스펙트럼 그래프와 준사이클릭(Quasi‑Cyclic) 코드: 고윳값을 통한 AWGNC 의사 가중치 한계 분석

📝 Abstract

In this paper we analyze the bound on the additive white Gaussian noise channel (AWGNC) pseudo-weight of a (c,d)-regular linear block code based on the two largest eigenvalues of H^T H. In particular, we analyze (c,d)-regular quasi-cyclic (QC) codes of length rL described by J x L block parity-check matrices with circulant block entries of size r x r. We proceed by showing how the problem of computing the eigenvalues of the rL x rL matrix H^T H can be reduced to the problem of computing eigenvalues for r matrices of size L x L. We also give a necessary condition for the bound to be attained for a circulant matrix H and show a few classes of cyclic codes satisfying this criterion.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

• LDPC와 QC‑LDPC: 저밀도 패리티 체크(LDPC) 코드는 높은 오류 정정 성능과 낮은 복잡도로 통신 시스템에서 핵심 기술이다. 특히 준사이클릭(QC) 구조는 인코딩·디코딩 하드웨어 구현을 크게 단순화한다.
• 의사 가중치(pseudo‑weight): AWGNC 상에서 실제 오류 정정 성능을 예측하는 1차 지표로, 최소 해밍 거리보다 실용적인 평가 기준이다. 기존 연구에서는 최소 해밍 거리와 의사 가중치를 고윳값 기반으로 제한했지만, 대규모 행렬의 고윳값을 직접 계산하기 어려워 실용성이 떨어졌다.

2. 핵심 기여

3. 방법론 상세

1. 다항식 표현

   • (r\times r) 순환 블록을 다항식 (p_{i,j}(X)) 로 매핑하고, 전체 검증 행렬을 다항식 행렬 (P(X)) 로 표현한다.
   • 이때 (H = \sum_{k=0}^{r-1} H_k X^k) 와 (P(X) = \sum_{k=0}^{r-1} H_k X^k) 가 일대일 대응한다.

2. 고윳값 축소

   • (H^{T}H) 는 L‑블록 순환 행렬이므로, Theorem 1(블록 순환 행렬 고윳값) 을 적용해
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📄 Content

arXiv:0908.1966v2 [cs.IT] 2009년 8월 16일
준주기(Quasi‑Cyclic) 코드의 스펙트럼 그래프 분석

Roxana Smarandache
수학·통계학과, 샌디에이고 주립대학, 샌디에이고, CA 92182, USA
이메일: rsmarand@sciences.sdsu.edu

Mark F. Flanagan
전자공학과, 더블린 대학교, 벨필드, 더블린 4, 아일랜드
이메일: mark.flanagan@ieee.org

초록

본 논문에서는 (c, d)‑정규 선형 블록 코드의 가산 백색 가우시안 잡음 채널(AWGNC) 의사‑가중치에 대한 상한을, 행렬 (H^{T}H) 의 두 번째로 큰 고유값 (\lambda_{2}) 와 가장 큰 고유값 (\lambda_{1}) 를 이용해

[ w^{\min }{p}(H);\ge; n;\frac{2c-\lambda{2}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}} \tag{1} ]

와 같이 분석한다[6]. 특히, 블록 차원 (J\times L) 의 순환 블록 행렬(각 블록은 (r\times r) 크기) 로 기술되는 길이 (n=rL) 의 (c, d)‑정규 준주기(QC) 코드를 대상으로 한다. 우리는 (H^{T}H) 의 고유값을 구하는 문제를 (r) 개의 (L\times L) 행렬에 대한 고유값 문제로 축소할 수 있음을 보인다. 또한, 순환 행렬 (H) 에 대해 위의 상한이 정확히 달성되기 위한 필요조건을 제시하고, 이 조건을 만족하는 몇몇 순환 코드 군을 제시한다.

키워드 – 저밀도 패리티 검사 코드(LDPC), 의사코드워드(pseudo‑codewords), 의사‑가중치(pseudo‑weights), 고유값(eigenvalues), 고유벡터(eigenvectors).

