깊이와 무관한 읽기‑한번 부울식의 통신 복잡도 하한

📝 Abstract

We show lower bounds of $\Omega(\sqrt{n})$ and $\Omega(n^{1/4})$ on the randomized and quantum communication complexity, respectively, of all $n $-variable read-once Boolean formulas. Our results complement the recent lower bound of $\Omega(n/8^d)$ by Leonardos and Saks and $\Omega(n/2^{\Omega(d\log d)})$ by Jayram, Kopparty and Raghavendra for randomized communication complexity of read-once Boolean formulas with depth $d $. We obtain our result by “embedding” either the Disjointness problem or its complement in any given read-once Boolean formula.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• 읽기‑한번 부울식은 AND/OR 트리 형태로 표현될 수 있으며, 각 변수는 트리의 리프에 한 번만 등장한다.
• 통신 복잡도 관점에서, 두 파티가 각각 입력 (x, y)를 가지고 함수 (f(x\wedge y)) 혹은 (f(x\vee y))를 계산하도록 요구된다.
• 기존 연구는 트리 깊이 (d) 에 따라 하한을 제시했지만, 깊이가 (\log n)인 완전 이진 트리에서는 그 하한이 거의 의미 없었다. 따라서 깊이에 무관한 보편적인 하한이 필요했다.

2. 주요 정의와 기법

논문은 임베딩을 이용해 임의의 읽기‑한번 부울식 (f)에 DISJ 혹은 NDISJ를 삽입함으로써, (f)의 통신 복잡도가 해당 하위 문제의 복잡도보다 작을 수 없음을 보인다.

3. 핵심 정리 (Theorem 2)

정리: 모든 (n)-변수 읽기‑한번 부울식 (f)에 대해
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📄 Content

읽기‑한 번(Boolean) 공식 (f:{0,1}^{n}\rightarrow{0,1}) 은 AND와 OR만을 사용해 만든 부울 식이며, 각 변수는 (부정될 수도 있지만) 식 안에 한 번 이하만 등장한다는 뜻이다.

교대형 AND‑OR 트리는 층이 구분된 트리로, 내부 노드마다 AND 혹은 OR 라벨이 붙어 있고, 리프는 변수에 라벨이 붙는다. 루트에서 어떤 리프까지 가는 경로는 AND와 OR 라벨이 번갈아가며 나타난다. 잘 알려진 사실(예: [HW91])에 따르면, 임의의 읽기‑한 번 부울 공식 (f)에 대해 유일한 교대형 AND‑OR 트리 (T_{f})가 존재한다. 이 트리는 (n)개의 리프를 가지고, 리프는 입력 변수 (z_{1},\dots ,z_{n})에 대응한다. 내부 노드 라벨에 따라 트리를 평가하면 루트의 출력값은 정확히 (f(z_{1},\dots ,z_{n}))와 같다. 트리 (T)에 대응되는 읽기‑한 번 부울 공식은 (f_{T})라 표기한다.

두 문자열 (x,y\in{0,1}^{n})에 대해 비트‑별 AND와 OR를 각각 (x\wedge y), (x\vee y)라 쓴다. 함수 (f:{0,1}^{n}\rightarrow{0,1})에 대해

[ f_{\wedge}(x,y)=f(x\wedge y),\qquad
f_{\vee}(x,y)=f(x\vee y) ]

라고 정의한다. 최근 Leonardos와 Saks [LS09]는 두 사람 간 무작위 통신 복잡도(R(\cdot))를 (f_{\wedge}), (f_{\vee})에 대해 조사했고, 다음과 같은 결과를 얻었다(통신 복잡도 기본 정의는 [KN97]을 참고).

