“채널 코딩 시각에서 바라본 협업 필터링: 블록 상수 행렬 복원의 임계값 분석”

📝 Abstract

We consider the problem of collaborative filtering from a channel coding perspective. We model the underlying rating matrix as a finite alphabet matrix with block constant structure. The observations are obtained from this underlying matrix through a discrete memoryless channel with a noisy part representing noisy user behavior and an erasure part representing missing data. Moreover, the clusters over which the underlying matrix is constant are {\it unknown}. We establish a sharp threshold result for this model: if the largest cluster size is smaller than $C_1 \log(mn)$ (where the rating matrix is of size $m \times n $), then the underlying matrix cannot be recovered with any estimator, but if the smallest cluster size is larger than $C_2 \log(mn) $, then we show a polynomial time estimator with diminishing probability of error. In the case of uniform cluster size, not only the order of the threshold, but also the constant is identified.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 차별점

📄 Content

행렬의 크기와 계수
[6]에서는 모든 알고리즘이 필요로 하는 샘플 수에 대한 하한을 제시하고, 그 하한의 차수가 [12]에서 달성 가능함을 보였다. [14]에서는 선형 측정(샘플링은 그 특수한 경우)으로부터 행렬을 복원하는 문제를 다루며 새로운 알고리즘을 제안한다. [4]에서는 제한된 잡음 하에서 행렬 완성 문제를 다루고, 반정밀계획(SDP) 기반 알고리즘을 제시한 뒤 복원 오차가 잡음 크기에 비례함을 보였다.

본 논문에서는 위 문제들을 채널 코딩 관점에서 접근한다. 우리의 결과는 아래에 열거한 여러 측면에서 기존 연구와 차별성을 가진다.

• 평점 알파벳을 유한 집합으로 가정하고, 행·열 클러스터에 기반한 새로운 행렬 모델을 사용한다.
• 잡음이 있는 사용자 행동을 고려한다. 목표는 누락된 항목을 채우는 것이 아니라, 행렬 크기가 무한히 커질 때 “블록 상수(block‑constant)” 행렬을 추정하는 것이다.
• 알파벳이 유한하기 때문에 잡음이 존재하더라도 오차 없는 복구가 점근적으로 가능하다. 따라서 실수값 행렬을 다루는 [4]와 달리 어떠한 왜곡도 허용하지 않는다.

아래에서는 모델과 주요 결과를 간략히 소개한다. 수학적 세부 사항은 이후 절에서 제시한다.

1. 모델 개요

평점 알파벳을 유한 집합으로 두고, 이상적인 상황을 생각해 보자. 모든 사용자가 모든 아이템에 대해 잡음 없이 평점을 매긴다면, 비슷한 사용자들은 비슷한 아이템에 동일한 값을 부여할 것으로 기대한다. 따라서 사용자는 행 클러스터, 아이템은 열 클러스터로 구분될 수 있다.

이때 이상적인 평점 행렬 (X) (크기 (m\times n))는 블록 상수 행렬이며, 각 블록은 행·열 클러스터의 데카르트 곱에 해당한다. 실제 관측값은 (X)의 원소들을 **이산 메모리 없는 채널(DMC)**을 통과시켜 얻는다. 이 DMC는

1. 소거 채널(eraser channel) – 누락된 데이터를 모델링
2. 잡음이 있는 DMC – 사용자 행동의 불확실성을 모델링
   두 부분으로 구성된다. 행·열 클러스터는 알려져 있지 않으며, 목표는 관측값을 바탕으로 (X)를 추정해 추천을 만드는 것이다.

우리는 블록 오류 확률을 성능 지표로 삼는다. 추정 행렬의 어느 한 원소라도 틀리면 오류가 발생한다. 행렬 크기가 무한히 커질 때 오차 없는 복구가 가능한 조건을 찾는 것이 목표이며, 이를 채널 코딩 문제로 바라본다.

2. 클러스터 크기와 해상도

클러스터 크기는 해상도를 의미한다. 클러스터가 클수록 자유도(또는 채널 코드의 레이트)는 작아진다. 잡음이 심하고 소거 비율이 높을수록 지원 가능한 코드워드 수는 제한된다. 정확한 임계값을 찾는 것이 핵심 과제이다.

우리 모델에 대해 다음을 보였다.

• 최대 클러스터 크기가
  [ C_{1},\log(mn) ]
  보다 작으면(여기서 (C_{1})은 채널 파라미터에 의존하는 상수) 어떤 추정기라도 오류 확률이 1에 수렴한다.
• 최소 클러스터 크기가
  [ C_{2},\log(mn) ]
  보다 크면( (C_{2}) 역시 채널 파라미터에 의존) 다항 시간 알고리즘을 이용해 오류 확률을 0으로 만들 수 있다.

즉, 임계값의 차수를 정확히 규명했다. 클러스터 크기가 균일한 경우 (C_{1}=C_{2})가 되므로 상수까지도 정확히 식별된다.

특히 이진 평점이고 클러스터 크기가 균일한 경우, 가용한 알고리즘은

• 클러스터 크기·소거 파라미터에 무관하고,
• 잡음 채널의 최악 경우 파라미터만 알면 된다.

이러한 결과는 (X)에 대한 사전 확률(Section II에 명시) 위에서 평균을 취해 얻었다.

3. 증명 개요

• 가능성(achievability): 행·열을 먼저 클러스터링하고, 클러스터링이 정확하다고 가정한 뒤 블록 내 원소를 추정한다. 클러스터링은 정규화된 해밍 거리를 이용해 임계값 (d_{0})와 비교함으로써 수행한다.
• 반대(converse): 클러스터가 정확히 알려진 경우를 가정하고, 그때도 오류가 발생함을 보인다.