I. 서론

저밀도 패리티 검사(LDPC) 코드는 통신 시스템에서 오류 정정 성능과 구현 복잡도 사이의 뛰어난 균형을 제공한다. 특히 준주기(QC) LDPC 코드는 인코딩·디코딩 모두에서 구현상의 장점 때문에 매우 매력적이다[1]–[3]. 기존의 QC‑LDPC 코드 분석은 주로 최소 해밍 거리나 Tanner 그래프의 girth 최적화에 초점을 맞추었다. 그러나 AWGNC 상에서의 첫 번째 순서 성능 지표로서 최소 의사‑가중치가 매우 유용함이 밝혀졌다[4]. 현재까지 QC‑LDPC 및 관련 코드의 최소 의사‑가중치에 관한 연구는 거의 존재하지 않는다.

스펙트럼 그래프 분석은 [5]와 최근 [6]에서 각각 최소 해밍 거리와 최소 AWGNC 의사‑가중치에 대한 상한을 도출하는 데 사용되었다. 길이 (n) 의 (c, d)‑정규 이진 코드 (C) 에 대해

[ d_{\min};\ge; w^{\min }{p}(H);\ge; n;\frac{2c-\lambda{2}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}, \qquad d_{\min};\ge; n;\frac{d}{2c+d-2-\lambda_{2}};\frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}} \tag{2} ]

가 성립한다. 여기서 (\lambda_{1}>\lambda_{2}>\dots>\lambda_{s}) 는 (H^{T}H) 의 서로 다른 고유값이다. 대부분의 코드에 대해 위 식은 느슨하지만, 예를 들어 투영 기하학 코드[7]–[9]와 같은 특수 경우에는 정확히 달성된다. 현재의 문제는 대부분의 LDPC 코드에 대해 행렬 (H^{T}H) 가 매우 커서 (\lambda_{1},\lambda_{2}) 를 직접 계산하기가 현실적이지 않다는 점이다.

본 논문에서는 준주기 코드의 A‑서브모듈 구조 (A=R[X]/(X^{r}-1)) 를 이용해 AWGNC 의사‑가중치 하한을 효율적으로 계산하는 방법을 제시한다[10]–[12]. 먼저 순환 코드를 기술하는 다항식 패리티 검사 행렬을 이용해 고유값을 구하는 방법을 설명하고, 이를 일반 QC 코드에 확장한다. 또한 “중첩 순환(nested circulant)” 행렬 군을 정의하고, 이들의 고유값이 다변량 다항식의 특정 단위근(root of unity) 평가값임을 보인다. 마지막으로 순환 행렬 (H) 에 대해 하한이 정확히 달성되기 위한 필요조건을 제시하고, 이를 만족하는 몇몇 순환 코드 군을 제시한다.

II. 기본 기호와 정의

본 논문에서 다루는 모든 코드는 이진 선형 코드이며, 길이 (n) 은 스칼라 패리티 검사 행렬

[ H=(h_{j,i})\in\mathbb{F}_{2}^{,m\times n} ]

에 의해 정의된다. 즉

[ \mathcal{C}={,\mathbf{c}\in\mathbb{F}_{2}^{,n}\mid H\mathbf{c}^{T}=0^{T},}. ]

코드 (C) 의 최소 해밍 거리 (d_{\min}(C)) 를 사용한다. 행렬 (H) 의 기본 원뿔 (\mathcal{K}(H)) 은

[ \mathcal{K}(H)=\Bigl{\boldsymbol{\omega}\in\mathbb{R}^{n};\big|; \omega_{i}\ge0,; \omega_{i}\le\sum_{i’\in\mathcal{I}{j}\setminus{i}}\omega{i’};\forall j,i\Bigr} \tag{3} ]

으로 정의되며, 여기서 (\mathcal{I}{j}={i\mid h{j,i}=1}) 이다. (\mathcal{K}(H)) 의 원소 (\boldsymbol{\omega}) 를 의사‑코드워드(pseudo‑codeword) 라고 부른다.