정리에서 트리의 깊이는 루트에서 가장 깊은 리프까지의 간선 수를 의미한다. 독립적으로, Jayram·Kopparty·Raghavendra [JKR09]는 일반적인 읽기‑한 번 부울 공식에 대해 (\Omega!\bigl(n/2^{\Omega(d\log d)}\bigr))의 무작위 하한을, “균형 잡힌” 공식에 대해서는 (\Omega(n/4^{d}))의 하한을 증명했다. Snir [Sni85]와 Saks·Wigderson [SW86]의 결과(트리를 통신 프로토콜로 시뮬레이션하는 일반적인 방법 [BCW98]을 통해)로부터, 완전 이진 교대형 AND‑OR 트리를 정규 트리로 갖는 읽기‑한 번 부울 공식의 무작위 통신 복잡도는 현재까지 알려진 최선의 상한인 (O!\bigl(n^{0.753\ldots}\bigr))이다. 그러나 이 경우 깊이 (d=\log_{2}n)이므로 위의 두 논문이 제공하는 하한은 의미가 없다. 우리는 깊이에 의존하지 않는 보편적인 하한을 제시함으로써 그 공백을 메운다. 여기서 (Q(\cdot))는 두 사람 간 양자 통신 복잡도를 의미한다.

정리 2

(f:{0,1}^{n}\rightarrow{0,1})가 읽기‑한 번 부울 공식이라면

[ \max\bigl{R(f_{\wedge}),,R(f_{\vee})\bigr}= \Omega(\sqrt{n}),\qquad \max\bigl{Q(f_{\wedge}),,Q(f_{\vee})\bigr}= \Omega(\sqrt{n}). ]

비고

1. 정리 1·2에서 최대값을 취하는 것이 필요하다. 예를 들어 (f)가 모든 입력 비트를 AND로 결합한 함수라면 (R(f_{\wedge})=1)임을 쉽게 확인할 수 있다.

2. 균형 트리의 경우 이 사실은 [LS09]에서도 언급되었다.

정리 2의 증명 개요

먼저 다음 정의를 소개한다.

정의 1 (Embedding)

함수 (g_{1}:{0,1}^{r}\times{0,1}^{r}\rightarrow{0,1})가
함수 (g_{2}:{0,1}^{t}\times{0,1}^{t}\rightarrow{0,1})에 **내장(embedding)**될 수 있다고 한다면,
다음 두 사상 (h_{a}:{0,1}^{r}\rightarrow{0,1}^{t}), (h_{b}:{0,1}^{r}\rightarrow{0,1}^{t})가 존재하여

[ \forall x,y\in{0,1}^{r};,\qquad g_{1}(x,y)=g_{2}\bigl(h_{a}(x),,h_{b}(y)\bigr) ]

가 성립한다는 뜻이다.

(g_{1})이 (g_{2})에 내장될 수 있으면, 당연히 (g_{2})의 통신 복잡도는 (g_{1})의 복잡도보다 크거나 같다.

다음 두 고전적인 문제의 하한을 이용한다.

• Disjointness (DISJ_{n}:{0,1}^{n}\times{0,1}^{n}\rightarrow{0,1})
  [ DISJ_{n}(x,y)=\bigwedge_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}\lor y_{i}\bigr) ] (여기서는 부정 연산을 생략했다.)

• Non‑Disjointness (NDISJ_{n}:{0,1}^{n}\times{0,1}^{n}\rightarrow{0,1})
  [ NDISJ_{n}(x,y)=\bigvee_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}\land y_{i}\bigr). ]

이 두 문제에 대해서는 다음과 같은 잘 알려진 하한이 있다.

• (R(DISJ_{n}) = \Omega(n)), (Q(DISJ_{n}) = \Omega(\sqrt{n})).
• (R(NDISJ_{n}) = \Omega(n)), (Q(NDISJ_{n}) = \Omega(\sqrt{n})).

트리와 레이블에 대한 기본 설정

주어진 읽기‑한 번 부울 공식 (f)에 대해 그 정규 트리를 (T_{f})라 하자.
다음 두 경우에 대해 각각의 레마를 증명한다.

1. 마지막 층이 AND 게이트만으로 이루어진 경우

   • (m_{0}) : 가장 큰 정수로서 (DISJ_{m_{0}})가 (f_{\vee})에 내장될 수 있는 값.
   • (m_{1}) : 가장 큰 정수로서 (NDISJ_{m_{1}})가 (f_{\vee})에 내장될 수 있는 값.

