정량 언어의 표현력과 닫힘 특성: 가중 자동기의 새로운 시각

📝 Abstract

Weighted automata are nondeterministic automata with numerical weights on transitions. They can define quantitative languages $L$ that assign to each word $w$ a real number $L(w) $. In the case of infinite words, the value of a run is naturally computed as the maximum, limsup, liminf, limit average, or discounted sum of the transition weights. We study expressiveness and closure questions about these quantitative languages. We first show that the set of words with value greater than a threshold can be non- $\omega $-regular for deterministic limit-average and discounted-sum automata, while this set is always $\omega $-regular when the threshold is isolated (i.e., some neighborhood around the threshold contains no word). In the latter case, we prove that the $\omega $-regular language is robust against small perturbations of the transition weights. We next consider automata with transition weights 0 or 1 and show that they are as expressive as general weighted automata in the limit-average case, but not in the discounted-sum case. Third, for quantitative languages $L_1$ and $L_2 $, we consider the operations $\max(L_1,L_2) $, $\min(L_1,L_2) $, and $1-L_1 $, which generalize the boolean operations on languages, as well as the sum $L_1 + L_2 $. We establish the closure properties of all classes of quantitative languages with respect to these four operations.

💡 Analysis

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1. 연구 배경 및 동기

전통적인 불린 언어는 각 단어에 0·1 값을 할당해 시스템 행동을 “허용/비허용”으로 구분한다. 그러나 실제 시스템에서는 전력 소비, 메모리 사용량, 응답 시간 등 수치적 자원을 다루어야 하므로, 정량 언어라는 확장이 필요하다. 가중 자동기는 이러한 정량 언어를 형식적으로 정의할 수 있는 강력한 도구이며, 특히 무한 실행을 다루는 경우 다양한 값 함수(최대, 평균극한, 할인합 등)가 자연스럽게 등장한다.

2. 주요 기여

3. 방법론

1. 컷포인트 언어 분석

   • 임계값 η가 고립되지 않은 경우, 특정 평균극한·할인합 자동기를 구성해 그 컷포인트 언어가 ω‑정규가 아님을 보였다(예: 비주기적 가중치 패턴).
   • η가 고립될 때는 자동기의 구조적 특성을 이용해 해당 언어를 Büchi 자동기로 변환하고, 가중치의 작은 변동이 언어를 바꾸지 않음을 증명하였다.

2. 0/1 가중치 자동기의 변환

   • 평균극한 자동기의 경우, 모든 유리 가중치를 0·1 가중치 자동기로 선형 변환(가중치 스케일링 및 상태 복제)하여 동등성을 보였다.
   • 할인합 자동기에서는 동일 변환이 불가능함을 반례(특정 할인율 λ와 가중치 조합)로 제시하였다.

3. 닫힘성 증명

   • 각 연산에 대해 구성 자동기(product, sum, complement) 설계법을 제시하고, 결과 자동기가 원래 클래스에 속하는지를 분석하였다.
   • 평균극한·할인합 자동기의 경우, 합 연산이 평균극한에 대해 닫히지 않음을 보이기 위해 주기적 사이클과 다항식 해의 성질을 활용하였다.

4. 결과 및 영향

• 이론적 의미: 정량 언어의 구조적 특성을 명확히 파악함으로써, 기존에 불확실했던 표현력 계층을 정리하였다. 특히, 평균극한·할인합 자동기의 비결정적·결정적 차이가 연산 닫힘성에 직접 연결된 점은 중요한 통찰을 제공한다.
• 실용적 의미: 시스템 설계자는 고립 임계값을 선택함으로써 사양이 ω‑정규(즉, 기존 자동기 검증 도구로 검증 가능)임을 보장할 수 있다. 또한, 평균극한 모델링에서는 0·1 가중치만 사용해도 충분하므로, 모델링 복잡도와 구현 비용을 크게 절감할 수 있다.
• 검증 도구와 연계: 닫힘성 표는 자동기 기반 모델 검증 툴(예: PRISM, Spot)에서 정량 사양을 조합할 때 지원 가능한 연산을 자동으로 판단하도록 구현할 수 있는 기반을 제공한다.

5. 한계점 및 향후 연구 방향

1. 비결정적 평균극한 자동기의 고립 컷포인트: 현재는 결정적 경우에만 ω‑정규성을 증명했으며, 비결정적 평균극한 자동기에 대한 동일 결과는 아직 미해결이다.
2. 다중 할인율 및 복합 값 함수: 본 논문은 단일 할인율 λ에 초점을 맞췄지만, 실제 시스템에서는 다중 할인율이나 가중 평균 등 복합적인 값 함수가 필요하다. 이러한 확장에 대한 표현력 및 닫힘성 분석이 요구된다.
3. 복합 연산 조합: max·min·sum·complement를 순차적으로 적용한 복합 연산에 대한 닫힘성은 아직 완전히 규명되지 않았다. 특히, 연산 순서에 따라 클래스가 변할 수 있는지 여부는 흥미로운 연구 주제이다.
4. 알고리즘적 복잡도: 닫힘성 증명은 존재성을 보여주지만, 실제 구성 자동기를 효율적으로 생성·축소하는 알고리즘(특히 평균극한·할인합 경우)의 복잡도 분석이 필요하다.

