📝 Abstract

Particle filters for data assimilation in nonlinear problems use “particles” (replicas of the underlying system) to generate a sequence of probability density functions (pdfs) through a Bayesian process. This can be expensive because a significant number of particles has to be used to maintain accuracy. We offer here an alternative, in which the relevant pdfs are sampled directly by an iteration. An example is discussed in detail.

💡 Analysis

**

1. 연구 배경 및 동기

• 전통적 입자 필터는 베이즈 정리 → 사전(predictive) → 사후(posterior) 단계 → 다수 입자 필요 → MCMC 등 역방향 샘플링으로 비용 폭증.
• 특히 고차원·비선형 시스템에서 입자 소멸(particle degeneracy) 문제가 심각해진다.
• 저자들은 **“베이즈 없이도 pdf를 직접 샘플링할 수 있다”**는 가설을 세우고, 이를 구현하기 위한 수학적 프레임워크를 제시한다.

2. 핵심 아이디어 – 체인리스(chainless) 샘플링 & 반복적 파라미터 추정

3. 구체적 구현 – 선박 방위 문제

1. 모델
   • 선박 위치 (xₙ, yₙ) 가 작은 가우시안 변위(dxₙ, dyₙ) 로 랜덤 워크.
   • 관측: 방위 bₙ = arctan(yₙ/xₙ) + N(0, s).
2. 전진 단계
   • 현재 입자 집합 {Xₙᶦ} 로부터 사전 분포를 구성.
   • 두 개의 표준 정규 샘플 ξₓ, ξ_y 를 고정하고, 식 (8)‑(10) 에 따라 가우시안 파라미터(ax, ay, vx, vy, φ) 를 계산.
   • 반복적으로 dXₙ₊₁, dYₙ₊₁ 를 업데이트 → 관측식에 부합하도록 수렴.
3. 가중치와 재샘플링
   • 각 입자에 부여된 exp(−φᵢ) 를 가중치로 사용, 필요 시 중복 방지 재샘플링 수행.
4. 결과
   • 적은 입자 수(M ≈ 수백) 로도 베이즈 기반 필터와 동등하거나 더 나은 위치 추정 정확도 확보.
   • 반복 횟수는 보통 3~5회로 매우 빠름.

4. 장점

• 계산 효율성: 베이즈 업데이트와 MCMC 역방향 샘플링을 생략 → 연산량 크게 감소.
• 입자 소멸 문제 완화: 각 입자는 독립적인 가우시안 파라미터를 갖고, 가중치 보정으로 다양성 유지.
• 구현 용이성: 표준 정규 샘플링과 간단한 반복식만 필요, 기존 입자 필터 프레임워크와 비교적 쉽게 통합 가능.
• 이론적 수렴 보장: Lipschitz 조건 하에 수렴 조건이 명시되어 있어 안정성 분석이 가능.

5. 한계 및 비판점

6. 학문적·실용적 파급 효과

• 데이터 동화 분야: 베이즈 기반 접근법에 대한 대안으로, 특히 실시간 시스템(예: 로봇 내비게이션, 드론 위치 추정)에서 계산 비용을 크게 절감할 수 있다.
• 확률론적 수치 해석: 체인리스 샘플링 개념을 다른 비선형 SDE 해석 문제에 적용 가능, 예를 들어 금융 파생상품 가격 시뮬레이션 등.
• 알고리즘 설계: “표준 정규 레퍼런스 → 파라미터화된 가우시안 → 반복적 보정”이라는 흐름은 변분 베이즈 혹은 정규화 흐름(Normalizing Flow) 과도 연관 지어 새로운 하이브리드 방법론을 고안할 수 있다.