   그러면 (m_{0},m_{1}\ge n)이 성립한다.

2. 마지막 층이 OR 게이트만으로 이루어진 경우

   • (m_{0}) : 가장 큰 정수로서 (DISJ_{m_{0}})가 (f_{\wedge})에 내장될 수 있는 값.
   • (m_{1}) : 가장 큰 정수로서 (NDISJ_{m_{1}})가 (f_{\wedge})에 내장될 수 있는 값.

   역시 (m_{0},m_{1}\ge n)이다.

이 레마를 이용하면, 임의의 읽기‑한 번 공식 (f)에 대해 다음과 같은 결론을 얻는다.

• 트리 (T_{f})의 리프를 홀수 레벨에 있는 리프 집합 (L_{\text{odd}})와 짝수 레벨에 있는 리프 집합 (L_{\text{even}})으로 나눈다.
• 두 집합 중 하나는 최소 (\lceil n/2\rceil)개의 리프를 포함한다. (대칭성 때문에 어느 쪽을 택해도 된다.)
• 루트가 AND인지 OR인지에 따라, 위 레마의 경우 1 또는 2에 해당한다.
• 따라서 (f_{\vee}) 혹은 (f_{\wedge}) 안에 (\sqrt{n/2}) 규모의 DISJ 혹은 NDISJ가 내장된다.

Fact 1·2와 결합하면 바로 정리 2의 하한 (\Omega(\sqrt{n}))을 얻는다.

핵심적인 보조 명제와 증명

명제 1

(n)개의 리프((n>2))를 가진 교대형 AND‑OR 트리 (T)가 있다고 하자.
리프 바로 위에 있는 내부 노드(자식이 두 개인 노드)의 개수를 (s(T))라 정의한다.
다음을 정의한다.

• (m_{0}(T)) : 가장 큰 정수로서 (DISJ_{m_{0}(T)})가 (f_{T})에 내장될 수 있는 값.
• (m_{1}(T)) : 가장 큰 정수로서 (NDISJ_{m_{1}(T)})가 (f_{T})에 내장될 수 있는 값.

그러면

[ m_{0}(T),m_{1}(T);\ge; s(T). ]

증명는 트리 깊이 (d)에 대한 귀납법으로 진행한다.

• 기저 단계 (d=2)

  • 루트가 AND이고 바로 아래에 (s(T))개의 OR‑노드가 있는 경우, (f_{T}=DISJ_{s(T)})이므로 (m_{0}(T)=s(T)).
  • 동시에 하나의 AND‑게이트만 남겨 두고 나머지 입력을 0으로 고정하면 (NDISJ_{1})을 구현할 수 있다. 따라서 (m_{1}(T)\ge1)이고, 곱은 최소 (s(T))가 된다.

• 귀납 단계 (d>2)

  • 루트가 AND이라고 가정한다(OR인 경우는 대칭). 루트의 자식들을 (v_{1},\dots ,v_{r})라 하고, 각각의 서브트리를 (T_{1},\dots ,T_{r})라 하자.
  • 깊이가 1인 서브트리(즉, 바로 리프와 연결된 서브트리)가 (r’)개 있다고 하면, 이들에 대해서는 (s(\cdot)=0)이다.
  • 귀납 가정에 의해 각 (T_{i})에 대해 (m_{0}(T_{i})), (m_{1}(T_{i}))가 정의된다.
  • 전체 트리 (T)에 대해
    [ m_{0}(T);\ge;\sum_{i=1}^{r} m_{0}(T_{i}),\qquad m_{1}(T);\ge;\max\bigl{,m_{1}(T_{r’+1}),\dots ,m_{1}(T_{r}),,1,\bigr}. ]
    첫 번째 부등식은 각 서브트리의 DISJ 인스턴스를 독립적으로 결합함으로써 얻는다. 두 번째 부등식은 서브트리 중 하나를 선택해

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