요약
이 논문은 가중 자동기를 통한 정량 언어의 표현력과 연산 닫힘성을 체계적으로 정리함으로써, 정량 사양의 이론적 기반을 확립하고, 실무에서의 모델링·검증 전략에 실질적인 가이드를 제공한다. 특히, 고립 임계값에 대한 안정성 결과와 0·1 가중치 자동기의 동등성은 향후 정량 모델링 도구 설계에 큰 영향을 미칠 것으로 기대된다.

📄 Content

arXiv:0905.2195v1 [cs.LO] 13 May 2009
표현력 및 폐쇄성(Closure) 특성에 관한 정량 언어(Quantitative Languages)

Krishnendu Chatterjee¹, Laurent Doyen², Thomas A. Henzinger²
¹ IST, 오스트리아
² EPFL, 로잔, 스위스

초록

가중 자동화(Weighted automata)는 전이(transition)에 수치적 가중치가 붙은 비결정적 자동화이다. 이러한 자동화는 각 단어 w에 실수값 *L(w)*를 부여하는 정량 언어(quantitative language) L을 정의할 수 있다. 무한 단어의 경우, 실행(run)의 값은 전이 가중치들의 최대값, lim‑sup, lim‑inf, 한계 평균(limit average), 할인 합(discounted sum) 중 하나로 자연스럽게 계산된다. 본 논문에서는 이러한 정량 언어들의 **표현력(expressiveness)**과 폐쇄성(closure) 질문을 연구한다.

첫째, 임계값(threshold) 보다 큰 값을 갖는 단어들의 집합이 deterministic limit‑average 및 discounted‑sum 자동화에 대해 ω‑regular가 아닐 수 있음을 보인다. 반면, 임계값이 고립(isolated)(즉, 임계값 주변에 값을 갖는 단어가 존재하지 않는 경우)일 때는 그 집합이 항상 ω‑regular이며, 이러한 ω‑regular 언어는 전이 가중치의 작은 변동에도 **안정(stable)**함을 증명한다.

둘째, 전이 가중치가 0 또는 1만을 갖는 자동화가 limit‑average 경우에는 일반 가중 자동화와 동등한 표현력을 가지지만, discounted‑sum 경우에는 그렇지 않음을 보인다.

셋째, 정량 언어 L₁, L₂에 대해 max(L₁,L₂), min(L₁,L₂), 1‑L₁, 그리고 L₁+L₂ 연산을 고려한다. 이 네 연산에 대해 모든 정량 언어 클래스가 폐쇄되는지를 조사하고, 그 결과를 표 1에 정리한다.

1. 서론

불리언 언어 L은 각 단어 w에 불리언 값을 할당하는 함수로 볼 수 있다. 즉, L(w)=1이면 w가 언어에 속하고, L(w)=0이면 속하지 않는다. 불리언 언어는 반응형 프로그램의 계산을 모델링한다. 검증 문제 “프로그램 A가 명세 B를 만족하는가?”는 언어 포함(language‑inclusion) 문제 “L_A ⊆ L_B?” 로 환원되며, 이는 “모든 단어 w에 대해 *L_A(w) ≤ L_B(w)*인가?”와 동치이다. 여기서 L_A는 프로그램 A의 모든 동작을, L_B는 명세 B가 허용하는 동작을 나타낸다. 불리언 언어가 유한 자동화에 의해 정의될 때, 이 프레임워크는 **자동화‑이론적 모델 검증(automata‑theoretic model checking)**이라 불린다[VW86].

이 프레임워크를 자연스럽게 일반화하면, **비용 함수(cost function)**가 각 단어에 실수값을 할당한다. 예를 들어, 단어(또는 동작)의 값은 프로그램이 해당 동작을 수행하는 데 필요한 메모리 사용량, 전력 소비량 등과 같은 자원의 양으로 해석될 수 있다. 명세는 각 동작에 대해 허용되는 최대 자원량을 지정하거나, 장기 평균 사용량을 제한할 수 있다.

가중 자동화는 반환체(semiring) 위에 정의된 전이 가중치를 이용해 정형 전력 시리즈(formal power series)[Sch61,KS86] 혹은 ω‑시리즈[CK94,DK03,´EK04]를 정의한다. 본 논문에서는 반환체가 아닌 유리수 연산을 이용해 **정량 언어(quantitative languages)**를 정의한다[CDH08].

정량 언어 L은 유한 혹은 무한 단어 w에 대해 모든 실행(run) 중 최대값을 취한다(자동화가 비결정적이면 여러 실행이 존재한다). 실행 r의 값은 r을 따라 나타나는 가중치들의 유한/무한 시퀀스에 대한 함수이다. 우리는 다음과 같은 값 함수를 고려한다.

