그림 2d). 자세히 살펴보면, 진동은 주로 (|0\rangle) 와 (|2\rangle) 두 상태 사이에서 일어난다. 여기서 (|n\rangle) 은 비구동 해밀토니안의 양자화된 모멘텀 (n\hbar) 상태를 의미한다. 대칭적인 구동이면 양의 모멘텀과 음의 모멘텀 상태가 동일하게 채워져 전류가 0이 되지만, 비대칭 구동은 간섭 효과에 의해 (|+2\rangle) 쪽으로 더 많이 전이시켜 전류가 발생한다.

두 레벨 모델

파동함수를 두 레벨만 남겨두어

[ \psi(x,t)=A + B,e^{2ix}, \qquad |A|^2+|B|^2=\frac{1}{2\pi}, ]

라고 하면, (1)식으로부터 다음과 같은 Bloch 방정식을 얻는다.

[ i\dot\chi= \Bigl[-\alpha K f(t),\sigma_y -\frac{1+g}{2}\bigl(|A|^2-|B|^2\bigr)\sigma_z\Bigr]\chi, \qquad \chi=(A,B)^{!T}, \tag{5} ]

여기서 (\sigma_{x,y,z})는 파울리 행렬이다. Bloch 구면 상에서 (|0\rangle)와 (|2\rangle)는 각각 남·북극에 대응한다.

• (g=0) 일 때는 인공적인 자기장 (\mathbf B = (0,,\alpha K f(t),,0))에 의해 Bloch 벡터가 (x!-!z) 평면에서 라모르 궤도를 그리며, 이는 Fig. 1b의 사인 진동에 해당한다(그림 2a).
• (g) 가 작게 증가하면 (\mathbf B)에 (z) 성분이 추가되어 “8자형” 궤적을 만든다(그림 2b).
• (g) 가 충분히 크면 (\mathbf B_z) 가 지배적이 되어 Bloch 벡터는 북극 근처에서 작은 원형 궤도를 빠르게 회전한다(그림 2c). 이는 자기 포획(self‑trapping) 현상[14]과 유사하며, 전류 진폭이 크게 감소한다.

그림 2d는 전류 진폭이 (g) 에 따라 급격히 사라지는 과정을 보여준다. 두 레벨 근사와 전체 GPE 시뮬레이션이 매우 잘 일치한다.

강한 구동 ((K=2.4))

강한 구동에서는 초기 상태가 다수의 고조된 레벨로 전이되므로 두 레벨 근사는 더 이상 유효하지 않는다. 전류는 **

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