의사‑코드워드 (\boldsymbol{\omega}) 의 AWGNC 의사‑가중치는

[ w_{p}(\boldsymbol{\omega});=;\frac{|\boldsymbol{\omega}|{1}^{2}}{|\boldsymbol{\omega}|{2}^{2}} \tag{4} ]

으로 정의된다[14],[15]. 모든 비영 의사‑코드워드에 대한 최소값을 최소 AWGNC 의사‑가중치 (w^{\min }_{p}(H)) 라고 한다.

정수 (s\ge1) 에 대해

[ R_{s}=\bigl{e^{\mathrm{i}2\pi r/s}\mid 0\le r<s\bigr}, \qquad R_{s}^{-}=R_{s}\setminus{1} ]

를 복소 (s) 차원 단위근 집합이라 하며, (*) 는 복소 켤레 연산을 의미한다.

(r\times r) 순환 행렬 (B) 의 각 원소가 (L\times L) 정방 행렬인 경우, 이를 (L)-블록 순환 행렬이라 하고

[ B=\operatorname{circ}(b_{0},b_{1},\dots,b_{r-1}) \tag{5} ]

와 같이 표기한다. 여기서 첫 번째 열의 블록은 (b_{0},b_{1},\dots,b_{r-1}) 이다.

정수 집합 ([L]={0,1,\dots,L-1}) 와 정수 링 (\mathbb{Z}), 실수 체 (\mathbb{R}), 복소 체 (\mathbb{C}), 이진 체 (\mathbb{F}_{2}) 를 각각 사용한다.

III. QC 코드에 대한 (H^{T}H) 고유값 계산

A. 순환 행렬의 고유값

정방 순환 행렬 (B\in\mathbb{C}^{n\times n}) 의 연관 다항식

[ w(X)=b_{0}+b_{1}X+\dots+b_{n-1}X^{n-1} ]

에 대해, (B) 의 고유값은 복소 (n) 차 단위근 (x\in R_{n}) 에서 (w(x)) 를 평가한 값이다. 증명은 다항식 표현을 이용한 고전적인 방법을 따르며, (Bv=\lambda v) 를 다항식 형태로 바꾸면

[ w(X)v(X)=\lambda v(X)\pmod{X^{n}-1} ]

가 되고, 이는 모든 (x\in R_{n}) 에 대해 ((w(x)-\lambda)v(x)=0) 을 의미한다. 따라서 (\lambda=w(x)) 가 고유값이며, 서로 다른 (x) 가 서로 다른 고유값을 만든다.

(L)-블록 순환 행렬 (B=\operatorname{circ}(b_{0},\dots,b_{r-1})\in\mathbb{C}^{rL\times rL}) 에 대해서는 정리 1이 적용된다.

정리 1
(B) 의 연관 행렬 다항식

[ W(X)=b_{0}+b_{1}X+\dots+b_{r-1}X^{r-1} ]

에 대해, 모든 (x\in R_{r}) 에서 (W(x)) 를 (L\times L) 행렬로 평가한 뒤 그 행렬의 고유값을 구하면, 전체 (rL) 개의 고유값을 얻는다.

증명은 위의 순환 행렬 고유값 증명과 동일하게 진행한다.

B. QC 코드의 정의와 성질

길이 (n=rL) 인 (c, d)‑정규 QC‑LDPC 코드 (C_{\text{QC}}) 는

[ \bar{H}{\text{QC}}= \begin{bmatrix} P{1,1}&P_{1,2}&\dots&P_{1,L}\ P_{2,1}&P_{2,2}&\dots&P_{2,L}\ \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\ P_{J,1}&P_{J,2}&\dots&P_{J,L} \end{bmatrix}, \qquad P_{i,j}\in\mathbb{F}_{2}^{,r\times r} \tag{6} ]

와 같은 (J\times L) 블록 구조를 가진 스칼라 패리티 검사 행렬 (\bar{H}{\text{QC}}) 로 기술된다. 각 블록 (P{i,j}) 는 순환 행렬이므로, 다항식

[ p_{i,j}(X)=\sum_{k=0}^{r-1}p_{i,j,k}X^{k}\quad(\bmod X^{r}-1) ]

와 일대일 대응한다. 따라서 QC‑LDPC 코드는 **다항식 패리티 검사

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