평균 경우 분석 결과, 값을 추정하는 문제가 임계값을 결정하고, 클러스터링은 상대적으로 쉬운 작업임을 확인했다(그림 1 참고).

4. 상세 모델 (Section II)

• 행렬 (X)는 크기 (m\times n)이며, 원소는 유한 알파벳 (\mathcal{A})에 속한다.
• 행 인덱스 집합 ([1:m])는 ({A_{i}}{i=1}^{r}) 로, 열 인덱스 집합 ([1:n])는 ({B{j}}_{j=1}^{t}) 로 파티션된다.
• 각 (A_{i}\times B_{j}) 를 클러스터라 부르고, (|A_{i}|=m_{i}, |B_{j}|=n_{j}) 로 정의한다.
• 클러스터 내 원소는 상수이며, 클러스터 간 원소는 i.i.d. 균등분포(또는 지정된 분포)이다.

관측 행렬 (Y)는 다음 과정을 통해 생성된다.

1. (X)의 원소를 DMC (q(\cdot|\cdot)) 로 전달해 중간 행렬 (\tilde X) 를 만든다.
2. (\tilde X)의 각 원소를 소거 채널(소거 확률 (\epsilon))에 통과시켜 최종 관측값 (Y\in\mathcal{A}\cup{e}) 를 얻는다.

5. 이진·균일 클러스터 경우 (조건 A1–A4)

• A1: (X)의 원소는 ({0,1})
• A2: 모든 행·열 클러스터 크기가 동일((m_{i}=m_{0}, n_{j}=n_{0}))
• A3: 각 클러스터는 상수이며, 클러스터 간 원소는 i.i.d. Bernoulli((1/2))
• A4: 관측은 BSC((p))와 소거 채널((\epsilon))의 연속으로 생성

이 설정에서 클러스터 크기 (m_{0}n_{0}) 은 행렬 해상도를 나타낸다. 클러스터가 너무 작으면 서로 다른 클러스터가 동일한 행을 가질 확률이 커져, 실제 클러스터 수가 감소한다. Lemma 1에 따르면 클러스터 수가 (\Omega(\log n))이면 이러한 현상이 거의 일어나지 않는다.

6. 주요 정리

Theorem 1 (임계값)

조건 A1–A4가 만족되고 클러스터가 알려지지 않았을 때

• Converse:
  [ \max_{i,j} m_{i}n_{j} ;<; C_{1}\log(mn) ]
  이면 어떤 추정기라도 오류 확률 (P_{e}\to1).
• Achievability:
  [ \min_{i,j} m_{i}n_{j} ;>; C_{2}\log(mn) ]
  이면 아래 알고리즘으로 (P_{e}\to0) 이다.
  1. 행·열을 Section III‑C의 알고리즘으로 클러스터링 (임계값 (d_{0}\in(2p_{0}(1-p_{0}),\tfrac12)) 사용)
  2. 각 클러스터 내에서 다수결(Majority) 디코딩 수행

Theorem 2 (클러스터가 알려진 경우)

조건 A1, A3와 클러스터가 알려졌을 때, 블록 크기 (s^{}(X)=\min_{i,j} m_{i}n_{j}) 에 대해
[ s^{}(X) ;<; \frac{\ln(mn)}{\ln(1/p_{1})} ]
이면 (P_{e|A,B}(X)\to1); 반대로
[ s^{*}(X) ;>; \frac{\ln(mn)}{\ln(1/p_{1})} ]
이면 (P_{e|A,B}(X)\to0).

Theorem 3 (클러스터링 알고리즘 성능)

조건 A1–A4가 만족되고 임계값 (d_{0}\in(\mu,\mu+\tfrac12)) ((\mu=2p(1-p))) 를 선택하면, 행 클러스터링 오류 확률은
[ P_{e,rc};\le; \alpha_{3},n^{-;r_{1}} ;+; \exp!\bigl(-c,\tfrac{m_{0}n_{0}}{\log(mn)}\bigr) ]
와 같은 형태로 상한이 존재한다. 여기서 (r_{1}>1, r_{2}\in(0,1)) 은 상수이며, (\alpha_{3},c) 도 양의 상수이다.

7. 일반 알파벳·비균일 클러스터 (조건 B1–B3)

• B1: (X)의 원소는 유한 알파벳 (\mathcal{A})
• B2: 각 클러스터는 상수이며, 클러스터 간 원소는 (\mathcal{A}) 위의 균등 i.i.d.
• B3: 관측은 (i) DMC (q(\cdot|\cdot)) → (ii) 소거 채널((\epsilon)) 순으로 생성

이 경우 두 개의 거리 하한/상한을 정의한다.
[ d_{\text{lb}}:=\sum_{y\in\mathcal{A}} \min_{p\neq q}\bigl{q(y|p),q(y|q)\bigr},\qquad d_{\text{ub}}:=\sum_{y\in\mathcal{A}} \max_{p\neq q}\bigl{q(y|p),q(y|q)\bigr} ]
Lemma 2에 따르면 언제나 (d_{\text{ub}}\ge d_{\text{lb}})이며, 등호는 채널이 입력에 무관할 때만 성립한다.

Theorem 4 (일반 알파벳)

조건 B1–B3가 만족되고 클러스터가 알려지지 않았을 때, 상수 (p_{1}>p_{2}) 가 존재한다.

• Converse: 최소 클러스터 크기가 (C_{1}\log(mn)) 보다 작으면 (P_{e}\to1).
• Achievability: 존재하는 (y,p,q\in\mathcal{A}) 가 (p\neq q) 이면서 (q(y|p)=q(y|q)) 를 만족하면, 임계값 (d_{0}\in(d_

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