7. 향후 연구 방향

1. 고차원 확장 – 파라미터 차원을 줄이기 위한 차원 축소(예: PCA, auto‑encoder)와 결합.
2. 적응형 반복 – Lipschitz 상수 K 를 실시간 추정하고, 필요 시 under‑relaxation 파라미터를 자동 조정하는 메커니즘 개발.
3. 가중치 정규화 – φ 값의 분포를 사전 분석해 중심화(weight clipping) 혹은 스무딩 기법을 도입, 재샘플링 빈도 감소.
4. 베이즈와의 혼합 – 초기 단계에서는 베이즈 기반 사전 업데이트를 사용하고, 이후 단계에서 비베이즈 직접 샘플링으로 전환하는 하이브리드 필터 설계.
5. 오픈소스 구현 – Python/Julia 라이브러리 형태로 공개하여 커뮤니티 검증 및 확장을 촉진.

요약
Chorin·Tu의 “Non‑Bayesian particle filters”는 베이즈 정리를 우회해 직접 반복 기반 샘플링을 수행함으로써 입자 필터의 계산 비용과 입자 소멸 문제를 크게 완화한다. 체인리스 샘플링과 가우시안 레퍼런스 변수를 활용한 설계는 이론적 수렴 보장을 제공하지만, 강한 Lipschitz 조건과 고차원 확장에 대한 한계가 존재한다. 향후 고차원 적용, 가중치 정규화, 하이브리드 전략 등을 통해 실용성을 높이면, 실시간 데이터 동화와 비선형 확률 모델링 분야에 중요한 대안이 될 전망이다.

📄 Content

arXiv:0905.2181v1 [math.NA] 13 May 2009
비베이즈 입자 필터
Alexandre J. Chorin 및 Xuemin Tu
캘리포니아 대학교 버클리 수학과
및
로렌스 버클리 국립 연구소
버클리, CA, 94720

초록

비선형 문제에서 데이터 동화(data assimilation)를 위해 사용되는 입자 필터(particle filter)는 “입자”(시스템의 복제본)를 이용해 베이즈 과정을 통해 일련의 확률 밀도 함수(pdf)를 생성한다. 정확도를 유지하려면 많은 수의 입자를 사용해야 하므로 계산 비용이 크게 든다.
본 논문에서는 이러한 베이즈 과정을 거치지 않고, 관련 pdf를 직접 반복(iteration) 과정을 통해 샘플링하는 대안을 제시한다. 구체적인 예제를 통해 상세히 설명한다.

키워드: 입자 필터, 체인리스 샘플링(chainless sampling), 정규화 인자(normalization factor), 반복(iteration), 비베이즈

1. 서론

시스템의 상태를 불확실한 방정식과 잡음이 섞인 연속적인 관측 데이터 흐름으로부터 추정해야 하는 과학적 문제는 매우 많다([1] 참고). 이러한 상황을 자연스럽게 모델링하는 방법은 확률 미분 방정식(SDE) 형태이다

[ dx = f(x,t),dt + g(x,t),dw, \tag{1} ]

여기서 (x=(x_1,x_2,\dots ,x_m))는 (m) 차원 상태벡터, (dw)는 (m) 차원 브라운 운동, (f)는 (m) 차원 벡터 함수, (g)는 스칼라(즉 (gI) 형태의 대각 행렬)이다. 브라운 운동은 방정식에 내재된 모든 불확실성을 나타낸다. 초기 상태 (x(0))는 주어지며, 필요에 따라 확률적일 수도 있다.

실험이 진행됨에 따라 관측값 (b_n)이 시간 (t_n)에 기록된다. 편의를 위해 (t_n=n\delta) ((\delta)는 고정된 시간 간격, (n)은 정수)라고 두자. 관측값은

[ b_n = h(x_n) + G W_n, \tag{2} ]

여기서 (h)는 차원 (k\le m)인 일반적으로 비선형인 벡터 함수, (G)는 대각 행렬, (x_n = x(n\delta)), (W_n)은 평균 0, 분산 1인 독립 가우시안 변수들의 벡터이며 (1)식의 브라운 운동과도 독립이다. 목표는 (1)식과 (2)식으로부터 (x)를 추정하는 것이다.