• 유한 실행: Max, Sum
• 무한 실행: Sup, LimSup, LimInf, limit average, discounted sum

예를 들어, 피크 전력 소비는 가중치 시퀀스의 최대값으로, 에너지 사용량은 합으로, 평균 응답 시간은 한계 평균으로 모델링한다[CCH+05, CdAHS03]. 또한, 신뢰성 요구사항을 정량화할 때는 실패를 나타내는 특수 기호 ⊥에 가중치 1을, 나머지 기호에 가중치 0을 부여하고, limit‑average 자동화를 이용해 장기 실패 비율을 제한한다[CGH+08]. Discounted sum은 “나중에 발생하는 실패는 더 덜 중요하다”는 의미를 표현한다[dAHM03].

정량 언어 포함 문제 “두 자동화 A, B에 대해 모든 단어 w에 대해 *L_A(w) ≤ L_B(w)*인가?”는 다음과 같이 활용될 수 있다. 예를 들어, 시스템의 피크 전력이 명세가 정한 상한 이하인지, 혹은 장기 평균 응답 시간이 요구된 평균 이하인지 검증한다. 이전 연구[CDH08]에서는 Sup, LimSup, LimInf 자동화에 대해 이 포함 문제가 PSPACE‑complete임을 보였으며, limit‑average와 discounted‑sum 자동화에 대해서는 **결정 가능성(decidability)**이 아직 알려지지 않았다. 또한, 비결정적 자동화가 deterministic 자동화보다 표현력이 엄격히 강함을 확인하였다.

본 논문에서는 가중 자동화의 표현력을 비교하는 새로운 방법들을 제시한다.

1.1 절단점 언어(Cut‑point languages)

확률 자동화 이론에서 차용한 개념으로, 임계값 η ∈ ℝ에 대해 정량 언어 L의 절단점 언어는
[ L_{\ge η} = {, w \mid L(w) \ge η ,} ]
이라는 불리언 언어이다. 우리는 deterministic limit‑average 및 discounted‑sum 자동화가 ω‑regular가 아닌 절단점 언어를 정의할 수 있음을 보인다. 반면, 임계값이 고립된 경우(η 주변에 값을 갖는 단어가 전혀 없는 경우)에는 절단점 언어가 항상 ω‑regular이며, 전이 가중치의 미세한 변동에도 안정함을 증명한다.

1.2 0/1 가중 자동화

전이 가중치가 0 또는 1만을 갖는 자동화를 고려한다. 우리는 limit‑average 경우에 이 제한이 표현력에 영향을 주지 않음을 보인다(즉, 일반 유리수 가중치와 동등함). 반면, discounted‑sum 자동화에서는 0/1 가중치가 표현력을 감소시킨다.

1.3 연산에 대한 폐쇄성

정량 언어 L₁, L₂에 대해 다음 연산을 정의한다.

• max(L₁, L₂) : 각 단어 w에 대해 max(L₁(w), L₂(w))
• min(L₁, L₂) : 각 단어 w에 대해 min(L₁(w), L₂(w))
• 1 − L : 보완(complement) 언어, 1 − L(w)
• L₁ + L₂ : 합 연산, L₁(w) + L₂(w)

이 네 연산에 대해 정량 언어 클래스가 폐쇄되는지를 조사한다. 예를 들어, limit‑average 자동화는 합과 보완에 대해 폐쇄되지 않지만, 비결정적 discounted‑sum 자동화는 합에 대해 폐쇄되지만 보완에 대해서는 폐쇄되지 않는다. 모든 결과는 표 1에 요약한다.

2. 정량 언어(Quantitative Languages)

정량 언어 L은 유한 알파벳 Σ 위에서

• 유한 단어에 대해 L : Σ⁺ → ℝ
• 무한 단어에 대해 L : Σ^ω → ℝ

의 형태를 가진다.

가중 자동화(Weighted Automata)

가중 자동화는 튜플 A = ⟨Q, q_I, Σ, δ, γ⟩ 로 정의한다.

자동화가 deterministic이면 각 (q, σ) 쌍에 대해 정확히 하나의 전이만 존재한다.

실행(Run)

입력 단어 *w = σ₁σ₂…*에 대한 실행은

• 유한 경우: 유한 상태·입력 시퀀스 r = q₀σ₁q₁σ₂…qₙ
• 무한 경우: 무한 시퀀스 r = q₀σ₁q₁σ₂…

조건: (i) q₀ = q_I, (ii) (q_i, σ_{i+1}, q_{i+1}) ∈ δ ∀ i.

전이 가중치 시퀀스는 γ(r) = v₀v₁… 로 표기한다(vi = γ(q_i, σ_{i+1}, q_{i+1})).

값 함수(Value Functions)

다음 값 함수를 사용해 실행의 값을 정의한다.

유한 시퀀스 v = v₁…vₙ 에 대해

• Last(v) = vₙ
• **Max

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