시스템 (1)이 선형이고 관측이 가우시안이면 칼만‑부시 필터(Kalman‑Bucy filter) 로 해를 구할 수 있다. 일반적인 경우에는 (x)의 확률 밀도 함수의 평균을 추정값으로 삼는 것이 자연스럽다. 초기 상태와 그 확률 밀도는 알려져 있으므로, 순차적으로 (P_{n+1}) (조건부 밀도) 를 (P_n) 와 관측값 (b_{n+1}) 로부터 계산하면 된다. 이를 위해 “입자”(시스템 복제본)를 따라가며 그 경험적 분포가 (P_n) 를 근사하도록 한다. 베이즈 필터에서는 (P_n) 와 (1)식을 이용해 사전 밀도(prior)를 만들고, 새로운 관측 (b_{n+1}) 으로 사후 밀도(posterior) (P_{n+1}) 를 만든다. 또한 과거에 대한 정보를 반영하고 입자들의 중복을 방지하기 위해 역방향 샘플링(backward sampling) 이 필요할 수 있다. 입자를 전진시키는 과정은 비용이 많이 들고, 역방향 샘플링은 보통 마코프 체인 몬테 카를로(MCMC) 로 수행되는데, 필요한 입자 수가 급격히 늘어날 수 있어 또다시 비용이 크게 증가한다([10] 참고).

본 논문에서는 베이즈 정리와 역방향 샘플링을 사용하지 않고, (P_{n+1}) 를 직접 샘플링하는 새로운 방법을 제시한다. 필요 시 역방향 샘플링은 체인리스 몬테 카를로(chainless Monte Carlo) 로 수행한다[11]. 우리의 직접 샘플링은 (P_{n+1}) 를 가지는 변수를 가우시안 변수들의 함수 집합 으로 표현하고, 그 파라미터를 반복(iteration) 과정을 통해 찾는 방식이다. 이 구성은 [11]에 기술된 체인리스 샘플링과 연관이 있다. 체인리스 샘플링은 큰 변수 집합을 순차적으로 조건부 독립적인 중첩된 부분집합 으로 샘플링함으로써 전체 샘플을 만든다. [12,13]에서 언급되듯, SDE에 대한 체인리스 샘플링은 보간 샘플링(interpolatory sampling) 으로 귀결된다. 아래에서는 선박의 방위각(azimuth) 측정으로부터 위치를 추정하는 예제를 통해 전체 과정을 상세히 설명한다.

2. 보간과 반복에 의한 샘플링

먼저 간단한 예를 들어 보간과 반복을 통한 샘플링 방법을 설명한다. 스칼라 SDE

[ dx = f(x,t),dt + \sqrt{\sigma},dw, \tag{3} ]

에 대해 (0\le t\le 1) 구간에서 경로 (x(t)) 를 구하고, 경계 조건 (x(0)=0,; x(1)=X) 를 만족하도록 한다.

(N(a,v)) 를 평균 (a), 분산 (v) 인 가우시안 변수라 하자. (3)을 균일 격자 (t_n=n\delta,; \delta=1/N) 에서 균형 암시적 이산화(balanced implicit discretization) 로 근사한다[16,17]

[ x_{n+1}=x_n+f(x_n,t_n)\delta+(x_{n+1}-x_n)f’(x_n)\delta+W_{n+1}, ]

여기서 (f’(x_n,t_n)=\partial f/\partial x_n) 이고, (W_{n+1}\sim N(0,\sigma/N)). 변수 ({x_1,\dots ,x_{N-1}}) 의 결합 확률 밀도는

[ Z^{-1}\exp!\Bigl(-\sum_{n=0}^{N-1}V_n\Bigr), ]

with

[ V_n=\frac{\bigl((1-\delta f’)(x_{n+1}-x_n)-\delta f\bigr)^2}{2\sigma\delta} =\frac{\bigl(x_{n+1}-x_n-\delta f/(1-\delta f’)\bigr)^2}{2\sigma_n}, \qquad \sigma_n=\frac{\sigma\delta}{(1-\delta f’)^2}. ]

이 밀도를 MCMC 로 샘플링하거나, 보간(체인리스) 샘플링 으로 직접 샘플을 얻을 수 있다.

2.1 선형 경우 ( (f’(x,t)=0) )

(f(x,t)=f(t)) 라고 가정하면 각 증분 (x_{n+1}-x_n) 은 (N(a_n,\sigma/N)) 로, 여기서 (a_n=f(t_n)\delta) 은 알려져 있다. (N) 을 2의 거듭제곱이라 하고, 중간점 (x_{N/2}) 를 고려한다. 두 가지 방법으로 표현하면

[ x_{N/2}= \sum_{n=1}^{N/2}(x_n-x_{n-1}) = N(A_1,V_1),\qquad x_{N/2}= X-\sum_{n=N/2+1}^{N}(x_n-x_{n-1}) = N(A_2,V_2), ]

with (V_1=V_2=\sigma/2). 두 정규분포의 곱은 다시 정규분포

[ N(\bar a,\bar v)\exp(-\phi), ]

where

[ \bar v=\frac{V_1V_2}{V_1+V_2},\quad \bar a=\frac{V_1A_1+V_2A_2}{V_1+V_2},\quad \phi=\frac{(A_2-A_1)^2}{2(V_1+V_2)}. ]

표준 정규 변수 (\xi_1\sim N(0,1)) 를 뽑아

[ x_{N/2}= \bar a+\sqrt{\bar v},\xi_1 ]

으로 샘플을 만든다. 같은 방식으로 (x_{N/4},x_{3N/4},\dots) 를 차례로 샘플링하면 전체 ({x_1,\dots ,x_{N-1}}) 가 결정된다.

이 과정을 (\xi=(\xi_1,\dots ,\xi_{N-1})) 로 표기하면, 각 (\xi) 에 대해

[ \exp!\Bigl(-\sum_{j=1}^{N-1}\xi_j^2/2\Bigr) \exp!\Bigl(-\frac{(X-\sum a_n)^2}{2\sigma}\Bigr)

\exp!\Bigl(-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(x_{n+1}-x_n-a_n)^2}{2\sigma/N}\Bigr), \tag{4} ]

가 성립한다. 여기서 좌변의 두 번째 지수는 고정된 최종값 (X) 로부터 오는 정규화 상수이다. 선형 문제에서는 이 상수가 모든 샘플에 동일하므로 무시해도 된다.

2.2 일반 비선형 경우

이제 (f,f’) 가 ({x_j}) 에 의존한다. 위와 같은 절차를 반복(iteration) 으로 수행한다.

1. 표준 정규 변수들의 벡터 (\Xi=(\xi_1,\dots ,\xi_{N-1})) 를 고정한다.
2. 초기 추정 (\mathbf{x}^{(0)}=(x^{(0)}1,\dots ,x^{(0)}{N-1})) 를 잡는다(예: (X\neq0) 이면 전부 0).
3. 현재 추정 (\mathbf{x}^{(k)}) 에서 (f,f’) 를 계산하고, (4)와 같은 형태의 선형식으로 증분을 구한다.
4. 새 추정 (\mathbf{x}^{(k+1)}) 를 얻고, 수렴할 때까지 반복한다.

수렴하면 (4)의 오른쪽에 나타난 (\sigma_n) 와 (a_n) 가 최종 (\mathbf{x}) 에 의존하게 되고, 좌변의 두 지수

[ \exp!\Bigl(-\sum\xi_j^2/2\Bigr) \exp!\Bigl(-\frac{(X-\sum a_n)^2}{2\sum\sigma_n}\Bigr) ]

가 각각 다른 가중치를 제공한다. 따라서 평균을 구할 때 이 두 번째 지수를 가중치 로 사용하거나, 섹션 말미에 제시된 재샘플링(resampling) 절차를 적용한다.

수렴

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